精品解析：四川省泸州市泸县第五中学2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

泸县五中2024年春期九年级开学定时练习 数学试题 全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1. 下列图案中不是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的二次项系数为5，则它的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. 2， C. 2，1 D. ，1 3. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 4. 一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 轴 6. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（ ） A 30米 B. 40米 C. 50米 D. 60米 9. 我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 10. 若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为的直径，C，D为上的两点，，，点E在直径上，且，连接，则阴影部分的面积为（ ） A 3 B. 5 C. 6 D. 12 12. 二次函数的最小值为，且，，，，中恰好只有两点在该二次函数图象上，则下列说法正确的是（ ） A. N，P 两点一定在二次函数图象上 B. M，R 两点一定不在二次函数图象上 C. D. 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示： 移植总数 400 750 1500 3500 6000 9000 成活数 369 662 1335 3203 5430 8073 成活的频率 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 __．（精确到） 14. 已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在______．（填内、外或上） 15. 已知m、n是方程的两个根，则的值为______． 16. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 19. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点逆时针旋转得到（，分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点逆时针旋转的对应点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 21. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）． x … … y … … 利用函数图象回答下列问题： （2）当x 时，y随x的增大而增大； （3）当时，函数y取值范围为 ； （4）若有两个不相等的实数根，m的取值范围为 ． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 年月日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将盘转出的数字作为被减数，盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止） （1）小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是_______． （2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由． 23. 谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件． （1）设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ； （2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元； （3）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，上有，，三点，是直径，点是中点，连接交于点，点在延长线上，且． （1）证明：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的值． 25. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中2024年春期九年级开学定时练习 数学试题 全卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分．考试时间共120分钟． 第I卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1. 下列图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点，据此解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项C能不找到这样一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 2. 关于的一元二次方程的二次项系数为5，则它的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ， B. 2， C. 2，1 D. ，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及形式，掌握一元二次方程方程中各项系数是解题的关键．根据一元二次方程一般式及各项的系数即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数为5， ∴一次项系数是，常数项是， 故选：B ． 3. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形，把一个图形绕着一个定点选择一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫旋转角．结合图形即可解决． 【详解】该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：A． 4. 一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中有5个白球，即可得． 【详解】解：∵一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中有5个白球， ∴从中任意摸出一个球是白球的概率是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率，解题的关键是理解题意，掌握概率公式． 5. 在平面直角坐标系中点和点的位置关系是（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 轴 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．纵坐标互为相反数．横坐标互为相反数可知两点关于原点对称． 【详解】解：∵点和点横纵坐标都相反， ∴点和点关于原点对称， 故选：A． 6. 用配方法解方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选B． 7. 若正六边形的边长为4，则此正六边形的边心距为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的计算，正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接，作， ∵正六边形的边长为4，， ∴． ∴正六边形的边心距是． 故选：D． 8. 如图1是一位摄影爱好者拍摄的含章湖大桥，它位于盘锦市辽东湾新区，是一座集交通枢纽和湖景于一体的跨湖桥，大桥采用了七跨上承式空腹拱桥的设计，分主拱和腹拱，其中腹拱为圆弧形拱圈．如图2，如果用表示腹拱，假设腹拱下面的桥面的长度为80米，腹拱的高度为20米，则该桥腹拱部分所在圆弧的半径是（ ） A. 30米 B. 40米 C. 50米 D. 60米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的运算，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设圆弧半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，先由垂径定理求得米，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆弧的半径为x米，圆弧所在圆的圆心为O，如图， 则于D， ∴（米）， 在，米，米， 由勾股定理，得 解得：， 即圆弧的半径为50米， 故选：C． 9. 我们在解一元二次方程时，可以将其左边分解因式得到，从而得到两个一元一次方程或，所以得到原一元二次方程的解为，这种解法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 函数思想 C. 转化思想 D. 公理化思想 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程的过程即可得到答案． 【详解】解： 将其左边分解因式得到， ∴或， 解得， 这种解法体现的数学思想是转化思想， 故选：C 10. 若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴交于和， ∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且， ∴ ， ∴． 故选：B． 11. 如图，为的直径，C，D为上的两点，，，点E在直径上，且，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质和判定，圆的性质的应用，根据三角形全等，得到，从而，利用直径所对的圆周角为，通过求的面积，得到结果． 【详解】解：交于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 12. 二次函数的最小值为，且，，，，中恰好只有两点在该二次函数图象上，则下列说法正确的是（ ） A. N，P 两点一定在二次函数图象上 B. M，R 两点一定不在二次函数图象上 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，难度较大，根据二次函数的图象与性质，从对称性以及增减性分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值为， ∴， ∵，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴图象过， ∴关于对称轴的对称点为， ∴在点的右侧， ∴不在抛物线上， 当， ∴图象经过点， ∵关于对称轴的对称点为， ∴在抛物线上， ∵对称轴为直线 ∴，关于对称， ∴若在抛物线上，那么肯定也在抛物线上， ∵在抛物线上，而只有两点在该二次函数图象上 ∴，不可能同时在抛物线上， ∴一定在抛物线上， 故A、B错误，不符合题意； 又∵，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴在上方 ∴， 又∵， ∴， 故D正确，符合题意； 而大小无法比较，故C错误，不符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示： 移植总数 400 750 1500 3500 6000 9000 成活数 369 662 1335 3203 5430 8073 成活的频率 根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为 __．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种花苗种植成活的概率稳定在左右， 故估计这种花苗移植的成活概率为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 14. 已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在______．（填内、外或上） 【答案】外 【解析】 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系． 【详解】解：的直径为， 的半径为， ， 故点P在外． 故答案为：外． 15. 已知m、n是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两，，则，是解题的关键． 先由根与系数的关系求得，，再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法定义是解题的关键． 根据公式法的定义先求得根的判别式的值，再利用公式求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ，． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 19. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】10寸 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合为的直径，弦于E，寸，则，根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设直径的长为寸， 则半径寸， 为的直径，弦于E，寸， （寸）， 连接OA，则寸， 根据勾股定理得， ∴， 解得， （寸）． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点逆时针旋转得到（，分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点位于内（不含边界），点为点绕原点逆时针旋转的对应点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）见详解；点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图，然后作答即可； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，然后作答即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求， 由图可知，点的坐标为； 【小问2详解】 ∵， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图所示， ∵，， ∴由图可知，点的纵坐标为3，点的纵坐标为， ∴． 21. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）． x … … y … … 利用函数图象回答下列问题： （2）当x 时，y随x的增大而增大； （3）当时，函数y的取值范围为 ； （4）若有两个不相等的实数根，m的取值范围为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与直线的交点坐标及一元二次方程的实数根之间的关系，掌握以上知识利用数形结合的方法解题是关键． （1）在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可． （2）在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案； （3）先求解函数的最小值，再求解当的函数值，进而可以判断得解； （4）观察函数，的图象的交点个数可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 描点并连线如下图： 【小问2详解】 由函数图象信息可得：当时，y随x的增大而增大． 故答案为：． 【小问3详解】 由函数图象信息可得： 当时，，取最小值． 当时，， ∴当时，函数y的取值范围为：． 故答案为：． 【小问4详解】 ， 观察函数，的图象的交点， ∴当时，函数，的图象的有两个交点． ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 年月日凌晨，“神舟十九号”载人飞船成功发射，这不仅是“神舟十九号”载人飞船任务的成功，更是中国航天事业雄心勃勃的豪情壮志，展现了大国崛起的力量．为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，某校举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（）班的小希和小辰都想参加比赛，她们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图，现给出两个均分且标有数字的转盘，规则：分别转动两个转盘，将盘转出的数字作为被减数，盘转出的数字作为减数，若差为负数，则小希参加；若差为正数，则小辰参加．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止） （1）小希转动一次盘，指针指向数字是偶数的概率是_______． （2）这个游戏规则对双方公平吗？请判断，并通过画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对双方公平，理由见解析 【解析】 【分析】（）根据概率公式直接计算即可； （）根据题意列表求出两个人参加的概率，比较即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小希转动一次盘，指针指向的数字是偶数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：这个游戏规则对双方公平，理由如下： 列表如下： 由表可得，共有等结果，其中结果为负数的有种，结果为正数的有种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则对双方公平． 23. 谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件． （1）设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ； （2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元； （3）商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由． 【答案】（1）； 元； （2）当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元； （3）商家不能达到平均每天盈利元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系即可解答； （2）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系和等量关系即可解答； （3）设每件衣服降价元，根据题意可得方程进而即可解答． 【小问1详解】 解：设每件衣服降价元， ∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件， 故答案为：； ∵上衣每件进价元，销售价为元， ∴每件商品盈利元， 故答案为：元． 【小问2详解】 解：设每件衣服降价元，根据题意得， ， 解得：（不符合题意舍去），， ∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元， 答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元． 【小问3详解】 解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下： 设每件衣服降价元，根据题意得， ， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴商家不能达到平均每天盈利元， 答：商家不能达到平均每天盈利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，根据题意找出数量关系和等量关系是解题的关键． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上，且． （1）证明：； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据弧，弦，圆周角之间得关系得出答案； （2）根据直径所对的圆周角是直角得，再根据等角对等边，证出，由切线的判定可得出结论； （3）设，，由勾股定理得出求出，证明，由相似三角形的性质得出，求出，的长，再证明，得出比例线段，则可得出答案． 【小问1详解】 点是中点， ， ； 【小问2详解】 是的直径， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问3详解】 在中，，， 设，，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得：或（舍去）， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 25. 如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【解析】 【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 【详解】解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $