精品解析：河南省南阳市方城县2024-2025学年上学期第二次月考八年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期阶段性测试卷（3/4） 八年级数学（HS） 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在实数，，，中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 5，3，4 D. 1，2，3 5. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，若AB＝DE，BC＝EF，则下列条件中能满足△ABC≌△DEF的是（　　） A. ∠A＝∠EDF B. AD＝CF C. ∠BCA＝∠F D. BCEF 6. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知：，，则的值为（ ） A. 25 B. 20 C. 13 D. 17 8. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：4______（填入“”或“”号）． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 13. 如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度为，则间的距离为_____． 14. 若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为 _____． 15. 在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． （3）分解因式：； （4）分解因式：． 17. 已知． （1）化简A． （2）a是的整数部分，求A的值． 18. 已知一个正数x的两个平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 19. 如图，已知平分，于点E，的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图： （1）在图①中，连结AC、BC，使AC=AB，∠BAC=90°； （2）在图②中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB=90°； （3）在图③中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB≠90°． 21. 如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），是的外角的平分线上一点，且． （1）尺规作图：在直线的下方，过点作，作的延长线，与相交于点． （2）求证：是等边； （3）求证：． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 23. （一）问题探究 已知：在锐角中，，把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接． （1）如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； （2）如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长； （二）解决问题 如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性测试卷（3/4） 八年级数学（HS） 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在实数，，，中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数，即可解答． 【详解】解：，，是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3. 能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】a的平方大于等于0，因此找出a的平方等于0的选项即可． 【详解】解：当时，a的平方等于0， 因此能说明命题“任何数a的平方都大于0”是假命题， 故选B． 【点睛】本题考查举反例，掌握“a的平方大于等于0”是解题的关键． 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 5，3，4 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件；掌握勾股定理的逆定理是关键；按照勾股定理的逆定理及构成三角形条件，逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 故选：C． 5. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，若AB＝DE，BC＝EF，则下列条件中能满足△ABC≌△DEF的是（　　） A. ∠A＝∠EDF B. AD＝CF C. ∠BCA＝∠F D. BCEF 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定解决问题即可． 【详解】解：，， 添加或或，即可证明． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 6. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 7. 已知：，，则的值为（ ） A. 25 B. 20 C. 13 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形得结论． 【详解】解：，， ． 故选：C． 8. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质． 9. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10. 如图，在中，，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，E两点，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点F，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，勾股定理和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．过F点作于H点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着证明，得到，所以，设，则，利用勾股定理得，然后解方程即可． 【详解】解：过F点作于H点，如图， 由作图痕迹得平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得， 即的长为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：4______（填入“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】比较两数的平方大小即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数大小比较：通过比较两实数的平方的大小来判断两实数的大小． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 13. 如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度为，则间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 14. 若关于x的多项式（x+m）（2x﹣3）展开后不含x项，则m的值为 _____． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式可进行把含x的多项式进行展开，然后再根据题意可求解． 【详解】解：， ∵展开后不含x项， ∴， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 15. 在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或7 【解析】 【分析】由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ， 当在上时，是直角三角形，如图1所示： 设， 由翻折的性质得：， ， ， 在中， ， 解得：，即， ； 当在上时，是直角三角形，如图2所示： 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，的长为或7． 故答案为：或7． 【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、正方形的判定与性质，勾股定理等知识．注意分类讨论． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． （3）分解因式：； （4）分解因式：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算，分解因式等知识； （1）分别计算乘方、立方根、平方根与绝对值，最后相加减即可； （2）依次计算同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可； （3）先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可； （4）先提取公因式m，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． （3） ； （4） ． 17. 已知． （1）化简A． （2）a是的整数部分，求A的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，无理数的估算，求代数式的值； （1）分别用平方差公式、完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）估算出无理数的整数部分，即得a的值，代入（1）中化简后的式子中，即可求值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵，即． ∴． 当时，． 18. 已知一个正数x的两个平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合．已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据平方根的形式求得a的值后代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据算术平方根及立方根的定义求得的值，然后将其代入中计算即可． 【小问1详解】 解∶一个正数的两个平方根分别是和， 解得∶， 则， 那么； 【小问2详解】 为的算术平方根，为的立方根，， ∴， 则． 19. 如图，已知平分，于点E，的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E，的延长线于点F， ∴， 在与中，， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，利用即可证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，然后根据全等三角形的性质得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 图①、图②、图③均为3×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B均为格点．分别在给定的网格中找一格点C，按下列要求作图： （1）在图①中，连结AC、BC，使AC=AB，∠BAC=90°； （2）在图②中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB=90°； （3）在图③中，连结AC、BC，使AC=BC，∠ACB≠90°． 【答案】（1） 如图①中，点C即为所求； （2） 如图②中，点C即为所求； （3） 如图③中，点C即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用全等的三垂直模型以及题目要求作出图形即可； （2）利用全等的三垂直模型以及题目要求作出图形即可； （3）根据BC=5，AC==5，作出图形即可． 【小问1详解】 解：∵，∠AEB=∠CFA=90°，BE=AF=3， ∴△AEB≌△CFA， ∴AB=AC，∠EAB=∠FCA， ∵∠FCA+∠FAC=90°， ∴∠EAB +∠FAC=90°， ∴∠BAC=90°； 【小问2详解】 解：同（1）可证明； 【小问3详解】 解：∵BC=5，AC==5， ∴BC= AC， ∵AB==， ∴BC2+ AC2≠AB2， ∴∠ACB≠90°． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，在等边中，是边上一点（不含端点，），是的外角的平分线上一点，且． （1）尺规作图：在直线的下方，过点作，作的延长线，与相交于点． （2）求证：是等边； （3）求证：． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， 是等边； （3） 证明：连接， 和是等边三角形， ， 在和中， ， （SAS）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）以为圆心，以任意长为半径画弧，交、两边为和，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于，作射线，交的延长线于，则； （2）证明三个角都是，可得结论； （3）作辅助线，构建三角形全等，证明（SAS），得，，证明，根据三角形外角的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，作一个角等于已知角的基本作图，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键． 22. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）①；② 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景及应用能力． （1）从大正方形面积的整体和各部分求和两方面列式表示，可得； （2）根据因式分解可得此题结果； （3）由（1）题结果可得，利用以上两个结论可分别求解①，②小题． 【小问1详解】 解：由题意，图2面积可分别表示为：和， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：可分解为， ∴可拼成边长各为，的长方形， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：①∵，， 由（2）题结果可得， ； ②设，，则， ，， 又， ， ， ． 23. （一）问题探究 已知：在锐角中，，把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，分别连接． （1）如图①，当时，线段与的数量关系是 （直接写出结论，不说理由）； （2）如图②，当时， ①探究线段与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长； （二）解决问题 如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： ∵把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，，从而证明，即得答案； （2）①类似（1）的证明，即可证得答案；②根据勾股定理可求得的长，根据①中的全等三角形及等腰三角形的性质，可得，最后由勾股定理即可求得答案； （3）过点作，交的延长线于点，先根据等腰三角形的判定与性质，分别求出与的长，再证明，即得的长． 【详解】解：（1）∵把线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①略 ②∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $