精品解析：陕西省商洛市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

商洛市2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C D. 3. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则（ ） A 32 B. 8 C. 2 D. 1 5. （ ） A B. C. D. 6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 8. 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （ ）小时. A. 20 B. 22 C. 33 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 在其定义域上单调递增 10. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________. 13. ______. 14. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 16. 设命题：实数满足；命题：实数满足. （1）若，且为真，为假，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. （1）求，的值； （2）判断并证明的奇偶性； （3）求函数的值域. 18. 某地区在政策指导下，根据当地气候､土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 商洛市2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 高一数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，直接求解，即可得出结果. 【详解】，则. 故选：B. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论， 所以命题的否定为. 故选：C. 3. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】当时，成立. 当时，或 所以由不能得出成立 所以是等式成立的充分不必要条件 故选：A 4. 已知函数，则（ ） A. 32 B. 8 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式，求出对应的函数值，先求出，再求 【详解】根据分段函数的表达式可得： 可得： 故选：C 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A 6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示， 由图可知，的解集是， 故选：B． 7 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性及对数运算，判断可得答案. 【详解】，，， 又∵在上是单调递增函数， ∴， 所以. 故选：B. 8. 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 （ ）小时. A. 20 B. 22 C. 33 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可. 【详解】由题知：， 所以，解得， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 在其定义域上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，求出解析式，再根据解析式逐项判断. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，所以. 选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确； 选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确； 选项D，由在上是增函数，D正确. 故选：BCD. 10. 已知，，且，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对于B，通过取特殊值，即可求解；对于C，根据条件，利用“1”的妙用，即可求解；对于D，利用选项A中结果，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为正实数，满足，所以， 得到，当且仅当时等号成立，所以有最大值，故选项A正确， 对于选项B，取，此时，所以的最小值不是，故选项B错误， 对于选项C，， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值，所以选项C正确， 对于选项D，由选项A可得， 当且仅当时等号成立，故有最大值，所以选项D正确， 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 13. ______. 【答案】 【解析】 【分析】应用指数幂、对数运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 14. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________． 【答案】(0，1) 【解析】 【分析】作出函数的图象及直线观察它们的交点的横坐标得的关系骸的范围，从而可得的取值范围． 【详解】由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，,所以ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)． 故答案为：． 【点睛】本题考查对数函数的性质，解题关键是把方程的根转化函数图象与直线的交点的横坐标，从图象易得其性质． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【小问1详解】 因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， 【小问2详解】 由诱导公式，得 . 16. 设命题：实数满足；命题：实数满足. （1）若，且为真，为假，求实数的取值范围； （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先化简命题，得到，即得解； （2）先化简命题，得到或，即得解. 【详解】（1）若，命题； 命题：，则， 因为为真，为假， 所以的取值范围为，即； （2）是的充分不必要条件， 命题；，命题：，则， 所以或，所以. 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.在解答此类问题时，要根据已知条件灵活选择. 17. 已知定义在R上的奇函数，偶函数，，，. （1）求，的值； （2）判断并证明的奇偶性； （3）求函数的值域. 【答案】（1）； （2）奇函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性求参数值即可； （2）根据奇偶性的定义判定证明； （3）由，结合指数函数、分式型函数的性质求值域. 【小问1详解】 由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 故恒成立，所以， 因为，即， 所以恒成立，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以定义域为， 因为， 所以为奇函数. 【小问3详解】 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的值域为. 18. 某地区在政策指导下，根据当地气候､土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本来求得的解析式. （2）利用二次函数性质、基本不等式来求得正确答案. 【小问1详解】 根据题意知 ， 整理得. 【小问2详解】 当时，， 由二次函数的性质可知，在时，取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元. 19. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【小问1详解】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. 【小问3详解】 ， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$