8.3第2课时 平方差公式教案 　2024—2025学年沪科版数学七年级下册

第2课时 平方差公式 【教学目标】 1.理解平方差公式，掌握公式的结构特征. 2.熟练运用平方差公式进行计算. 3.综合运用乘法公式进行计算. 4.有意识地引导学生积极参与到平方差公式的探究过程中，培养学生观察、分析、归纳的能力，进一步体会转化思想和数形结合思想. 5.通过参与数学活动，培养学生独立思考及与他人合作交流的学习习惯，体验运用知识解决问题的喜悦，激发学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解平方差公式，掌握公式的结构特征. 【教学难点】 灵活运用乘法公式进行计算. 【教学过程】 一、情境导入，初步认识 问题一个长方形，长为（a+b),宽为(a-b),它的面积是多少？ [教学说明]教师提出问题，让学生独立思考.学生很容易列出算式，初步感受平方差公式，激发学生探索新知的欲望. 二、思考探究，获取新知 平方差公式 思考：1.由多项式乘法计算： （1）(3m+1)(3m-1); （2）(x2+y)(x2-y). 2.你能得到(a+b)(a-b)的计算公式吗？ [教学说明]教师提出问题，学生根据多项式与多项式的乘法法则进行计算，然后相互交流，进一步感受平方差公式，掌握平方差公式的结构特征. [归纳结论]两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b 2.思考：你能设计一个图形来说明上面的公式吗？ [教学说明]教师提出问题，学生尝试画出图形，进一步体会数形结合的思想. 三、典例精析，掌握新知 例1计算： (1)(3a+b)(3a-b)； （2）(-x+2y)(-x-2y). 【解】（1）原式=(3a)2-b2=9a2-b2； （2）原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. 例2利用乘法公式计算： （1）1999×2001; （2）(x+3)(x-3)(x2+9). 【解】（1）1999×2001=(2000-1)×(2000+1)=20002-12=3999999. （2）(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81. 例3计算：（1）(a+b+c)2; （2）(a-b)3. 【解】（1）(a+b+c)2 =［(a+b)+c］2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. （2）(a-b)3=(a-b)(a-b)2 =(a-b)(a2-2ab+b2) =a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3. 例4观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 （1）根据上面各式的规律得：(x-1)(xn-1+xn-2+xn-3+…+x+1)=_______（其中n为正整数）； （2）根据这一规律计算：1+2+22+23+…+210. 【解】（1）xn-1. （2）∵(x-1)(1+x+x2+x3+…+xn-2+xn-1)=xn-1 ∴1+x+x2+x3+…+xn-2+xn-1=(xn-1)÷(x-1) ∴1+2+22+23+…+210=(210-1)÷(2-1)=210-1. [教学说明]教师给出例题，学生尝试独立完成,教师可让几个学生上台在黑板上演算，然后给予点评，对于例3、例4，教师也可给予适当点拨. 四、运用新知，深化理解 1.下列计算正确的是（ ） A.(a-4)(a+4)=a2-4 B.(2x-3)(2x+3)=2x2-9 C.(4xy+1)(4xy-1)=16x2y2-1 D.(-a+3)(a-3)=a2-9 2.利用乘法公式计算： (1)(2a+5b)(2a-5b); (2) (1/2x-3)(1/2x+3); (3)(y-2x)(-2x-y); (4)(xy+1)(xy-1). 3.利用平方差公式计算： (1)598×602; (2) 9992. 4.计算： (1)(a+b)3； (2) (x-5)3； (3)(a-b-c)2. 5.已知x2-4x-1=0.求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值. 6.观察下列式子： 32-12=8 52-32=16 72-52=24 92-72=32…… (1)根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律. (2)验证你发现的规律. [教学说明]教师给出习题，学生独立完成，教师巡视，对有问题的学生及时予以指正，教师也可让几个学生上台展示自己的答案. 【答案】 1.C 五、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流. [教学说明] 学生相互交流，回顾乘法公式，加强对新知识的理解和运用. 【课后练习】 完成练习册中本课时练习. 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$