专题01 与平方根或算术平方根有关的四种解题技巧-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

专题1 与平方根或算术平方根有关的解题技巧 类型一：巧用算术平方根的非负性求值 类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值 类型三：巧用算术平方根的最小值求值 类型四：巧用平方根的定义解方程 类型一：巧用算术平方根的非负性求值 1．已知0，则的平方根为 　 　． 2．已知，那么（a+b）2018的值为（　　） A．32014 B．﹣32014 C．﹣1 D．1 3．若，则2a+b﹣c等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 　 　． 5．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的周长是 　 　． 6．已知|x+2|与互为相反数，求x+y﹣3的值． 7． 若（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+c）2的值． 类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值 8．已知一个正数的平方根分别为2x+1和3﹣4x，则这个正数是（　　） A．25 B．16 C．8 D．2 9．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 　． 10．3a﹣4和12﹣5a是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为（　　） A．4 B．64 C．4或8 D．4或64 11．已知一个正数的平方根分别是m+1和m﹣5，求m的值和这个正数． 12．若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2． （1）求a和b的值； （2）求a+3b的平方根． 13．一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， （1）求a和b的值． （2）求5a+b﹣3平方根． 14．已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 类型三：巧用算术平方根的最小值求值 15．已知y＝﹣9，当x＝　 　时，y的最小值＝　 　． 16．当x＝　 　时，式子3有最小值，且最小值是 　 　． 17．当代数式5有最小值，则此时a的值是 　 　． 18．代数式的最大值是 　 　． 19．代数式的最大值为　 　，这时a、b满足的关系式是　 　． 20．当x　 　时，3有最大值，最大值是　 　． 21．当x取　 　时，的值最小，最小值是　 　；当x取　 　时，2的值最大，最大值是　 　． 类型四：巧用平方根的定义解方程 22．一元二次方程x2﹣25＝0的解是（　　） A．x1＝5，x2＝0 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝﹣5 23．解方程： （1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64． 24．解方程： （1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 25．解下列方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）8（x+1）3﹣27＝0． 26．解方程： （1）； （2）（2x+1）2＝25． 27．解下列方程： （1）2（x+1）2＝8； （2）（2x﹣1）3＝27． 28．解方程： （1）（2x﹣1）2＝25； （2）（x﹣2）3﹣27＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 与平方根或算术平方根有关的解题技巧 类型一：巧用算术平方根的非负性求值 类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值 类型三：巧用算术平方根的最小值求值 类型四：巧用平方根的定义解方程 类型一：巧用算术平方根的非负性求值 1．已知0，则的平方根为 　　． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，3x﹣1＝0，3y+3＝0， 解得x，y＝﹣1， 所以 ＝3， 3平方根为， ∴的平方根为， 故答案为：±． 2．已知，那么（a+b）2018的值为（　　） A．32014 B．﹣32014 C．﹣1 D．1 【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2018＝（﹣2+1）2018＝1， 故选：D． 3．若，则2a+b﹣c等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则2a+b﹣c＝﹣4+1+3＝0． 故选：A． 4．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 　±2　． 【分析】根据算术平方根的非负性分别求出x、y、z，根据平方根的概念解答即可． 【解答】解：∵， ∴0，0，0， 解得，x＝0，y＝1，z＝2， 则（x﹣yz）2＝4， ∵4的平方根为±2， ∴（x﹣yz）2的平方根为±2， 故答案为：±2． 5．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的周长是 　12　． 【分析】根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，然后求和即可． 【解答】解：由非负性得：a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 解得：a＝3，b＝4，c＝5， ∴三角形的周长为：3+4+5＝12． 故答案为：12． 6．已知|x+2|与互为相反数，求x+y﹣3的值． 【分析】根据非负数互为相反数，可得每个非负数为零，可得答案． 【解答】解：∵|x+2|与互为相反数， ∴|x+2|0， 又∵|x+2|≥0，0， ∴x+2＝0，y﹣4＝0， 解得x＝﹣2，y＝4， ∴x+y﹣3＝﹣2+4﹣3＝﹣1． 7．若（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+c）2的值． 【分析】根据算术平方根、偶次方、绝对值的非负性分别求出a、b、c的值，代入计算即可． 【解答】解：∵（b﹣3）+|c﹣2|＝0， ∴a2﹣1＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0， 解得：a＝±1，b＝3，c＝2， ∴（a﹣b+c）2＝（1﹣3+2）2＝0或（﹣1﹣3+2）2＝4． 类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值 8．已知一个正数的平方根分别为2x+1和3﹣4x，则这个正数是（　　） A．25 B．16 C．8 D．2 【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2x+1+3﹣4x＝0，即可求出x的值，从而求出这个正数． 【解答】解：根据题意得，2x+1+3﹣4x＝0， 解得x＝2， ∴2x+1＝5， ∴这个正数为52＝25， 故选：A． 9．已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　4　． 【分析】利用一个正数的平方根有两个，且互为相反数得，m+4+2m﹣16＝0，解关于m的一元一次方程即可． 【解答】解：∵正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16， ∴m+4+2m﹣16＝0． 解得m＝4． 故答案为：4． 10．3a﹣4和12﹣5a是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为（　　） A．4 B．64 C．4或8 D．4或64 【分析】根据平方根的定义得出3a﹣4+12﹣5a＝0，求出a，进一步计算即可求出这个正数． 【解答】解：∵3a﹣4和12﹣5a是一个正数的两个平方根， ∴根据平方根定义得，3a﹣4+12﹣5a＝0， 解得：a＝4， ∴3a﹣4＝8， ∵82＝64， ∴这个正数是64， 故选：B． 11．已知一个正数的平方根分别是m+1和m﹣5，求m的值和这个正数． 【分析】根据平方根的意义得到m+1+（m﹣5）＝0，求解即可得到答案． 【解答】解：依题意得：m+1＝﹣（m﹣5）， ∴m＝2， ∴这个正数是（m+1）2＝32＝9． 12．若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2． （1）求a和b的值； （2）求a+3b的平方根． 【分析】（1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出a+3b的值，再求出其平方根即可． 【解答】解：（1）由题可知， ∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0， ∴b＝3， ∴a＝（3b﹣5）2＝42＝16； （2）∵a＝16，b＝3， ∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25， ∵25的平方根是±5， ∴a+3b的平方根为±5． 13．一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， （1）求a和b的值． （2）求5a+b﹣3平方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到2a﹣3+5﹣a＝0据此求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值即可； （2）根据（1）求出5a+b﹣3的值，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， ∴a＝﹣2， ∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7， ∴b＝（5﹣a）2＝72＝49； （2）由（1）得a＝﹣2，b＝49， ∴5a+b﹣3＝5×（﹣2）+49﹣3＝36， ∵36的平方根为±6， ∴5a+b﹣3的平方根为±6． 14．已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9． （1）求a的值及这个正数； （2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0， 解得a＝1， 所以（a+6）2＝72＝49， 所以这个正数是49； （2）当a＝1时，方程ax2﹣16＝0为 x2﹣16＝0， x2＝16， x＝±4， 所以关于x的方程ax2﹣16＝0的解是x＝4或x＝﹣4． 类型三：巧用算术平方根的最小值求值 15．已知y＝﹣9，当x＝　13　时，y的最小值＝　﹣9　． 【分析】由算术平方根的非负性求解即可． 【解答】解：∵， ∴当x＝13时，有最小值是0， ∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9， 故答案为：13；﹣9． 16．当x＝　4　时，式子3有最小值，且最小值是 　3　． 【分析】先根据二次根式非负的性质求出x的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵， ∴当x﹣4＝0时，会有最小值， ∴当x＝4时，会有最小值，且最小值是3． 故答案为：4，3． 17．当代数式5有最小值，则此时a的值是 　3　． 【分析】根据算术平方根的非负性即可得． 【解答】解：∵， ∴， 又∵代数式有最小值， ∴， ∴a﹣3＝0， 解得a＝3， 故答案为：3． 18．代数式的最大值是 　3　． 【分析】根据算术平方根的非负性解答即可． 【解答】解：∵， ∴3， 即代数式的最大值是3． 故答案为：3． 19．代数式的最大值为　﹣3　，这时a、b满足的关系式是　a+b＝0　． 【分析】根据非负数的性质进行解答即可． 【解答】解：∵有意义， ∴0， ∴﹣3的最大值为﹣3； 此时0，即a+b＝0． 故答案为：﹣3，a+b＝0． 20．当x　＝±2　时，3有最大值，最大值是　3　． 【分析】根据算术平方根非负数的性质求解即可． 【解答】解：∵0， ∴4﹣x2＝0时，即x＝±2时，3有最大值3． 故答案为：＝±2，3． 21．当x取　﹣5　时，的值最小，最小值是　0　；当x取　5　时，2的值最大，最大值是　2　． 【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x＝0时，的值最小，当5﹣x＝0时，2的值最大． 【解答】解：当10+2x＝0时，的值最小， 解得x＝﹣5，此时的最小值为0． 当5﹣x＝0时，即x＝5时，0，此时2的值最大，最大值是2． 故答案为：﹣5； 0； 5； 2． 类型四：巧用平方根的定义解方程 22．一元二次方程x2﹣25＝0的解是（　　） A．x1＝5，x2＝0 B．x＝﹣5 C．x＝5 D．x1＝5，x2＝﹣5 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：x2﹣25＝0 ∴x2＝25， 解得：x1＝5，x2＝﹣5， 故选：D． 23．解方程： （1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64． 【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解． 【解答】解：（1）16x2＝49， ∴x2， ∴x＝±； （2）（x﹣2）2＝64， ∴x﹣2＝±8， ∴x＝10或x＝﹣6． 24．解方程： （1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可； （2）把（x+1）看作一个整体，求解即可． 【解答】解：（1）25x2﹣49＝0， 化为：， ∴x＝±， ∴； （2）2（x+1）2﹣49＝1， 化为：（x+1）2＝25， ∴x+1＝±5， ∴x1＝4，x2＝﹣6． 25．解下列方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）8（x+1）3﹣27＝0． 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9， x﹣2＝±3， x＝5或x＝﹣1； （2）8（x+1）3﹣27＝0， 8（x+1）3＝27， ， ， x． 26．解方程： （1）； （2）（2x+1）2＝25． 【分析】（1）根据得（x﹣1）3＝﹣64，利用立方根解答即可． （2）根据（2x+1）2＝25，利用平方根解答即可． 【解答】解：（1）原方程整理得（x﹣1）3＝﹣64， ∴x﹣1＝﹣4， 解得x＝﹣3． （2）∵（2x+1）2＝25， ∴2x+1＝5或2x+1＝﹣5， 解得x1＝2，x2＝﹣3． 27．解下列方程： （1）2（x+1）2＝8； （2）（2x﹣1）3＝27． 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开平方即可求出解； （2）直接利用立方根定义计算即可求出解． 【解答】解：（1）2（x+1）2＝8， （x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x＝﹣1±2， ∴x1＝﹣3，x2＝1； （2）等号两侧同时开立方得：2x﹣1＝3， ∴2x＝4， ∴x＝2． 28．解方程： （1）（2x﹣1）2＝25； （2）（x﹣2）3﹣27＝0． 【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用立方根定义开立方即可求出解． 【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝25， 开方得：2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5， 解得：x＝3或x＝﹣2； （2）（x﹣2）3﹣27＝0， 方程移项得：（x﹣2）3＝27， 开立方得：x﹣2＝3， 解得：x＝5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$