广东省汕头市龙湖区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省汕头市龙湖区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向北走80米记作“+80米”，则向南走40米记作（　　） A．+40米 B．+80米 C．﹣40米 D．﹣80米 2．（3分）四海潮聚游子心，三江向汕家国情．2024年11月18日至20日，以“潮聚•向汕”为主题的第二十二届国际潮团联谊年会、第十届世界潮商大会在汕头举行．大会期间，一批知名企业在现场签约达成合作意向，总额达62200000000元．将62200000000用科学记数法表示应为（　　） A．622×108 B．62.2×1010 C．6.22×1010 D．62.2×1011 3．（3分）下列等式中，是一元一次方程的是（　　） A．x2+2x+1＝4 B．x﹣1＝0 C．2x+y＝5 D． 4．（3分）化简：﹣（a+b﹣c﹣d）的结果是（　　） A．﹣a﹣b﹣c+d B．﹣a+b+c﹣d C．﹣a﹣b+c+d D．a﹣b+c+d 5．（3分）关于多项式a4﹣2a2b+b2，下列说法正确的是（　　） A．三次项的系数是2 B．它是三次三项式 C．常数项是2 D．最高次项是a4 6．（3分）如图，是某住宅小区平面图，点B是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是（　　） A．A﹣C﹣G﹣E﹣B B．A﹣C﹣E﹣B C．A﹣D﹣G﹣E﹣B D．A﹣F﹣E﹣B 7．（3分）下列各对相关的量不成反比例关系的是（　　） A．一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量 B．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用 C．平行四边形的面积为10m2，平行四边形的一组底边长和高 D．长方体的体积为20m3，长方体的底面积和高 8．（3分）若|x|＝3，y2＝25，，那么x﹣y的值是（　　） A．2或﹣2 B．﹣8或8 C．﹣2或8 D．﹣8或2 9．（3分）如图，射线OA的方向是北偏东16°，射线OB的方向是北偏西26°，已知射线OB平分∠AOC，则射线OC的方向是（　　） A．北偏西68° B．西偏北48° C．北偏西48° D．西偏北52° 10．（3分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第（1）个图案用了3根木棍，第（2）个图案用了6根木棍，第（3）个图案用了10根木棍，第（4）个图案用了15根木棍，…，按此规律排列下去，则第（25）个图案用的木棍根数是（　　） A．322 B．351 C．362 D．381 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）﹣6的相反数是 　 　． 12．（3分）∠A＝150°，则∠A的补角为　 　°． 13．（3分）若单项式7x1﹣my2n和﹣4x3y4是同类项，则mn的值为 　 　． 14．（3分）已知代数式x2﹣x的值为2，则代数式3x2﹣3x﹣7的值为　 　． 15．（3分）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费50元，则所用水为 　 　吨． 月用水量 不超过10吨的部分 超过10吨不超过15吨的部分 超过15吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 3.00 5.00 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 17．（7分）补全解题过程：如图，已知线段AB＝8，延长AB至点C，使BC＝2AB，点P，Q分别是线段AC和AB的中点，求PQ的长． 解：因为BC＝2AB，AB＝8， 所以BC＝2×8＝16． 所以AC＝　 　+　 　＝8+16＝24． 因为点P，Q分别是线段AC和AB的中点， 所以 　 　＝＝　 　， 　 　＝＝　 　． 所以PQ＝AP﹣　 　＝　 　． 18．（7分）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择a的一个值，求5a3﹣（a2﹣3a+3a3）+（a2﹣a﹣2a3）﹣2a+2025 甲说：“当a＝﹣1时，原式＝2025．” 乙说：“当a＝0时，原式＝2025．” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式＝2025．” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）【问题背景】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数． 提示：八卦中称为阳爻，对应的数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2． 【观察发现】 （1）图2从左起第二个符号表示的二进制数为　 　； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左一次为20，21，22，23，依此类推），然后相加． 例如，（ （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们从左往右依次转换为十进制数，得到一个四位数字，求出这个四位数字． 【类比迁移】 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2024）8转化成十进制数． 20．（9分）已知关于x的方程5m+2x＝1+x． （1）若该方程与方程7﹣x＝2x+1同解，试求m的值； （2）当m为何值时，该方程的解比关于x的方程的解大2？ 21．（9分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，将硬纸板以如图所示的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．方法A：剪6个侧面；方法B：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B． （1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面 　 　个；底面 　 　个． （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）【知识技能】 如图1，点O在直线MN上，射线OA、OB在直线MN上方，∠BON＝30°，∠AON＞30°． （1）若∠AON＝105°，求证：射线OA是∠BOM的角平分线． 【拓展探索】 （2）若射线OC在直线MN上方，OP平分∠COM，∠AOB＝3∠AOC． ①当∠AOP＝50°时，则∠BOC＝　 　． ②当∠BOC＝2∠AOC时，是否存在常数k使得k∠BOP﹣∠CON的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 23．（14分）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB＝|2﹣3|＝1． 问题提出： （1）填空：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离AB＝　 　线段AB的中点表示的数为 　 　． 拓展探究： （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）， ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　； ②求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 类比延伸： （3）在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 2024-2025学年广东省汕头市龙湖区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C． C． B C． D D B B A B 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。 1．（3分）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向北走80米记作“+80米”，则向南走40米记作（　　） A．+40米 B．+80米 C．﹣40米 D．﹣80米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果向北走80米记作“+80米”，则向南走40米记作﹣40米． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（3分）四海潮聚游子心，三江向汕家国情．2024年11月18日至20日，以“潮聚•向汕”为主题的第二十二届国际潮团联谊年会、第十届世界潮商大会在汕头举行．大会期间，一批知名企业在现场签约达成合作意向，总额达62200000000元．将62200000000用科学记数法表示应为（　　） A．622×108 B．62.2×1010 C．6.22×1010 D．62.2×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：62200000000＝6.22×1010． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）下列等式中，是一元一次方程的是（　　） A．x2+2x+1＝4 B．x﹣1＝0 C．2x+y＝5 D． 【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A，C，D不符合一元一次方程的定义，它们不是一元一次方程； B符合一元一次方程的定义，它是一元一次方程． 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（3分）化简：﹣（a+b﹣c﹣d）的结果是（　　） A．﹣a﹣b﹣c+d B．﹣a+b+c﹣d C．﹣a﹣b+c+d D．a﹣b+c+d 【分析】根据去括号的法则直接求解即可． 【解答】解：﹣（a+b﹣c﹣d）＝﹣a﹣b+c+d． 故选：C． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 5．（3分）关于多项式a4﹣2a2b+b2，下列说法正确的是（　　） A．三次项的系数是2 B．它是三次三项式 C．常数项是2 D．最高次项是a4 【分析】根据多项式的次数和项数定义，单项式的系数解答即可． 【解答】解：A．多项式a4﹣2a2b+b2三次项是﹣2a2b，它的系数为﹣2，故选项A错误； B．多项式a4﹣2a2b+b2是四次三项式，故选项B错误； C．多项式a4﹣2a2b+b2的常数项是0，故选项C错误； D．多项式a4﹣2a2b+b2的最高次项是a4，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的次数和项数定义，单项式的系数是解题的关键． 6．（3分）如图，是某住宅小区平面图，点B是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是（　　） A．A﹣C﹣G﹣E﹣B B．A﹣C﹣E﹣B C．A﹣D﹣G﹣E﹣B D．A﹣F﹣E﹣B 【分析】由两点之间线段最短可解决问题． 【解答】解：由题意可得BE是必须经过的路段， ∴由两点之间线段最短，可得点A到点E的最短路径A﹣F﹣E， ∴从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A﹣F﹣E﹣B， 故选：D． 【点评】本题考查了线段的性质，灵活运用两点之间线段最短解决问题是本题的关键． 7．（3分）下列各对相关的量不成反比例关系的是（　　） A．一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量 B．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用 C．平行四边形的面积为10m2，平行四边形的一组底边长和高 D．长方体的体积为20m3，长方体的底面积和高 【分析】由反比例的定义，即可判断． 【解答】解：A、装箱数与每箱的质量的积＝水果总质量（定值），因此装箱数与每箱的质量成反比例，故A不符合题意； B、荧光笔的费用与中性笔的费用的和是定值，因此荧光笔的费用与中性笔的费用不成反比例关系，故B符合题意； C、平行四边形的一组底边长和高的积＝平行四边形的面积（定值），因此平行四边形的一组底边长和高成反比例关系，故C不符合题意； D、长方体的底面积和高的积＝长方体的体积（定值），因此长方体的底面积和高成反比例关系，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，几何体的表面积，反比例，关键是掌握反比例的定义． 8．（3分）若|x|＝3，y2＝25，，那么x﹣y的值是（　　） A．2或﹣2 B．﹣8或8 C．﹣2或8 D．﹣8或2 【分析】先根据已知条件、绝对值的性质和平方根的定义，求出x，y，再求出x﹣y的值即可． 【解答】解：∵|x|＝3，y2＝25， ∴x＝±3，y＝±5， ∵， ∴x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝5， ∴当x＝3，y＝﹣5时，x﹣y＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8； 当x＝﹣3，y＝5时，x﹣y＝﹣3﹣5＝﹣8， ∴x﹣y的值是8或﹣8， 故选：B． 【点评】本题主要考查了有关实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、平方根的定义和有理数的加减乘除法则． 9．（3分）如图，射线OA的方向是北偏东16°，射线OB的方向是北偏西26°，已知射线OB平分∠AOC，则射线OC的方向是（　　） A．北偏西68° B．西偏北48° C．北偏西48° D．西偏北52° 【分析】根据题意可得：∠BOD＝26°，∠AOD＝16°，从而利用角的和差关系可得∠AOB＝42°，然后根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠AOB＝42°，从而利用角的和差关系可得∠DOC＝68°，再根据方向角的定义即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：∠BOD＝26°，∠AOD＝16°， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝42°， ∵射线OB平分∠AOC， ∴∠BOC＝∠AOB＝42°， ∴∠DOC＝∠BOD+∠BOC＝68°， ∴射线OC的方向是北偏西68°， 故选：A． 【点评】本题考查了方向角，角平分线的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．（3分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第（1）个图案用了3根木棍，第（2）个图案用了6根木棍，第（3）个图案用了10根木棍，第（4）个图案用了15根木棍，…，按此规律排列下去，则第（25）个图案用的木棍根数是（　　） A．322 B．351 C．362 D．381 【分析】根据所给图形，依次求出所需木棍的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第（1）个图案所用木棍的根数为：3＝1+2； 第（2）个图案所用木棍的根数为：6＝1+2+3； 第（3）个图案所用木棍的根数为：10＝1+2+3+4； …， 所以第（n）个图案所用木棍的根数为：1+2+3+…+n+1＝． 当n＝25时， ＝351（根）， 即第（25）个图案所用木棍的根数为351根． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需木棍根数的变化规律是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．（3分）﹣6的相反数是 　6　． 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 【解答】解：﹣6的相反数是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 12．（3分）∠A＝150°，则∠A的补角为　30　°． 【分析】如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，由此计算即可． 【解答】解：∵∠A＝150°， ∴∠A的补角的度数为：180°﹣150°＝30°， 故答案为：30． 【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握互为补角的定义是解题的关键． 13．（3分）若单项式7x1﹣my2n和﹣4x3y4是同类项，则mn的值为 　4　． 【分析】根据同类项的概念分别求出m、n，根据有理数的乘方法则计算，得到答案． 【解答】解：∵单项式7x1﹣my2n和﹣4x3y4是同类项， ∴1﹣m＝3，2n＝4， 解得：m＝﹣2，n＝2， ∴mn＝（﹣2）2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 14．（3分）已知代数式x2﹣x的值为2，则代数式3x2﹣3x﹣7的值为　﹣1　． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当x2﹣x＝2时，原式＝3（x2﹣x）﹣7＝3×2﹣7＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 15．（3分）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费50元，则所用水为 　18　吨． 月用水量 不超过10吨的部分 超过10吨不超过15吨的部分 超过15吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 3.00 5.00 【分析】设所用水为x吨，依题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【解答】解：∵2×10+5×3＝35＜50（元） ∴用水量超过15吨， 设所用水为x吨，依题意得， ∴20+5×3+5×（x﹣15）＝50 解得：x＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）计算：． 【分析】先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可． 【解答】解： ＝﹣8×（﹣7） ＝﹣4+（﹣2） ＝﹣6． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和运算法则来计算． 17．（7分）补全解题过程：如图，已知线段AB＝8，延长AB至点C，使BC＝2AB，点P，Q分别是线段AC和AB的中点，求PQ的长． 解：因为BC＝2AB，AB＝8， 所以BC＝2×8＝16． 所以AC＝　AB　+　BC　＝8+16＝24． 因为点P，Q分别是线段AC和AB的中点， 所以 　AC　＝＝　12　， 　AB　＝＝　4　． 所以PQ＝AP﹣　AQ　＝　8　． 【分析】结合图形、根据线段中点的定义计算． 【解答】解：∵BC＝2AB，AB＝8， ∴BC＝2×8＝16 ∴AC＝AB+BC＝8+16＝24， ∵点P、Q分别是线段AC和AB的中点 ∴AP＝AC＝×24＝12 AQ＝AB＝×8＝4 ∴PQ＝AP﹣AQ＝12﹣4＝8， 故答案为：AB；BC；AC；12，AB；4；AQ，8． 【点评】本题考查的是两点间的距离、线段中点的定义，掌握线段的和差的计算方法、中点的定义是解题的关键． 18．（7分）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择a的一个值，求5a3﹣（a2﹣3a+3a3）+（a2﹣a﹣2a3）﹣2a+2025 甲说：“当a＝﹣1时，原式＝2025．” 乙说：“当a＝0时，原式＝2025．” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式＝2025．” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果为2025，从而得到结果． 【解答】解：三位同学的说法都正确，理由如下： 5a3﹣（a2﹣3a+3a3）+（a2﹣a﹣2a3）﹣2a+2025 ＝5a3﹣a2+3a﹣3a3+a2﹣a﹣2a3﹣2a+2025 ＝2025， ∴当a＝﹣1或a＝0或a为任何一个有理数时，原式＝2025， ∴三位同学的说法都正确． 【点评】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）【问题背景】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高，规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数． 提示：八卦中称为阳爻，对应的数字1；称为阴爻，对应数字0，这是二进制记数法，每卦均由三个阳爻或阴爻组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2． 【观察发现】 （1）图2从左起第二个符号表示的二进制数为　（111）2　； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左一次为20，21，22，23，依此类推），然后相加． 例如，（ （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们从左往右依次转换为十进制数，得到一个四位数字，求出这个四位数字． 【类比迁移】 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2024）8转化成十进制数． 【分析】（1）根据题意，八卦中阳爻，对应的数字1；阴爻，对应数字0，表示出第二个符号即可； （2）仿照示例，把四个二进制数转换为十进制数即可； （3）仿照二进制的运算，把八进制转换为十进制数即可． 【解答】解：（1）∵八卦中阳爻，对应的数字1；阴爻，对应数字0， ∴图2从左起第二个符号表示的二进制数为（111）2， 故答案为：（111）2； （2）（011）2＝1×20+1×21+0×22＝3， （111）2＝1×20+1×21+1×22＝7， （100）2＝0×20+0×21+1×22＝4， （101）2＝1×20+0×21+1×22＝5， ∴这个四位数字是3745； （3）（2024）8＝4×80+2×81+0×82+2×83＝1044． 【点评】本题考查了进位制的转换，读懂题意，正确进行进位制转换计算是解题的关键． 20．（9分）已知关于x的方程5m+2x＝1+x． （1）若该方程与方程7﹣x＝2x+1同解，试求m的值； （2）当m为何值时，该方程的解比关于x的方程的解大2？ 【分析】（1）解方程7﹣x＝2x+1，得x＝2，然后把x＝2代入方程5m+2x＝1+x求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）解方程7﹣x＝2x+1，得x＝2， 把x＝2代入方程5m+2x＝1+x，得5m+4＝1+2， 解得：； （2）解方程5m+2x＝1+x，得x＝1﹣5m， 解方程，得， ∵方程5m+2x＝1+x的解比关于x的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【点评】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键． 21．（9分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，将硬纸板以如图所示的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．方法A：剪6个侧面；方法B：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B． （1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面 　（2x+76）　个；底面 　5（19﹣x）　个． （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？ 【分析】（1）根据硬纸板的张数及用方法A裁剪的张数，可得出裁剪时（19﹣x）张用方法B，再结合方法A及方法B裁成侧面及底面的数量，即可用含x的代数式表示出裁剪出的侧面及底面的总数； （2）根据裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵现有19张硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B， ∴裁剪时（19﹣x）张用方法B， 又∵方法A：剪6个侧面；方法B：剪4个侧面和5个底面， ∴剪出侧面6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个，底面5（19﹣x）个． 故答案为：（2x+76），5（19﹣x）； （2）根据题意得：＝， 解得：x＝7， ∴＝＝30（个）． 答：能做30个盒子． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出裁剪出的侧面及底面的总数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（13分）【知识技能】 如图1，点O在直线MN上，射线OA、OB在直线MN上方，∠BON＝30°，∠AON＞30°． （1）若∠AON＝105°，求证：射线OA是∠BOM的角平分线． 【拓展探索】 （2）若射线OC在直线MN上方，OP平分∠COM，∠AOB＝3∠AOC． ①当∠AOP＝50°时，则∠BOC＝　100°或25°　． ②当∠BOC＝2∠AOC时，是否存在常数k使得k∠BOP﹣∠CON的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出∠BOM＝180°﹣∠BON＝150°，根据∠AON＝105°，求出∠AOB＝105°﹣30°＝75°，求出∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝75°得出∠AOM＝∠AOB，即可证明结论； （2）①分两种情况：当OC在OA左侧时，当OC在OA左侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据∠AOB＝3∠AOC，∠BOC＝2∠AOC，得出OC一定在∠AOB内部，得出∠BOP＝∠BOC+∠COP＝2∠AOC+75°﹣∠AOC＝75°+∠AOC，∠CON＝∠BON+∠BOC＝30°+2∠AOC，表示出k∠BOP﹣∠CON得出结果即可． 【解答】（1）证明：∵∠BON＝30°， ∴∠BOM＝180°﹣∠BON＝150°， ∵∠AON＝105°， ∴∠AOB＝105°﹣30°＝75°， ∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝75°， ∴∠AOM＝∠AOB， ∴射线OA是∠BOM的角平分线； （2）解：设∠AOC＝x°， 则∠AOB＝3x°， ∠BOM＝180°﹣30°＝150°， ①当OC在OA左侧时，如图所示： 则∠MOC＝150°﹣4x， ∵OP平分∠COM， ∴， ∴∠AOP＝50°， ∴75°﹣2x+x＝50°， 解得：x＝25°， ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝4x＝100°， 当OC在OA左侧时，如图所示： ∠BOC＝3x﹣x＝2x， ∴∠MOC＝150°﹣2x， ∵OP平分∠COM， ∴， ∵∠AOP＝50°， ∴75°﹣x﹣x＝50°， 解得：x＝12.5°， ∴∠BOC＝2x＝25°， 综上分析可知，∠BOC＝100°或25°， ②存在， ∵∠AOB＝3∠AOC，∠BOC＝2∠AOC， ∴OC一定在∠AOB内部，如图所示： ∴∠COM＝180°﹣∠BOC﹣30°＝150°﹣2∠AOC， 又∵OP平分∠COM， ∴， ∵∠BOP＝∠BOC+∠COP＝2∠AOC+75°﹣∠AOC＝75°+∠AOC， ∠CON＝∠BON+∠BOC＝30°+2∠AOC， ∴k∠BOP﹣∠CON ＝k（75°+∠AOC）﹣30°﹣2∠AOC ＝（k﹣2）∠AOC+75°k﹣30°， ∴当k﹣2＝0，即k＝2时，k∠BOP﹣∠CON为定值． 【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 23．（14分）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB＝|2﹣3|＝1． 问题提出： （1）填空：如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离AB＝　15　线段AB的中点表示的数为 　　． 拓展探究： （2）若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t＞0）， ①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　13﹣2t　； ②求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 类比延伸： （3）在（2）的条件下，如果P，Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【分析】（1）由A表示的数为﹣2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为； （2）①t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为 13﹣2t； ②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7； （3）由已知返回途中，P表示的数是13﹣3（t﹣5），Q表示的数是﹣2+2（t﹣），即得：13﹣3（t﹣5）＝﹣2+2（t﹣），可解得t＝9，即可得再经过多长时间P，Q两点第二次相遇，第二次相遇点所表示的数为：13﹣3×（9﹣5）＝1． 【解答】解：（1）∵A表示的数为﹣2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13﹣（﹣2）|＝15，线段AB的中点表示的数为＝， 故答案为：15，； （2）①t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为 13﹣2t， 故答案为：﹣2+3t，13﹣2t； ②根据题意得：﹣2+3t＝13﹣2t， 解得t＝3， 相遇点所表示的数为﹣2+3×3＝7， 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7； （3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， P，Q第一次相遇时t＝（13+2）÷（3+2）＝3（秒）， 返回途中，P表示的数是13﹣3（t﹣5），Q表示的数是﹣2+2（t﹣）， 根据题意得：13﹣3（t﹣5）＝﹣2+2（t﹣）， 解得t＝9， ∴第一次相遇后，再经过9﹣3＝6（秒），P，Q两点第二次相遇， 第二次相遇点所表示的数为：13﹣3×（9﹣5）＝1， 答：再经过6秒，P，Q两点第二次相遇，相遇点所表示的数是1． 【点评】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后点表示的数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$