第14讲 三角形的内角和（二类知识点+十大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第14讲 三角形的内角和（十大题型） 学习目标 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 知识点1 三角形的内角和 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 分析 要证∠A+∠B+∠C=180°,即要证这三个角能合成一个平角.由以上操作可知，只要将∠A与∠B转移到与∠C共顶点即可，因此过△ABC的顶点C作AB的平行线，如图17-2-2所示. 证明 过点C作CE//BA,延长BC至D,如图17-2-2所示.由平行线的性质，得 ∠ACE=∠A,∠ECD=∠B. 因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°, 所以∠A+∠B+∠ACB=180°. 定理说明三角形的内角和与三角形的形状无关，是一个常量.这是关于三角形的一个基本定理. 要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 思考：一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？ 几个直角？ 知识点2 三角形的外角 1．如图 17 -2 -3 , 延长 △ABC 的一边BC， 得到∠ACD．像这样，三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACB是与它相邻的内角，另外两个内角∠A、∠B是与它不相邻的内角. 如图 17 -2 -4 , 作BC的延长线CD，作 AC的延长线 CE，可知 ∠ACD、∠BCE都是与 ∠ACB相邻的外角．这两个外角是对顶角，它们的大小相等. 要点： (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.． （2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． 要点：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： ①.对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和， 叫作三角形的外角和. ②.三角形的外角和等于360°. 要点：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360° 【即学即练1】在中，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】下列说法正确的是（   ） A．三角形至少有两个锐角 B．三角形的三条高一定在三角形内部 C．三角形最多有两个锐角 D．三角形的中线是直线 【即学即练3】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【即学即练4】在中，的外角分别是和，则（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】在中，当时，这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【即学即练6】如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【即学即练7】如图，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型1:三角形内角和定理的证明 【典例1】．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【变式1-1】．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【变式1-2】．如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 题型2:根据三角形内角和定理求角度 【典例2】．中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．根据图中的数据，可得的值为（    ）    A．180 B．110 C．100 D．70 【变式2-2】．如图，在中，，是的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型3:三角形内角和定理的应用（比例问题、判断三角形的形状） 【典例3】．在中，若，则三个内角度数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】．给定下列条件，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-3】．若三角形三个内角满足，则 ． 【变式3-4】．“奋斗者”号深海潜水器，其外壳的某些部分可近似看作三角形．若其中一个三角形的三个内角之比为，则这个三角形是 （填“锐角”“直角”“钝角”中的一个）三角形． 【变式3-5】．一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 题型4:与平行线有关的三角形内角和问题 【典例4】．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】．如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 题型5:与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例5】．如图，中，，角平分线，交于点I，则的大小是 ． 【变式5-1】0．如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则 ． 【变式5-2】．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度． 【变式5-3】．如图，中，点是角平分线的交点，，则 ． 【变式5-4】．如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】．如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，则的度数为 ． 题型6:三角形外角的性质及应用 【典例6】．如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】．如图，点在的延长线上，于点，若，，则的度数是 ． 【变式6-2】．如图，点在的边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】．如图，在中，,，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】．如图，是的两个外角，，若，则与的度数和为（　　）    A． B． C． D． 【变式6-5】．将一副直角三角尺按如图所示的方式放置．，，，边与的交点为，则的度数为 ． 【变式6-6】．一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为 ． 题型7:三角形的内角和与三角形外角的性质结合 【典例7】．如图，是的平分线，若，，则的度数是 ． 【变式7-1】．如图，在中，，，为的平分线，于点．则度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．如图，中，为边上的高，平分，相交于点F．若，，则 ． 【变式7-3】．如图，点E为的边上点，点D在的延长线上，交于点F，，，，则的度数为 ． 【变式7-4】．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则 （用含的代数式表示）． 【变式7-5】．如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 题型8:折叠问题 【典例8】．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，已知，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型9:三角形的外角和等于360° 【典例9】．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，是的三个外角． 求证：． 证法1：∵ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 【变式9-1】．（1）如图所示的图形中的值是多少？ （2）如果一个边形的内角和是外角和的两倍，求的值？ 【变式9-2】．（1）在中，三角形各内角的度数如图所示，求的度数． （2）已知一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求该多边形的边数． 题型10:解答综合题 【典例10】．如图，已知，，，求和的度数． 【变式10-1】．如图，在中，平分，，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式10-2】．如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【变式10-3】．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． (1)当时，求的度数； (2)当点在（点，除外）边上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式10-4】．如图，，为上一点，． (1)求证：平分． (2)若，，求的度数． 一、单选题 1．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 3．如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．如图，点在的边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（           ） A．180° B．360° C．540° D．以上答案都不是 10．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在三角形的三个内角中，最多有 个直角，最多有 个钝角． 12．在△ABC中，若∠A=50°，∠B=55°，则△ABC是 三角形；若∠A=50°，∠B=25°，则△ABC是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 13．如图，在中，，，则等于 度． 14．如图，图中的值为 ． 15．在△ABC中，如果与∠B相邻的外角等于140°，那么∠A+∠C= ． 16．在△ABC中，∠A、∠B的外角之和等于∠C的3倍，那么∠C= 度． 17．如图，点、、在同一条直线上，，，，则 18．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是 ． 三、解答题 19．在△ABC中，已知∠A=105°，∠B-∠C=15°，求∠C的度数． 20．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数. 21．如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，CD⊥AB，垂足为点D，    （1）求∠ACD的度数； （2）找出图中相等的角，并说明理由． 22．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BDC，∠A=∠DCA，求∠A的度数． 23．如图，在中，点、点分别为、上一点，平分，，． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)求的度数． 24．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 25．【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 三角形的内角和（十大题型） 学习目标 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 知识点1 三角形的内角和 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 分析 要证∠A+∠B+∠C=180°,即要证这三个角能合成一个平角.由以上操作可知，只要将∠A与∠B转移到与∠C共顶点即可，因此过△ABC的顶点C作AB的平行线，如图17-2-2所示. 证明 过点C作CE//BA,延长BC至D,如图17-2-2所示.由平行线的性质，得 ∠ACE=∠A,∠ECD=∠B. 因为∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°, 所以∠A+∠B+∠ACB=180°. 定理说明三角形的内角和与三角形的形状无关，是一个常量.这是关于三角形的一个基本定理. 要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 思考：一个三角形的三个内角中最多有几个钝角？ 几个直角？ 知识点2 三角形的外角 1．如图 17 -2 -3 , 延长 △ABC 的一边BC， 得到∠ACD．像这样，三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作三角形（与此内角相邻）的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACB是与它相邻的内角，另外两个内角∠A、∠B是与它不相邻的内角. 如图 17 -2 -4 , 作BC的延长线CD，作 AC的延长线 CE，可知 ∠ACD、∠BCE都是与 ∠ACB相邻的外角．这两个外角是对顶角，它们的大小相等. 要点： (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.． （2）三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． 要点：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： ①.对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和， 叫作三角形的外角和. ②.三角形的外角和等于360°. 要点：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360° 【即学即练1】在中，已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理； 根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【解析】解：． 故选：A． 【即学即练2】下列说法正确的是（   ） A．三角形至少有两个锐角 B．三角形的三条高一定在三角形内部 C．三角形最多有两个锐角 D．三角形的中线是直线 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形的高线和三角形的中线，根据三角形内角和可判断A和C，根据三角形的高可判断B，根据三角形的中线可判断D． 【解析】解：A．三角形至少有两个锐角，正确； B．锐角三角形的三条高一定在三角形内部，故不正确； C．锐角三角形有三个锐角，故不正确；     D．三角形的中线是线段，故不正确． 故选A． 【即学即练3】如图，在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质．根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可求解． 【解析】解：∵在中，，， ∴． 故选：C． 【即学即练4】在中，的外角分别是和，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的定义，三角形的内角和，解答的关键是明确三角形的内角和是．由平角的定义可得，由三角形的内角和即可求． 【解析】解：∵的外角分别是和， ∴， ∴． 故选：C． 【即学即练5】在中，当时，这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，设，，，根据三角形的内角和定理建立方程求解即可得出结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴设，，， 由三角形的内角和定理，， 解得：， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 【即学即练6】如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 【解析】根据题意可知， ∴， ∴． 故选：C． 【即学即练7】如图，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角：先由得到，再结合求得，三角形的外角的性质求出，最后求得的度数即可． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故选：B 题型1:三角形内角和定理的证明 【典例1】．证明三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于． 已知：，求证：． (1)证明：如图①，作边的延长线，过点C作． 所以____________（____________）， ____________（____________）． 因为（____________）， 所以（等量代换）． (2)请利用图②中给出一种不同于以上思路的证明方法，并写出证明过程． 【答案】(1)∠A；两直线平行，内错角相等；∠B；两直线平行，同位角相等；平角的定义 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，以及平角的定义进行解答； （2）如图，过点作，利用两直线平行，内错角相等和平角的定义进行证明． 【解析】（1） ∠A （两直线平行，内错角相等）， ∠B （两直线平行，同位角相等）． （ 平角的定义 ）， （2）如图，过点作． 则：，（两直线平行，内错角相等） ∵（ 平角的定义 ）， ∴ 【点睛】本题考查三角形内角和180°的证明思路，将三角形的三个角转化为一个平角，从而证明三角形的内角和为180°． 【变式1-1】．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； 方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解． 【解析】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 【变式1-2】．如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 【答案】见解析 【分析】过点A作MNBC．利用平行线的性质得出∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC．根据平角等于180度，即可得出结论． 【解析】证明：过点A作MNBC． ∵MNBC， ∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC． ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，作平行线，将三角形内角和转化成一个平角是解题的关键． 题型2:根据三角形内角和定理求角度 【典例2】．中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【解析】解：∵中，， ∴， 故选：B． 【变式2-1】．根据图中的数据，可得的值为（    ）    A．180 B．110 C．100 D．70 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理即可求得． 【解析】 即 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，比较简单． 【变式2-2】．如图，在中，，是的高，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-3】．如图，是由绕点顺时针旋转得到的，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转性质可知，然后根据三角形内角和定理求出的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【解析】解：由旋转性质可知， ∵，， ∴， 故选：． 题型3:三角形内角和定理的应用（比例问题、判断三角形的形状） 【典例3】．在中，若，则三个内角度数分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度及，即可求解． 【解析】解：，， ， ， ， 故选A． 【变式3-1】．给定下列条件，不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由角度大小计算判断直角三角形，掌握三角形的内角和等于是解题的关键，根据三角形的内角和等于求出最大角，然后选择即可． 【解析】解：中，， A、最大角，是直角三角形，故此选项不符合题意； B、最大角，是直角三角形，故此选项不符合题意； C、最大角，故此选项符合题意； D、最大角，故此选项不符合题意； 故选C． 【变式3-2】．在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 【变式3-3】．若三角形三个内角满足，则 ． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【解析】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【变式3-4】．“奋斗者”号深海潜水器，其外壳的某些部分可近似看作三角形．若其中一个三角形的三个内角之比为，则这个三角形是 （填“锐角”“直角”“钝角”中的一个）三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 设三角形的内角为别为，，，根据三角形的内角和定理可计算求解． 【解析】解：设三角形的内角为别为，，， ∴， 解得， ∴， ∴这个三角形的最大的内角的度数是， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式3-5】．一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【解析】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ∴，， ∴最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：C． 题型4:与平行线有关的三角形内角和问题 【典例4】．如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式4-1】．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【解析】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式4-2】．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【解析】解：，，， ，， ， 故选： B． 【变式4-3】．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【解析】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式4-4】．如图，，的平分线交于点O，交于点P，且，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出，再根据角平分线得到，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【解析】解：，， ， 平分， ． ∵， ． 题型5:与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例5】．如图，中，，角平分线，交于点I，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用三角形内角和定理和角平分线定义，得到，进而得到，最后根据对顶角相等即可求出的大小． 【解析】解：， ， 角平分线，交于点I， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-1】0．如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则 ． 【答案】/121度 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】．如图，、分别是的高和角平分线，已知，，则 度． 【答案】20 【分析】本题主要考查了角平分线，三角形高的定义和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答． 【解析】解：∵， ， 又∵是的平分线， ， 又∵是的高线， ， 在中，， 于是． 故答案为：20． 【变式5-3】．如图，中，点是角平分线的交点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和，角平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和，角平分线定义可得，，再根据三角形内角和即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵点是角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】．如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和成为解题的关键． 先根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和，然后代入各选项判断即可． 【解析】解：∵和分别平分和，， ∴． ∴． ∵和分别平分和， ∴． ∴． A． ，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D． ，故D选项符合题意． 故选D． 【变式5-5】．如图，点在上，点在上，平分，交于，平分，交于，、相交于，、相交于，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算的度数，从而得出的度数． 【解析】解：如图，连接． ∵平分，交于，平分，交于， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型6:三角形外角的性质及应用 【典例6】．如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外角的定义及性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可． 【解析】解：∵是的一个外角，且，， ∴， 即的度数是． 故选：A． 【变式6-1】．如图，点在的延长线上，于点，若，，则的度数是 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，根据垂直定义得出，根据三角形内角和定理得出，，再根据三角形的外角性质得出即可． 【解析】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式6-2】．如图，点在的边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟记这个知识点是解题的关键．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此求解． 【解析】解：，， ， 故选：C． 【变式6-3】．如图，在中，,，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形外角有关的角平分线计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由角平分线的定义和即可求解． 【解析】解：∵,， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-4】．如图，是的两个外角，，若，则与的度数和为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质和平行线的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得到，利用邻补角定义得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-5】．将一副直角三角尺按如图所示的方式放置．，，，边与的交点为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．先求出，则由三角形外角的性质即可得到． 【解析】解：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-6】．一副三角板，如图叠放在一起，则图中的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质即得答案． 【解析】，， ． 故答案为：． 题型7:三角形的内角和与三角形外角的性质结合 【典例7】．如图，是的平分线，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线；由三角形内角和定理得，由三角形的角平分线求出，再由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线是解题的关键． 【解析】解：，， ， 是的平分线， ， ， 故答案：． 【变式7-1】．如图，在中，，，为的平分线，于点．则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 【解析】解：在中，，， ， 为的平分线， ， 于点， ， ， ， 故选：C． 【变式7-2】．如图，中，为边上的高，平分，相交于点F．若，，则 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【解析】解：在中，，， ， 平分， ， 为边上的高， ， ． 故答案为：． 【变式7-3】．如图，点E为的边上点，点D在的延长线上，交于点F，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理．根据题意先求，再依据三角形内角和可得答案． 【解析】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-4】．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点E，与的平分线交于点F，则 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由三角形内角和定理，角平分线定义求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到 由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义求出，由三角形外角的性质得到，于是 【解析】解：平分，平分， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-5】．如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【解析】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型8:折叠问题 【典例8】．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 设与交于点，由折叠的性质可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【解析】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：， 由三角形外角的性质可得： ， ， 故选：． 【变式8-1】．如图，已知，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先由三角形内角和定理得到，再由折叠的性质得到，．利用三角形外角的性质证明，进而求出．则． 【解析】解∶， ． 由折叠的性质可得 ，． ，， ． ． ． 故选∶D． 题型9:三角形的外角和等于360° 【典例9】．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，是的三个外角． 求证：． 证法1：∵ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 【答案】，，见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角和等于的证明，对于证法一，先根据3个平角的和为，再减去三角形内角和，可得答案；证法二，作，再根据平行线的性质将另外两个外角转化到同一周角，即可得出答案. 【解析】证法一∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； 证法2：如图，过点 A 作射线，使． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式9-1】．（1）如图所示的图形中的值是多少？ （2）如果一个边形的内角和是外角和的两倍，求的值？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查三角形的外角性质，多边形的内角和以及外角和综合． （1）根据三角形的外角性质列式计算即可求解； （2）根据多边形的内角和公式以及外角和定理建立方程并求解即可． 【解析】解：（1）由图形得，， 解得； （2）∵一个n边形的内角和是其外角和的两倍， ∴， 解得：． 【变式9-2】．（1）在中，三角形各内角的度数如图所示，求的度数． （2）已知一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求该多边形的边数． 【答案】（1）；（2）该多边形的边数为 【分析】本题考查三角形内角和，多边形的内角和与外角和的综合； （1）根据三角形内角和列方程计算即可； （2）设该多边形的边数为，则多边形内角和为，外角和为，根据题意列方程求解即可． 【解析】解：（1）由题意可得：， 解得， ∴； （2）设该多边形的边数为，则多边形内角和为，外角和为， 根据题意可得， 解得， 该多边形的边数为． 题型10:解答综合题 【典例10】．如图，已知，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案． 【解析】解：，， ． ， ． 【变式10-1】．如图，在中，平分，，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2)的度数为． 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义等知识，熟知三角形内角和定理是解答此题的关键． （1）先证明，再由三角形内角和定理列式计算即可； （2）由角平分线的定义得，再由（1）可知，，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的度数为； （2）解：∵平分，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 答：的度数为． 【变式10-2】．如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)与的位置关系为互相平行，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识． （1）根据同位角相等两直线平行得到  则，等量代换得到，即可证明； （2）根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理即可求出． 【解析】（1）与的位置关系为互相平行． 证明：∵      又∵        （2）∵，， 又∵， 【变式10-3】．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． (1)当时，求的度数； (2)当点在（点，除外）边上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． （1）先根据三角形外角的性质得出，由三角形内角和得，进而求出，然后根据即可得出结论； （2）利用（1）的思路与方法解答即可． 【解析】（1）解：因为，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：．理由：设， 则， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式10-4】．如图，，为上一点，． (1)求证：平分． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用平行得出，利用和三角形外角的性质得出，则可得出； （2）利用，得出，得出，则，结合即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 一、单选题 1．在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．利用三角形的内角和等于180度即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， 故选B． 2．如图，与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据三角形的外角性质“三角形的外角大于任何一个不相邻的内角”即可得解． 【解析】解：∵是的一个外角， ∴， 故选：C． 3．如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，先由平角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】依据三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，可判断出此三角形有一内角为钝角，从而得出这个三角形是钝角三角形． 【解析】解：∵三角形的一个外角与它相邻的内角和为，而这个外角小于它相邻的内角， ∴与它相邻的这个内角大于， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角． 5．如图，点在的边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟记这个知识点是解题的关键．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此求解． 【解析】解：，， ， 故选：C． 6．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析判定即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【解析】解：①∵，则，，∴是直角三角形，符合题意； ②∵，设，则，，，∴是直角三角形，符合题意； ③∵，∴，则，∴是直角三角形，符合题意； ④∵，则，∴为钝角三角形，不符合题意； ∴能确定为是直角三角形的有①②③， 故选：C． 7．如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，然后在中利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【解析】解：在中，，， ， 在中，． 故选：B． 8．一把直尺与一块直角三角板如图方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，由题意可得，，从而可求得，再由三角形的内角和可求得，利用三角形的外角性质即可求的度数． 【解析】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（           ） A．180° B．360° C．540° D．以上答案都不是 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和等于180°，用∠AGB表示出∠A，∠B，用∠EMF表示出∠E，∠F，用∠CND表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可． 【解析】解：如图， ∵三角形的内角和等于180°， ∴∠A+∠B=180°-∠AGB，∠E+∠F=180°-∠EMF，∠C+∠D=180°-∠CND． ∵对顶角相等， ∴∠AGB=∠MGN，∠EMF=∠GMN，∠CND=∠MNG． ∵∠MGN+∠GMN+∠MNG=180°， ∴∠A+∠B+∠E+∠F+∠C+∠D =180°-∠AGB+180°-∠EMF+180°-∠CND =540°-（∠AGB+∠EMF+∠CND） =540°-180° =360°． 故选B 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及对顶角相等的性质，熟练掌握三角形三个内角的和等于180°是解答本题的关键． 10．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，设与交于点，由折叠性质可知，然后由三角形的外角性质得，，然后代入即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【解析】解：设与交于点， 由折叠得：， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵，，， ∴， 故选：． 二、填空题 11．在三角形的三个内角中，最多有 个直角，最多有 个钝角． 【答案】 1 1 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，三角形的内角不可能存在两个（及以上）的直角和钝角． 【解析】解：∵如果三角形中由两个直角或钝角，那么该三角形的内角和就会大于180°， ∴在三角形的三个内角中，最多有1个直角，最多有1个钝角． 故答案为：1，1． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于180°是解答本题的关键． 12．在△ABC中，若∠A=50°，∠B=55°，则△ABC是 三角形；若∠A=50°，∠B=25°，则△ABC是 三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”） 【答案】 锐角 钝角 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠C，然后根据三角形的分类解答即可． 【解析】解：在△ABC中， ∵∠A=50°，∠B=55°， ∴∠C=75°， ∴三角形的三个内角都是锐角， ∴这个三角形就是锐角三角形． ∵∠A=50°，∠B=25°， ∴∠C=105°， ∴三角形有一个内角是钝角， ∴这个三角形就是钝角三角形． 故答案为：锐角，钝角 【点睛】本题考查了三角形的分类，锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度；直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△；钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度． 13．如图，在中，，，则等于 度． 【答案】70 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角性质进行求解即可． 【解析】解：∵是的外角， ∴， 故答案为：70． 14．如图，图中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，一元一次方程，解题关键是运用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和得出关系式，由三角形外角性质可得结论． 【解析】∵三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和， ， 解得：， 故答案为：． 15．在△ABC中，如果与∠B相邻的外角等于140°，那么∠A+∠C= ． 【答案】140° 【分析】根据∠B相邻的外角等于不相邻的两内角∠A、∠C的和解答即可． 【解析】解：∵与∠B相邻的外角等于140°， ∴∠A+∠C=140°． 故答案为：140°． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和． 16．在△ABC中，∠A、∠B的外角之和等于∠C的3倍，那么∠C= 度． 【答案】90 【分析】如图，由题意知∠1+∠2=3∠C①，由外角的性质得∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，代入①整理即可． 【解析】解：如图， ∵∠A、∠B的外角之和等于∠C的3倍， ∴∠1+∠2=3∠C， ∵∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C， ∴∠4+∠C+∠3+∠C=3∠C， ∴2∠C=∠4+∠C+∠3=180°， ∴∠C=90°． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，以及三角形内角和，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和． 17．如图，点、、在同一条直线上，，，，则 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质即可解决问题． 【解析】解：是的外角，，， ， ∵， ， 故答案为：45． 18．如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是 ． 【答案】/84度 【分析】本题考查矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质， 如图2，延长到点M，由折叠的性质可得，根据矩形的性质和平行线的性质得，再利用三角形外角的性质求得，如图3，由折叠的性质得，，再利用三角形外角的性质求解即可． 【解析】解：如图2，延长到点M， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 如图3，由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．在△ABC中，已知∠A=105°，∠B-∠C=15°，求∠C的度数． 【答案】30° 【分析】由∠B-∠C=15°，可得∠B=∠C+15°，然后根据三角形内角和等于180°求解即可． 【解析】∵∠B-∠C=15°， ∴∠B=∠C+15°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴105°+∠C+15°+∠C=180°， ∴∠C=30°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于180°是解答本题的关键． 20．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数. 【答案】∠A=40°,∠B=60°,∠C=80° 【分析】设∠A=2k°，∠B=3k°，∠C=4k°，然后根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【解析】解：设∠A=2k，∠B=3k，∠C=4k， 2k+3k+4k=180， 解得k=20， ∴∠A=2k=40°、∠B=3k=60°、∠C=4k=80°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于180°是解答本题的关键． 21．如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，CD⊥AB，垂足为点D，    （1）求∠ACD的度数； （2）找出图中相等的角，并说明理由． 【答案】（1）∠ACD=35°；（2）∠BDC=∠ADC=∠ACB，∠B=∠ACD，∠A=∠BCD，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及垂直的定义进行计算； （2）根据三角形内角和定理，以及垂直的定义计算每个角的度数，即可得出相等的角． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=35°， ∴∠A=180°-90°-35°=55°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC=∠ADC=90°， ∴∠ACD=180°-90°-55°=35°； （2））∵CD⊥AB， ∴∠BDC=∠ADC=90°， ∴∠BDC=∠ADC=∠ACB； ∵∠B=35°，∠ACD=35°， ∴∠B=∠ACD； ∵∠A=55°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-35°=55°， ∴∠A=∠BCD． ∴图中相等的角有：∠BDC=∠ADC=∠ACB，∠B=∠ACD，∠A=∠BCD． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和垂直的定义，解答此题的关键是会运用三角形内角和定理，以及垂直的定义计算角的度数． 22．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BDC，∠A=∠DCA，求∠A的度数． 【答案】36° 【分析】先根据∠A=∠DCA，判断出∠BDC=2∠A；然后根据∠ABC=∠ACB=∠BDC，判断出∠ABC、∠ACB与∠A的关系；最后在△ABC中，应用三角形的内角和定理，求出∠A的度数是多少即可． 【解析】解：∵∠A=∠DCA， ∴∠BDC=2∠A， ∵∠ABC=∠ACB=∠BDC， ∴∠ABC=∠ACB=2∠A， ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴2∠A+2∠A+∠A=180°， ∴5∠A=180°， ∴∠A=36°． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°． 23．如图，在中，点、点分别为、上一点，平分，，． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质和三角形内角和定理： （1）根据平行线的性质和已知条件证明，则可证明； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 24．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． （1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【解析】（1）解： 是“三倍角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴是“三倍角三角形”． （2）∵， ∴， 设最小的角为， ①当时，，满足题意； ②最小角为时，另外两个角为，，满足题意； ③当时，，，（不合题意，舍去） 答②：中最小内角的度数为或． 25．【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：，；（）；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 问题：利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； 探究：（）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得， ，代入即可求解； （）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：问题：若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； 若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）． 理由：由三角形的外角性质得，，， ∵是与外角的平分线和的交点， ∴， ， ∴ ， ∴； （）． 理由：∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ， 在中， ， ， ∵， ∴． 2 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$