第12讲 空间几何体-【学考一号】2025年高中数学学业水平复习方略精讲精练

一尧单项选择题 1. 若棱长为 2 3姨 的正方体的顶点都在同一球面上袁则该球的表面积为 渊 冤 A. 12仔 B. 24仔 C. 36仔 D. 144仔 2. 如图袁一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45毅袁 腰和上底长均为 2的等腰梯形袁则该平面图形的面积是 渊 冤 A援 2垣 2姨 B援 1垣 2姨 C援 4垣2 2姨 D援 8垣4 2姨 3. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等袁侧面积相等袁且它们的高均为 3姨 袁则圆锥的体积为 渊 冤 A. 2 3姨 仔 B. 3 3姨 仔 C. 6 3姨 仔 D. 9 3姨 仔 4. 正四棱柱的八个顶点都在一个半径为 1的球 O的球面上袁O到该正四棱柱侧面的距离为 12 袁 则该正四棱柱的体积是 渊 冤 A. 2 2姨 B. 2姨 C. 2姨2 D. 2姨3 5. 右图是一个圆台的侧面展开图袁其面积为 3仔袁两个圆弧所在的圆半径 分别为 2和 4袁则该圆台的体积为 渊 冤 A. 7 3姨3 仔 B. 7 3姨6 仔 C. 7 15姨12 仔 D. 7 15姨24 仔 6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一袁它的形状可视为一个正四 棱锥袁以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面 三角形的面积袁则其底面正方形的边长与侧面三角形底边上的高的比 值为 渊 冤 A. 5姨 +1 B. 5姨 +12 C. 5姨 -1 D. 5姨 -12 7. 在三棱锥 P-ABC中袁点 M袁N分别在棱 PC和 PB上袁且 PM= 13 PC袁PN= 23 PB袁则三棱锥 P-AMN 和三棱锥 P-ABC的体积之比为 渊 冤 A. 19 B. 29 C. 13 D. 49 8. 已知圆锥 PO 的底面半径为 3姨 袁O 为底面圆心袁PA袁PB 为圆锥的母线袁蚁AOB=120毅袁若 吟PAB的面积等于 9 3姨4 袁则该圆锥的体积为 渊 冤 A. 仔 B. 6姨 仔 C. 3仔 D. 3 6姨 仔 第 12讲 空间几何体 y忆 x忆B忆渊A 忆冤 O忆 C忆D忆 105 D C B A 9. 粽子袁古时北方也称野角黍冶袁是由粽叶包裹糯米尧泰米等馅料蒸煮制成的食 品袁是中国汉族传统节庆食物之一. 某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面 体袁蛋黄近似看成一个球体袁且每个粽子里仅包裹一个蛋黄. 若粽子的棱 长为 9 cm袁则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为渊已知 6姨 抑2.45冤 渊 冤 A. 20 cm3 B. 22 cm3 C. 26 cm3 D. 30 cm3 10. 将半径都为 1的 4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里袁这个正四面体的高的最小值为 渊 冤 A. 3姨 +2 6姨3 B. 2+ 2 6姨3 C. 4+ 2 6姨3 D. 4 3姨 +2 6姨3 11. 在棱长为 3的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中袁P为吟A CD1内一点袁若吟PB1D的面积为 3 3姨2 袁则 四面体 D-D1AP体积的最大值为 渊 冤 A. 3姨 + 6姨3 B. 3+ 6姨3 C. 3姨 + 6姨2 D. 3+ 6姨2 12. 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一袁图 1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山 顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体渊图 2冤. 这两个三棱柱有一个公 共侧面 ABCD. 在底面 BCE中袁若 BE=CE=3袁蚁BEC=120毅袁则该几何体的体积为 渊 冤 A. 272 B. 27 3姨2 C. 27 D. 27 3姨 二尧多项选择题 13. 如图袁吟A忆B忆C忆是水平放置的吟ABC的斜二测直观图袁A忆B忆=2袁A忆C忆=B忆C忆= 5姨 袁则在原平面图形吟ABC中袁有 渊 冤 A. A C=BC B. AB=2 C. AC=2 5姨 D. S吟ABC=4 2姨 14. 数学中有许多形状优美尧寓意独特的几何体袁勒洛四面体就是其中之一. 勒洛四面体是以正 四面体的四个顶点为球心袁以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分. 如图袁在勒洛四 面体 A BCD中袁正四面体的棱长为 2袁则下列结论正确的是 渊 冤 A. 若 P袁Q是勒洛四面体 A BCD表面上的任意两点袁则 PQ的最大值是 2 B. 勒洛四面体 ABCD被平面 ABC截得的截面面积是 仔- 3姨 C. 勒洛四面体 ABCD内切球的半径是 2- 6姨2 D. 勒洛四面体 A BCD的体积是 6姨 仔 x忆B忆A 忆O忆 y忆 C忆 图 2 C A B E D 图 1 106 15. 下列物体中袁能够被整体放入棱长为 1渊单位院m冤的正方体容器渊容器壁厚度忽略不计冤内 的有 渊 冤 A. 直径为 0.99 m的球体 B. 所有棱长均为 1.4 m的四面体 C. 底面直径为 0.01 m袁高为 1.8 m的圆柱体 D. 底面直径为 1.2 m袁高为 0.01 m的圆柱体 三尧填空题 16. 在三棱锥 A-BCD中袁AB=A D=BD=BC=CD=2 3姨 袁A C=3 3姨 袁则该三棱锥的体积为 . 17. 已知甲尧乙两个圆台上下底面的半径均为 r2和 r1袁母线长分别为 2渊r1-r2冤和 3渊r1-r2冤袁则两个圆 台的体积之比 V 甲V 乙 = . 18. 中国有悠久的金石文化袁印信是金石文化的代表之一. 印 信的形状多为长方体尧正方体或圆柱体袁但南北朝时期的官 员独孤信的印信形状是野半正多面体冶渊图 1冤. 半正多面体 是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面 体体现了数学的对称美 . 图 2 是一个棱数为 48 的半正多 面体袁它的所有顶点都在同一个正方体的表面上袁且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面体 共有 个面袁其棱长为 . 19. 在正方体 ABCD-A 1B1C1D1中袁AB=4袁O为 AC1的中点袁若该正方体的棱与球 O的球面有公共 点袁则球 O的半径的取值范围是 . 四尧解答题 20. 如图袁三棱柱 ABC-A 1B1C1内接于一个圆柱袁且底面是正三角形袁如果圆柱的体积是 2仔袁底面 直径与母线长相等. 求院 渊1冤圆柱的底面半径. 渊2冤三棱柱 ABC-A 1B1C1的体积. B1 A 1 C1 C A B 图 1 图 2 107 21. 如图袁正四棱锥 S-ABCD中袁SH 是正四棱锥的高袁SM是斜高袁且 SH=2袁SM=2 2姨 袁求院 渊1冤该四棱锥的表面积. 渊2冤该四棱锥外接球与内切球的半径. 22. 如图袁AB是圆柱下底面的直径且长度为 2袁PA 是圆柱的母线且 PA=2袁 点 C是圆柱底面圆周 上的点. 渊1冤求圆柱的侧面积和体积. 渊2冤若 AC=1袁点 D在线段 PB上袁点 E在线段 PA 上袁求 CE+ED的最小值袁并求此时 AE的长. B M C H A D S C P A B E D 108 Q cos 兹-仔3蓸 蔀+1袁sin 兹-仔3蓸 蔀+ 3姨蓸 蔀袁得 OQ = cos 兹-仔3蓸 蔀+1蓘 蓡 2 + sin 兹-仔3蓸 蔀+ 3姨蓘 蓡 2姨 = 5+4sin 兹-仔6蓸 蔀姨 袁所以当 sin 兹-仔6蓸 蔀=1时袁 OQ 取得最大 值 3袁故线段 OQ长度的最大值为 3. 第 12讲 空间几何体 一尧单项选择题 1. C揖解析铱正方体的对角线就是球的直径袁所以 2R = 3姨 伊 2 3姨 =6袁所以 R=3袁S=4仔R2=36仔. 2. D揖解析铱由直观图可知等腰梯形 A 忆B忆C忆D忆的面积 S忆= 12 伊 渊2+2+2 2姨 冤伊 2姨 =2 2姨 +2袁所以该平面图形的面积 S= 2 2姨 S忆越8垣4 2姨 援 3. B揖解析铱设圆锥的底面半径为 r袁圆锥的母线长为 3+r2姨 袁圆 柱和圆锥的侧面积相等袁可得 2 3姨 仔r=仔r伊 3+r2姨 袁解得 r=3袁圆锥的体积为 13 伊仔伊32伊 3姨 =3 3姨 仔. 4. B揖解析铱正四棱柱的八个顶点都在一个半径为 1的球 O的 球面上袁O到该正四棱柱侧面的距离为 12 袁所以正四棱柱的 底面边长为 1袁设正四棱柱的高为 h袁则正四棱柱的体对角 线即为其外接球的直径袁2R=2袁所以渊2R冤2=12+12+h2袁所以 h= 2姨 袁所以该正四棱柱的体积为 1伊1伊 2姨 = 2姨 . 5. D揖解析铱圆台的侧面展开图是一扇环袁设该扇环的圆心角为 琢袁则其面积为 12 伊琢伊42- 12 伊琢伊22=3仔袁得 琢=仔2 袁所以扇环的 两个圆弧长分别为 仔和 2仔袁设圆台的上尧下底半径分别为 r1袁r2袁圆台的高为 h袁则 2仔r1=仔袁2仔r2=2仔袁所以 r1= 12 袁r2=1袁又 圆台的母线长 l=4-2=2袁所以 h= 圆2- 1- 12蓸 蔀 2姨 = 15姨2 袁所 以圆台的体积 V= 13 伊仔 12蓸 蔀 2+12+ 12 伊1蓘 蓡伊 15姨2 = 7 15姨24 仔. 6. C揖解析铱作出正四棱锥的图象袁如 图袁底面 ABCD 是边长为 a的正 方形袁顶点 P在底面的投影为 O袁 OP=h袁H 为 BC 的中点袁PH 为侧 面吟PBC的高袁记为 h忆袁由已知得 h2= 12 ah忆=渊h忆冤2- a2蓸 蔀 2 袁则 1- a24h忆2 = 12窑ah忆 袁即 14 a h忆蓸 蔀 2 + 12窑 ah忆蓸 蔀-1=0袁解得 ah忆 = 5姨 -1渊- 5姨 - 1舍去冤. 7. B揖解析铱在三棱锥 P-ABC中袁线段 PC上的点 M 满足 PM= 13 PC袁线段 PB上的点 N满足 PN= 23 PB袁所以 S吟PMA= 13窑S吟PAC袁 设 N到平面 PAC的距离为 d1袁B到平面 PAC的距离为 d2袁 则 d1= 23 d2袁则三棱锥 P-AMN的体积为 V 三棱锥 P-AMN= V 三棱锥 N-APM= 13 SPAM窑d1= 13 伊 13 S吟PAC伊 23 d2= 29 V 三棱锥 B-PAC. 故 三棱锥 P-AMN和三棱锥 P-ABC的体积之比为 29 . 8. B揖解析铱设该圆锥的高为 h袁即 PO=h袁 取 AB的中点 E袁连接 PE袁OE袁由于 OA= OB= 3姨 袁蚁AOB=120毅袁故 AB= OA 2+OB2-2OA窑OB窑cos 120毅姨 =3袁同 时 OE=OA伊sin 30毅= 3姨2 袁吟PAB 中袁 PA=PB袁E为 AB的中点袁则有 PE彝AB袁 又 12 PE窑AB= 9 3姨4 袁可得 PE= 3 3姨2 袁而 PE= h2+ 34姨 袁则 有 h2+ 34 = 274 袁解得 h= 6姨 袁故该圆锥的体积 V = 13 仔伊 渊 3姨 冤2h= 6姨 仔.9. C揖解析铱蛋黄近似看成一个棱长为 9 cm 的正四面体的内 切球袁设内切球的球心为 O袁半径为 r袁则四面体的体积等于 以 O为顶点袁分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和袁 又四面体每个面的面积 S= 81 3姨4 袁所以正四面体的体积 V = 43 Sr袁又正四面体的高 h= 92- 3 3姨蓸 蔀 2姨 =3 6姨 袁可得 V = 13 Sh= 243 2姨4 袁r= 3V4S = 3 6姨4 袁可包裹的蛋黄的最大 体积为 43 仔 3 6姨4蓸 蔀 3 = 27 6姨8 仔抑26. 10. C揖解析铱底面放三个钢球袁上再落一个钢球时体积最小. 于 是把钢球的球心连接袁则又可得到一个棱长为 2的小正四 面体袁则不难求出这个小正四面体的高为 2 6姨3 袁正四面 体的中心到底面的距离是高的 14 袁且小正四面体的中心和 正四面体容器的中心应该是重合的袁所以小正四面体的中 心到底面的距离是 2 6姨3 伊 14 = 6姨6 袁正四面体的中心到 底面的距离是 6姨6 +1渊即小钢球的半径冤袁所以正四面体 的高的最小值为 6姨6 +1蓸 蔀伊4=4+ 2 6姨3 . 11. D揖解析铱如图 1所示袁设 B1D与平 面 ACD1相交于点 E袁连接 BD 交 AC于 O袁连接 OD1袁则交 B1D于点 E袁因为 BB1彝AC袁AC彝BD袁所以 AC彝平面 BDD1B1袁则 AC彝B1D袁 同理可得 AD1彝B1D袁所以 B1D彝 平面 ACD1袁所以 B1D彝PE袁所以 PE 是吟PB1D的高袁由 S吟PB1D= 12 B1D窑 PE= 3 3姨2 得 PE=1袁所以点 P的轨迹是以 E为圆心袁1为 半径的圆袁又 B1D彝平面 AD1P袁所以 DE彝平面 AD1P袁所以 V D-D1AP= 13 S吟AD1P窑DE袁因为 DE为常数袁所以当 S吟AD1P最大时袁 V D-D1AP取得最大值袁设 P到 AD1 的距离为 h袁所以 S吟AD1P=12 AD1窑h. 在四边形 DBB1D1中袁如图 2 所示袁D1O彝DB1袁 D1O= 3 6姨2 袁所以 OE= 6姨2 袁 D1E= 6姨 袁DE= 3姨 袁 D1ED1O = 23 袁 所以 E 到 AD1 的距离是 O 到 AD1 距离的 23 袁则 h的最大值为 B H C O A D P A EB O P B C C1 B1 OA E D A 1 D1 图 1 O BD E B1D1 图 2 213 6姨2 +1袁故四面体 D-D1AP体积的最大值为 13 伊 12 伊3 2姨 伊 6姨2 +1蓸 蔀伊 3姨 = 3+ 6姨2 . 12. C揖解析铱如图所示袁几何体为 直三棱柱 BCE-ADF与两个 三棱锥 G -MAB袁G -NCD袁设 直三棱柱 BEC-ADF的底面 BCE的面积为 S袁 高为 h袁所 求的几何体的体积为 V袁则 S= 12 BE窑CEsin 120毅= 9 3姨4 袁h=CD=BC=3 3姨 袁所以 V = V 三棱柱 BCE-ADF+V 三棱锥 G-MAB+V 三棱锥 G-NCD=Sh+ 13 S窑12 h+ 13 S窑 12 h= 43 Sh=27. 二尧多项选择题 13. BD揖解析铱在直观图中袁过 C忆作 C忆D忆彝A忆B忆于 D忆袁可得 A忆D忆= 1袁C忆D忆=2袁又蚁C忆O忆D忆=45毅袁所以 O忆D忆=2袁O忆A忆=1袁O忆C忆=2 2姨 袁 所以原平面图形吟ABC 如图 2 所示袁OC=4 2姨 袁OA =1袁 AB=2袁B正确曰又 AC= OA 2+OC2姨 = 33姨 袁BC= OB2+OC2姨 = 41姨 袁A尧C错误曰S吟ABC= 12 伊AB伊OC=4 2姨 袁D正确. 14. AC揖解析铱由勒洛四面体的定义可 知勒洛四面体表面上的任意两点 间的距离的最大值是 2袁A 正确曰 勒洛四面体 ABCD被平面 ABC截 得的截面如图 1 所示袁其面积为 12 伊 仔3 伊22伊3 - 12 伊2伊 3姨 伊2 = 2渊仔- 3姨 冤袁B错误曰如图 2袁由对 称性可知勒洛四面体内切球的球 心 O 是正四面体外接球的球心袁 连接 BO袁并延长交勒洛四面体的 曲面于点 E袁则 OE就是勒洛四面 体内切球的半径袁如图 3袁在正四 面体中袁M为吟BCD 的中心袁O是 正四面体外接球的球心袁连接 BM袁 BO袁AM袁由正四面体的性质可知袁 O在 AM上袁因为 AB=2袁所以 BM= 2 3姨3 袁AM= 2 6姨3 袁BO= 6姨2 袁 因为 BE=AB=2袁所以 OE=2- 6姨2 袁 正四面体外接球的体积是 43 仔R3= 43 仔伊 6姨2蓸 蔀 3 = 6姨 仔袁而勒洛 四面体的体积小于正四面体外接 球的体积袁C正确袁D错误. 15. ABD揖解析铱棱长为 1的正方体内切 球的直径为 1>0.99袁A正确曰如图 1袁 正方体内部最大的正四面体 D - A 1BC1的棱长为 12+12姨 = 2姨 >1.4袁 B正确曰棱长为 1的正方体的体对角线为 3姨 <1.8袁C 错 误曰如图 2袁六边形 EFGHIJ为正六边形袁E袁F袁G袁H袁I袁J为 棱的中点袁高为 0.01米可忽略不计袁看作直径为 1.2米的平 面圆袁六边形 EFGHIJ棱长为 2姨2 袁蚁GFH=蚁GHF=30毅袁所 以 FH= 3姨 FG= 6姨2 袁故六边形 EFGHIJ内切圆直径为 6姨2 袁而 6姨2蓸 蔀 2 = 32 >渊1.2冤2=1.44袁D正确. 三尧填空题 16. 92 揖解析铱如图袁设 BD的中点为 O袁连接 AO袁CO袁则 BD彝AO袁BD彝 CO袁所以 BD彝平面 AOC袁又 AO= CO=2 3姨 伊 3姨2 =3袁AC=3 3姨 袁 所以在吟AOC中袁由余弦定理可 得 cos蚁AOC= 32+32-渊3 3姨 冤22伊3伊3 =- 12 袁所以 sin蚁AOC= 3姨2 袁所以 S吟AOC= 12 伊3伊3伊 3姨2 = 9 3姨4 袁所以三棱锥 A-BCD的体积 V=V B-AOC+V D-AOC= 13 S吟AOC窑BD= 92 . 17. 6姨4 揖解析铱两个圆台的体积之比 V 甲V 乙 =13 渊S1+S2+ S1S2姨 冤h 甲13 渊S1+S2+ S1S2姨 冤h 乙 = h 甲h 乙 = 咱2渊r1-r2冤暂2-渊r1-r2冤2姨 咱3渊r1-r2冤暂2-渊r1-r2冤2姨 窑 3姨 渊r1-r2冤 2 2姨 渊r1-r2冤 = 6姨4 . 18. 26 2姨 -1揖解析铱半正多面体的中间层是一个正八棱 柱袁共有 8+8+8+2=26个面袁且正八棱柱的每个侧面都是正 方形袁对应表面的三角形是正三角形袁故所有棱长都相等袁 由半正多面体的棱长是中间层正八棱柱的棱长加上两个 棱长的 cos 45毅倍袁设其棱长为 x袁则 x+ 2姨2 x+ 2姨2 x= 1袁解得 x= 2姨 -1. 19. 咱2 2姨 袁2 3姨 暂揖解析铱设球的半径 为 R袁当球是正方体的外接球时袁恰 好经过正方体的每个顶点袁所求的 球的半径最大袁若半径变得更大袁球 会包含正方体袁导致球面和棱没有 交点袁正方体的外接球直径 2R忆为体 对角线长 AC1= 42+42+42姨 =4 3姨 袁 即 2R忆=4 3姨 袁R忆=2 3姨 袁故 Rmax=2 3姨 袁分别取侧棱 AA 1袁 BB1袁CC1袁DD1的中点 M袁H袁G袁N袁则四边形 MNGH 是边长 为 4的正方形袁且 O为正方形 MNGH 的对角线交点袁连接 MG袁则 MG=4 2姨 袁当球的一个大圆恰好是四边形 MNGH 的外接圆袁球的半径最小袁即 R 的最小值为 2 2姨 袁综上袁 球 O的半径的取值范围是咱2 2姨 袁2 3姨 暂. C A B E D G N F M 图 1 x忆B忆A 忆O忆 y忆 D忆 C忆 图 2 xBAO y C 图 1 D C B A O E 图 2 C B A O D M 图 3 D1 C1 A 1 B1 D CB A 图 1 D1 C1 A 1 B1 D CB A G H I J F E E F GJ HI 图 2 DOB C A B CH GB1 C1 O D A M A 1 D1 N 214 四尧解答题 20. 渊1冤设底面圆的直径为 2r袁由题可知圆柱的体积 V =仔r2窑2r= 2仔袁解得 r=1袁即圆柱的底面半径为 1. 渊2冤因为吟ABC为正三角形袁底面圆的半径为 1袁所以可得 边长 AB= 3姨 袁所以三棱柱 ABC-A 1B1C1 的体积 V = 12 伊 3姨 伊 32 伊2= 3 3姨2 . 21. 渊1冤如图 袁由已知得 HM= 渊2 2姨 冤2-22姨 =2袁故 AB= 2HM=4袁所以 S 锥=4伊4+4伊12 伊4伊2 2姨 =16+16 2姨 . 渊2冤易知球心在 SH 所在的直线上袁设外接球的半径为 R袁 所以 R2=渊2 2姨 冤2+渊2-R冤2袁解得 R=3. 设内切球的半径为 r袁利用等体积转换法袁有 V S-ABCD= 13 伊4伊4伊2= 13窑SABCD窑r+ 13 伊 4S吟SBC窑r袁解得 r=2渊 2姨 -1冤. 22. 渊1冤圆柱底面圆的半径 r= AB2 =1袁圆柱的高 h=PA =2袁所以 圆柱的侧面积 S 侧=2仔rh=4仔袁圆柱的体积 V=仔r2h=2仔.渊2冤如图袁延长线段 BA 至 C忆袁使得 AC忆=AC=1袁作 C忆D彝PB袁垂足为 D袁 交 PA 于 E袁由圆柱可得 PA彝AB袁则 吟EAC忆艺吟EAC袁所以 C忆E=CE袁 C忆E+ED=C忆D 时袁CE+ED 取得最小 值袁因为 AB=2袁PA =2袁所以蚁C忆BD= 45毅袁所以在 Rt吟BDC忆中袁BC忆=BA +AC忆=3袁所以 C忆D=BC忆窑 sin 45毅= 3 2姨2 袁所以 CE+ED 的最小值为 3 2姨2 . 又在 Rt吟BDC忆中袁蚁C忆BD=45毅袁所以蚁BC忆D=45毅袁则在 Rt吟C忆AE 中袁AE=AC忆=1. 第 13讲 点尧线尧面位置关系 一尧单项选择题 1. A揖解析铱连接 A 1C1袁AC袁则 A 1C1椅AC袁所以 A 1袁C1袁A袁C四点 共面袁A 1C奂平面 ACC1A 1袁因为 M沂A 1C袁所以 M沂平面 ACC1A 1袁又因为 M沂平面 AB1D1袁所以 M 在平面 ACC1A 1与 平面 AB1D1 的交线上袁同理 A 袁O 在平面 ACC1A 1 与平面 AB1D1的交线上援 所以 A袁M袁O三点共线援2. C揖解析铱平面 琢和平面 茁还有可能相交袁A错误曰平面 琢和 平面 茁可能相交或平行袁B错误曰因为 l奂琢袁l彝茁袁所以 琢彝 茁袁C正确曰直线 m和平面 琢不一定垂直袁D错误援 3. A揖解析铱m埭琢袁n奂琢袁m椅n圯m椅琢曰若 m椅琢袁则 m椅n或 m 与 n异面袁所以野m椅n冶是野m椅琢冶的充分不必要条件. 4. B揖解析铱当 P是 A 1C1的中点时袁BP与 DD1是相交直线曰根据 异面直线的定义知袁BP与 AC是异面直线曰当点 P与 C1重 合时袁BP与 AD1是平行直线袁BP与 B1C是相交直线.5. A揖解析铱若 n奂琢袁因为 m椅n袁m奂茁袁则 n椅茁袁若 n奂茁袁因为 m椅n袁m奂琢袁则 n椅琢袁若 n不在 琢内也不在 茁内袁因为 m椅 n袁m奂琢袁m奂茁袁所以 n椅琢且 n椅茁袁淤盂正确曰若 m彝n袁则 n 与 琢袁茁不一定垂直袁也有可能相交袁于错误曰n与 琢和 茁所成 的角相等袁则 m和 n不一定垂直袁榆错误. 6. A揖解析铱连接 AD1袁如图袁由正方体 可知 A 1D彝AD1袁A 1D彝AB袁所以 A 1D彝平面 ABD1袁所以 A 1D彝D1B袁 MN为吟D1AB的中位线袁所以 MN椅 AB袁又因为 AB奂平面 ABCD袁MN埭 平面 ABCD袁所以MN椅平面 ABCD袁 A正确. 7. A揖解析铱直线 CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面 上袁与正方体的四个侧面不平行袁所以 m=4袁直线 EF与正方 体的左右两个侧面平行袁与正方体的上下底面相交袁前后侧 面相交袁所以 n=4袁所以 m+n=8. 8. C揖解析铱因为 AB越CB袁且 E是 AC的中点袁所以 BE彝AC袁同 理有 DE彝AC袁于是 AC彝平面 BDE援 因为 AC奂平面 ABC袁 所以平面 ABC彝平面 BDE援 又因为 AC奂平面 ACD袁所以平面 ACD彝 平面 BDE援 9. D揖解析铱通过画图可以得到这个截 面与正方体的六个面都相交袁所以 截面为六边形. 10. B揖解析铱BM奂平面 BDE袁EN奂平 面 BDE袁 因为 BM是吟BDE中 DE 边上的中线袁EN 是吟BDE 中 BD 边上的中线袁所以直线 BM袁EN是 相交直线袁设 DE=a袁则 BD= 2姨 a袁 BE= 34 a2+ 54 a2姨 = 2姨 a袁所以 BM= 7姨2 a袁EN= 34 a2+ 14 a2姨 =a袁所以 BM屹EN. 11. C揖解析铱因为 AF椅平面 BDE袁所以 设 AC与 BD相交于 O袁连接 OE袁BE袁 过点 F作 FH椅BE袁交 PC于 H袁连接 AH袁则得到平面 AFH椅平面 BDE袁 又平面 AFH疑平面 PAC=AH袁平面 BDE疑平面 PAC=OE袁所以 AH椅OE袁 所以 OCOA = ECHE =1袁又 PC=4EC袁所以 PE=3EC=3HE袁则 PBFB = PEHE =3. 12. D揖解析铱线段 MN 上不存在点在线 段 A 1S袁B1D 上袁即直线 MN 与线段 A 1S袁B1D 不相交袁因此所求与 D1可 视的点袁即求哪条线段不与线段 A 1S袁B1D相交袁如图 1袁连接 A 1P袁PS袁 D1S袁易证 A 1D1椅PS袁故 A 1袁D1袁P袁S 四点共面袁 所以 D1P与 A 1S相交袁A 错误曰如图 2袁连接 D1B袁DB袁易证 D1袁 B1袁B袁D 四点共面袁故 D1B袁D1R 都与 B1D 相交袁B尧C 错误曰如图 3袁连接 D1Q袁由 粤分析知 A 1袁D1袁P袁S四点共 面袁因为 D1沂平面 A 1D1PS袁Q埸平面 A 1D1PS 袁且 A 1S奂平面 A 1D1PS 袁点 D1埸A 1S袁所以 D1Q 与 A 1S 为异面直 线袁同理由 B尧C的分析知 D1袁B1袁B袁 D四点共面袁因为 D1沂平面 D1B1BD袁 Q埸平面 D1B1BD袁且 B1D奂平面 D1B1BD袁点 D1埸B1D袁所以 D1Q与 B1D 为异面直线袁故 D1Q 与 A 1S袁B1D 都 没有公共点袁D正确. 二尧多项选择题 13. AC揖解析铱如图袁O 为正方形 ABCD 中心 袁因为 AC彝BD袁 AC彝SO袁所以 AC彝平面SBD袁 又 E袁M袁N 分别是 BC袁CD袁SC 的中点袁所以 EN椅SB袁MN椅 SD袁所以平面 EMN椅平面 SBD袁 所以 AC彝平面 EMN袁而 EP奂 平面 EMN袁所以 AC彝EP袁EP椅平面 SBD. 易证 EM椅BD袁 EM彝平面 SAC袁若 P与 M 不重合袁EP疑EM=E袁则 EP与 BD不平行袁EP与平面 SAC不垂直. B M C HA D S O CA BC忆 D P E D1 C1 A 1 B1 D C BA P Q R A B N D CM E C D EO H F B A P D M CEB O P N A B Q C C1 R B1 S P D A A 1 D1 图 3 S B Q C C1 R B1 S P D A A 1 D1 图 1 B Q C C1 R B1 S P D A A 1 D1 图 2 C1 A 1 D1 BA C B1 D M N 215