精品解析：河南省南阳市桐柏县两大教育集团联考2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024年秋集团校八年级数学月验收 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ） A. a不垂直于c B. a，b都不垂直于c C. D. a与b相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答． 【详解】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”， 应假设：a不平行b或a与b相交． 故选D． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2. 由下列条件能判定为直角三角形的是（ ）． A. B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理，勾股定理逆定理进行计算即可． 【详解】解：、，即， 为直角三角形，故此选项符合题意； 、，， ， ， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、， ， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； 、， ，，， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 3. 下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，，，故此选项错误； B、，，且，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、中不是正整数，三个数不是勾股数，故此选项错误． 故答案为：B． 4. 如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了，在作图痕迹中弧是（ ） A. 以点为圆心，长为半径的弧 B. 以点为圆心，长为半径的弧 C. 以点为圆心，长为半径的弧 D. 以点 为圆心，长为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，根据作图步骤即可得到答案. 【详解】解：如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了，在作图痕迹中弧是以点 为圆心，长为半径的弧， 故选：D 5. 如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 6. 如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求． 【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，由此可得： ， 根据勾股定理有： 故选D． 【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图． 7. 如图，在中，，是的平分线，交于点D，若，，面积是（　　） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，根据角平分线的性质，边上的高等于的长2，再由三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴点D到的距离为的长， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积的计算．本题比较简单，直接应用角平分线的性质进行解题，属于基础题． 8. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. B. 13 C. 14 D. 13或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：斜边长为 故选：B 9. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ） A. 5.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 10. 如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得： ， ， ， ， 依此类推可得： ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 12. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【解析】 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 在中，，高，则的周长是 _____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：当高在的内部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 当高在的外部时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 此时的周长是； 综上所述，的周长是或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 14. 如图，一个长为4，宽为2的长方形从直线a的左侧水平平移至右侧（图中的虚线是水平线，长方形短边与水平线平行），则平移的距离为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，先由平移性质和等腰三角形的判定得出△BCD为等腰直角三角形，进而求得BC=BD=4，求出AC即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，∠DBC=90°，∠BCD=45°，则∠BDC=90°-45°=45°=∠BCD， ∴△DBC为等腰直角三角形， ∴BC=BD=4， ∴AC=2+4=6， 则平移的距离为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查平移性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质和等腰三角形的判定是解答的关键． 15. 如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接AD，AM， ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AM=BM， ∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD， ∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小， ∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD， ∵AB=AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，， ∴， ∴AD=6， ∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，，，的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形．并指出哪一个角是直角． （1），，； （2），，； 【答案】（1）是，是直角；（2）是，是直角 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，∠B=90°即∠B是直角； （2）∵，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90°即∠C是直角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理． 17. 如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件： （1）附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． （2）点到两条道路的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． （3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置． 【答案】（1）垂直平分线 （2）角平分线 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质即可求解； （）根据角平分线的性质即可求解； （）分别作线段的垂直平分线和的角平分线，相交于点，点即为所求； 本题考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质及作图，掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出垂直平分线， 故答案为：垂直平分线； 【小问2详解】 解：点到两条道路的距离相等，需要作出角平分线， 故答案为：角平分线； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求． 18. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 19. 如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半） 【答案】处受噪音影响的时间为16秒． 【解析】 【分析】首先过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B、D，使AB=AD=200，根据勾股定理得出BC和CD的长度，即可求出BD，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥MN， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米<200米， 在MN上取点B、D，使AB=AD=200，当火车在BD上时A处产生噪音影响， ∵AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米， 即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 答：处受噪音影响的时间为16秒． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 20. 我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差．如图①，在中，为边上的高，的“线高差”等于，记为． （1）如图②，在中，，，垂足为，，，则 ． （2）如图③，在中，，，，求． 【答案】（1）2；（2）5.2 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出BC的长即可解决问题； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD=2×4=8， h（BC）=BC-AD=2； （2）如图，过点作于． 在中，根据勾股定理得 ， ∵， ∴ ∴, ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． （1）如图①，当时，与的数量关系是______； （2）如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 过点P点作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理可直接进行求解； （2）做辅助线如图，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，则，然后根据全等三角形的性质与判定可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，是的平分线， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 【答案】（1）证明：在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：； （2）如图、、即为所求； （3）5 【解析】 【分析】（1）先证，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论； （2）①画三边分别为3，4，5的三角形即可；②画三边长为的三角形；③根据面积画钝角三角形即可； （3）先证，同理，整体代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）如下图：①,即为所求； ②,即为所求； ③，即为所求； （3）解：，理由如下： 如图， ∵图中的四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质、勾股定理的证明及勾股定理与无理数，熟练勾股定理及证明是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋集团校八年级数学月验收 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用反证法证明“若，，则”时，应假设（ ） A. a不垂直于c B. a，b都不垂直于c C. D. a与b相交 2. 由下列条件能判定为直角三角形的是（ ）． A. B. C. ，， D. 3. 下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明在学习用尺规作一个角等于已知角时，作了，在作图痕迹中弧是（ ） A. 以点为圆心，长为半径的弧 B. 以点为圆心，长为半径的弧 C. 以点为圆心，长为半径的弧 D. 以点 为圆心，长为半径的弧 5. 如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 26 7. 如图，在中，，是的平分线，交于点D，若，，面积是（　　） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 8. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. B. 13 C. 14 D. 13或 9. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ） A. 5.2 B. C. D. 10. 如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 12. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 13. 在中，，高，则的周长是 _____． 14. 如图，一个长为4，宽为2的长方形从直线a的左侧水平平移至右侧（图中的虚线是水平线，长方形短边与水平线平行），则平移的距离为____________． 15. 如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，，，的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形．并指出哪一个角是直角． （1），，； （2），，； 17. 如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件： （1）附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． （2）点到两条道路的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． （3）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置． 18. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 19. 如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半） 20. 我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差．如图①，在中，为边上的高，的“线高差”等于，记为． （1）如图②，在中，，，垂足为，，，则 ． （2）如图③，在中，，，，求． 21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，． （1）如图①，当时，与的数量关系是______； （2）如图②，点C，D分别在射线，上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 23. 勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $