专题07 两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布九种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）

专题07 两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布九种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、两点分布……………………………………………………………………3 类型二、二项分布求参………………………………………………………………4 类型三、二项分布中的期望与方差 7 类型四、超几何分布求参 11 类型五、超几何分布中的期望与方差 13 类型六、正态分布的对称性 17 类型七、利用3δ原则求概率 19 类型八、正态分布中的期望与方差 23 类型九、概率与数列，统计与导数交汇 26 压轴能力测评（10题） 32 1、两点分布 （1）定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0-1分布． 注意：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 2、独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 3、超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 4、正态分布 正态密度函数 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数. 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式． 对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如： ①； ② 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则 正态曲线图像的特点： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的期望与方差 若，则， 类型一、两点分布 例．（1）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . （2）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【变式训练1】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【变式训练2】随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】 已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 类型二、二项分布中的概率 例．（1）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． （2）在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【变式训练1】某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【变式训练2】小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍． （1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率； （2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？ 类型三、二项分布中的期望与方差 例．小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号． （1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； （2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望． 【变式训练1】（多选）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D．当时， 【变式训练2】我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【变式训练3】某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 类型四、超几何分布中的概率 例．（1）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. （2）在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ） A. 至少有个深度贫困村 B. 有个或个深度贫困村 C. 有个或个深度贫困村 D. 恰有个深度贫困村 【变式训练2】数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（    ） A． B． C． D． 类型五、超几何分布中的期望与方差 例．一个盒子中有个大小、质地相同，颜色不同的小球，其中个黑球，个白球．若采用无放回抽取，从这个球中随机抽取个．求取出的个球中黑球的个数的分布列和期望. （2）（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（多选）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ） A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件 C． D． 【变式训练2】随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. （1）求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； （2）规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【变式训练3】学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 类型六、正态分布的对称性 例．（1）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 （2）已知随机变量满足，若，则（    ） A． B． C． D． （3）已知随机变量且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练1】已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【变式训练2】随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B．1 C． D．3 【变式训练3】已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 类型七、利用3δ原则求概率 例．（1）某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（ ）参考数据： A. 0.6827 B. 0.34135 C. 0.3173 D. 0.15865 （2）设随机变量，函数没有零点的概率是，则（ ） 附：若，则，． A． B． C．0.1257 D． （3）某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（    ）附:，. A. 3413 B. 1587 C. 8413 D. 6826 【变式训练1】设X~N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)=0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（    ） 附:，. A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539 【变式训练2】（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数x，记，则（ ） A. B. 当时， C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D. 随机变量，当都增大时，概率单调增大 【变式训练3】新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． (1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 类型八、正态分布中的期望与方差 例．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示： 得分 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求的值； ②若，求的值； （2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为 赠送话费的金额(单位：元) 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望. 【变式训练1】“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】某市2024年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （1）该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数； （2）已知每瓶消毒液的等级与售价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示： 等级 A B C 售价X 30 25 10 假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由． 附：若，则，，． 类型九、概率与数列，统计与导数交汇 例．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【变式训练1】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【变式训练2】某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①记E()为随机变量的数学期望．若运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域； ②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094． 【变式训练3】2024年5月28日，南京首家开市客超市开业，开市客超市是一家会员制超市，办了会员便可以携同伴进入购物．据统计，开业第一天人流量超过三万人，且大多组团来逛超市，如果单独一人逛超市，则视此人为单独一个团体．其中的团体拥有一张会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋一个；另外的团体拥有两张及以上会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋两个．假设每个团体之间相互独立，且将频率看做概率． （1）随机抽取3个团体，记3个团体收到超市赠送的精美布袋总个数为，求的分布列和期望； （2）将个团体获赠精美布袋总个数为个的事件概率记为，求； （3）如果你是开市客超市负责人，预计某时间段有100个团体来超市购物，若以需要赠送精美布袋总个数概率最大为依据，请问你应该提前准备多少精美布袋比较合理．并与该时间段内需要赠送精美布袋总个数的期望比较大小． 1．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 3．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 4．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A. B. C. D. 5．（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ）（若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 6．（多选）已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（    ） A．移动两次后，“”的概率为 B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于 C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于 D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0） 7．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是______. ①    ② ③    ④ 8．篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率； （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求： ①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 9.某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. （1）求同学甲第二天选择套餐的概率; （2）证明:数列为等比数列; （3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 10.在伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为（称为成功的概率），重复该试验直到第一次成功时，进行的试验次数的分布列为，称随机变量服从参数为的几何分布，记作． （1）求证：； （2）设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数，求的最小值；（参考公式：） （3）设随机变量表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数，求． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 两点分布、二项分布、超几何分布及正态分布九种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、两点分布……………………………………………………………………3 类型二、二项分布求参………………………………………………………………4 类型三、二项分布中的期望与方差 7 类型四、超几何分布求参 11 类型五、超几何分布中的期望与方差 13 类型六、正态分布的对称性 17 类型七、利用3δ原则求概率 19 类型八、正态分布中的期望与方差 23 类型九、概率与数列，统计与导数交汇 26 压轴能力测评（10题） 32 1、两点分布 （1）定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0-1分布． 注意：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。 如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。 2、独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，继而求得概率． 3、超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 4、正态分布 正态密度函数 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数. 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为，二是最大值为．这两点确定以后，相应参数便确定了，代入中便可求出相应的解析式． 对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如： ①； ② 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则 正态曲线图像的特点： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的期望与方差 若，则， 类型一、两点分布 例．（1）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . 【答案】 【解析】由题意可知，解得. 故答案为： （2）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【解析】当时，由， 所以. 故选：D 【变式训练1】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（    ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【答案】C 【解析】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得. 故选：C 【变式训练2】随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为随机变量服从两点分布，且， 所以， 由，所以. 故选：D 【变式训练3】已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【答案】 0.7 0.3 【解析】因为服从参数为0.3的两点分布， 所以， . 当时，，所以 故答案为： 0.7 0.3 类型二、二项分布中的概率 例．（1）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以. 故选：D． （2）在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为. 设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为， 则根据马尔可夫不等式可得， ， 因为， 所以， 令，则， ，即， 在上单调递增. ，即. 故选：B 【变式训练1】某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 【变式训练2】小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍． （1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率； （2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？ 【答案】（1）0.6；（2）6 【解析】（1）设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为， 小张在题库中任选一题，回答正确的概率为， 由题意可得， 所以， 所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6. （2）由（1）可得， 设，即， 所以，即，解得， 又，所以时，最大. 类型三、二项分布中的期望与方差 例．小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号． （1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率； （2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析； 【解析】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件； 射击一次获得一等奖为事件，所以有， 所以，， 所以. （2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，； 记“获得三等奖”为事件，所以， 所以，， ，， ，所以 显然，. 【变式训练1】（多选）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 D．当时， 【答案】BC 【解析】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为， 星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 设，则， 令，则（舍去）或或， 当时，，当时，， 故时，取得最大值，即， 即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为， 此时，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为， 所以，故D错误， 故选：BC 【变式训练2】我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. (1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】(1)分布列见解析，；(2) 【解析】（1）起火点被无人机击中次数的所有可能取值为 ， . 的分布列如下： 0 1 2 3 . （2）击中一次被扑灭的概率为 击中两次被火扑灭的概率为 击中三次被火扑灭的概率为 所求概率. 【变式训练3】某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）不可信. 【解析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品， （2）（i）由题：若，则 又 所以或 由切比雪夫不等式可知， 所以； （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则， 所以， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 类型四、超几何分布中的概率 例．（1）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B （2）在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据超几何分布，可知共有 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可． 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品， 由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时 当1个正品3个次品时 所以正品数比次品数少的概率为 ， 故选：A 【变式训练1】某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ） A. 至少有个深度贫困村 B. 有个或个深度贫困村 C. 有个或个深度贫困村 D. 恰有个深度贫困村 【答案】B 【解析】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布， 故， 所以，， ， ， . 故选：B 【变式训练2】数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是： ． 故选：D． 类型五、超几何分布中的期望与方差 例．一个盒子中有个大小、质地相同，颜色不同的小球，其中个黑球，个白球．若采用无放回抽取，从这个球中随机抽取个．求取出的个球中黑球的个数的分布列和期望. 【答案】条件选择见解析，分布列见解析， 【解析】若选①，由题意知所有可能的取值为、、、， ，， ，， 的分布列为： 期望为； （2）（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】，均服从于超几何分布，且，， ，， 对选项A：，，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：ACD. 【变式训练1】（多选）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ） A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件 C． D． 【答案】ACD 【解析】假设10件产品中存在次品为件，从中抽取2件， ，则次品数为2件，B错误； 这10件产品的次品率为，A正确； 10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则的可能取值为0，1，2， ； 则，C正确； ，D正确. 故选：ACD. 【变式训练2】随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. （1）求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； （2）规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2），分布列见解析 【解析】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为： 62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为. （2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分； 分公司中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司中2人，分公司中3人. 所以的所有可能取值为1，2，3. ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望 【变式训练3】学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. （1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； （3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ；（3）13个工时 【解析】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 类型六、正态分布的对称性 例．（1）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. （2）已知随机变量满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 由，得， 因为， 所以随机变量对应的正态密度曲线的形状相同，其对称轴分别为直线， 从而. 故选：B （3）已知随机变量且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】，. 因为， 所以，解得. 故选：B 【变式训练1】已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】/． 【解析】因为，所以，因此． 故答案为： 【变式训练2】随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】或，又， 故，则，得， 故选：B 【变式训练3】已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】0.36 【解析】随机变量X服从正态分布，， 由正态分布图像的对称性可得曲线关于对称。 ， . 故答案为：0.36.   类型七、利用3δ原则求概率 例．（1）某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（ ）参考数据： A. 0.6827 B. 0.34135 C. 0.3173 D. 0.15865 【答案】D 【解析】由题意，， 且， 所以. 故选：D （2）设随机变量，函数没有零点的概率是，则（ ） 附：若，则，． A． B． C．0.1257 D． 【答案】B 【解析】函数没有零点，二次方程无实根， ，，又没有零点的概率是， ，由正态曲线的对称性知，，， ， ，， ， 故选：B． （3）某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（    ）附:，. A. 3413 B. 1587 C. 8413 D. 6826 【答案】C 【解析】依题意，这次数学测试的平均分，标准差， 则，参加数学测试的总人数为， 又， 所以本次考试成绩及格的人数大约为. 故选：C 【变式训练1】设X~N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)=0.022 8，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（    ） 附:，. A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539 【答案】B 【解析】由题意，得 P(X≤-1)=P(X≥3)=0.022 8; ∴P(-1<X<3)=1-0.022 8×2=0.954 4. ∵， ∴1-2σ=-1，故σ=1， ∴P(0<X<1)=P(0<X<2)=0.341 3， 故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1-0.341 3)=13 174 故选：B 【变式训练2】（多选）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，．任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）．当时，对任意实数x，记，则（ ） A. B. 当时， C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变 D. 随机变量，当都增大时，概率单调增大 【答案】AC 【解析】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确； 对于B, 当时， ，故B错误； 对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值, 即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数， 故由可知，C正确，D错误， 故选：AC 【变式训练3】新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． (1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【答案】(1)；(2)①3274人；②不可信. 【解析】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语． 若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门， 则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种． 所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． （2）①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则， 所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信． ， 则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人， 这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 类型八、正态分布中的期望与方差 例．在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示： 得分 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求的值； ②若，求的值； （2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为 赠送话费的金额(单位：元) 20 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）①；②；（2）分布列答案见解析，数学期望为41.25元. 【解析】（1）①由题意得 ， ， ②， 由正态分布曲线的对称性得，，解得； （2）由题意得，，即获赠1次和2次随机话费的概率均为, 故获赠话费的的所有可能取值为20，40，50，70，100 ，， ，， .的分布列为 20 40 50 70 100 元. 所以的数学期望为41.25元 【变式训练1】“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，则 则，故A错误； 由题知，不在的概率为，则， 则，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 【变式训练2】某市2024年初新建一家生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液进行检测，得到该厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）．设该厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为A、B、C级三个等级，其中质量指标值Z不高于14.55的为C级，高于62.35的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （1）该厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数； （2）已知每瓶消毒液的等级与售价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示： 等级 A B C 售价X 30 25 10 假定该厂一年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为2千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：该厂能否在一年之内收回投资？试说明理由． 附：若，则，，． 【答案】（1）84000瓶 （2）能，理由见解析 【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为：， 由题意，甲厂生产消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布， 所以 ， 又由， 所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有84000瓶． （2）设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，， 可得 ， ， 所以， 故Y的分布列为： Y 10 5 P 0.00135 0.8400 0.15865 所以每瓶消毒液的平均利润为：（元）， 故生产一年消毒液所获利润为（千万元）， 而2.6270（千万元）（千万元）， 所以该厂能在一年之内收回投资． 类型九、概率与数列，统计与导数交汇 例．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）. （2）设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 【变式训练1】甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【变式训练2】某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验次；②混合检验，将其且)份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为. （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①记E()为随机变量的数学期望．若运用概率统计的知识，求出关于的函数关系式，并写出定义域； ②若，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094． 【答案】（1）；（2）①（且）；②8. 【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件， 则. （2）①根据题意，可知，的可能值为1，， 则，， 所以， 由，得， 所以（且）. ②由于，则， 所以，即， 设，，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， ，， 所以的最大值为8. 【变式训练3】2024年5月28日，南京首家开市客超市开业，开市客超市是一家会员制超市，办了会员便可以携同伴进入购物．据统计，开业第一天人流量超过三万人，且大多组团来逛超市，如果单独一人逛超市，则视此人为单独一个团体．其中的团体拥有一张会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋一个；另外的团体拥有两张及以上会员卡，结账时将会收到超市赠送的精美布袋两个．假设每个团体之间相互独立，且将频率看做概率． （1）随机抽取3个团体，记3个团体收到超市赠送的精美布袋总个数为，求的分布列和期望； （2）将个团体获赠精美布袋总个数为个的事件概率记为，求； （3）如果你是开市客超市负责人，预计某时间段有100个团体来超市购物，若以需要赠送精美布袋总个数概率最大为依据，请问你应该提前准备多少精美布袋比较合理．并与该时间段内需要赠送精美布袋总个数的期望比较大小． 【答案】（1）分布列见解析；期望为 （2） （3）答案见解析 【解析】（1）据题意，获得一份精美布袋概率为，获得两份精美布袋概率为， 则精美布袋个数的可能取值为3，4，5，6 其中，， ， 所以的分布列为 3 4 5 6 （2）因为个团体获赠精美布袋总数为个，则只有1团体获得两份精美布袋，其余个团体获得一份精美布袋； 于是， 则， 所以 两式相减，得 所以 （3）设获得一份精美布袋的团体个数为， 则获得两份精美布袋的团体个数为， 因此获得精美布袋总个数为， 此时精美布袋总个数为的概率， 当此概率取最大值时，必有，于是 整理得， 解得，而，则，则， 所以精美布袋总个数取最大值时， 由于获得一份精美布袋概率为，获得两份精美布袋概率为，故一个人获得精美布袋期望为 此概率模型符合二项分布，故100个团体对应期望值 从以上结果来看，获取125个布袋的概率最大，数值与总布袋获取的期望相等 1．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的分布列服从两点分布，所以， 因为，所以 故选：C 2．已知随机变量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于服从正态分布，且， 故其均值. 而服从二项分布，故， 再由，就有，得. 故选：C. 3．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【解析】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门， 江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 4．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A 5．（多选）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ）（若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】ACD 【解析】依题意，，A正确； 由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，B错误； 由 又，C正确； ， 设， 由， 解得，即， 由， 解得，即， 所以最大时的估计值为53，D正确. 故选：ACD 6．（多选）已知正方体，的棱长为1，点P是正方形上的一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为，向对角顶点移动的概率为，如当点P在点处时，向点，移动的概率均为，向点移动的概率为，则（    ） A．移动两次后，“”的概率为 B．对任意，移动n次后，“平面”的概率都小于 C．对任意，移动n次后，“PC⊥平面”的概率都小于 D．对任意，移动n次后，四面体体积V的数学期望（注：当点P在平面上时，四面体体积为0） 【答案】AC 【解析】设移动次后，点在点的概率分别为， 其中， ，解得：， 对于A，移动两次后，“”表示点移动两次后到达点， 所以概率为，故A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 而，平面， 所以当点位于或时，平面， 当移动一次后到达点或时，所以概率为，故B错误； 对于C，所以当点位于时，PC⊥平面， 所以移动n次后点位于，则，故C正确； 对于D，四面体体积V的数学期望 ，因为， 所以点到平面的距离为， 同理，点到平面的距离分别为， 所以， 所以， 当为偶数，所以，当时,； 当为奇数，所以，故D错误. 故选：AC. 7．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的是______. ①    ② ③    ④ 【答案】②③ 【解析】由题意可知，的所有取值为，则 ， 由对称性可知， , ， 所以 . 故答案为：②③. 8．篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响. （1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率； （2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求： ①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示） ②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？ 【答案】（1） （2）①；②15 【解析】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球， 表示乙在一轮比赛中投进个球，， 表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球 所以 （2）① ； ②设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分， 则有，故， 要满足题意，则，即， 又，故， 令，，则在恒成立， 即在上单调递增，故的最大值为， 即的最大值为，于是，的最小值为， 因，故理论上至少要进行15轮比赛. 9.某学校食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. （1）求同学甲第二天选择套餐的概率; （2）证明:数列为等比数列; （3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择套餐的概率，求取最大值时对应的的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）37 【解析】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”， 则“第1天不选择B套餐”. 根据题意可知：. 由全概率公式可得. （2）设“第天选择B套餐”，则， 根据题意. 由全概率公式可得 ， 整理得，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）第二天选择A类套餐的概率 由题意可得：学生第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为， 所以，则， 当取最大值时，则， 即，即， 解得，且，所以. 10.在伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为（称为成功的概率），重复该试验直到第一次成功时，进行的试验次数的分布列为，称随机变量服从参数为的几何分布，记作． （1）求证：； （2）设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数，求的最小值；（参考公式：） （3）设随机变量表示首次出现连续两次成功时所需的试验次数，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 （3） 【解析】（1）， （2）的所有可能取值为2，3，…， 且． 由错位相消法，得 同理，（时取等号） （3）记 法1：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2；若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. 2 ，解得 法2：期望表示首次出现成功， 当下一次再成功时，即有连续两次成功，则总试验次数为，概率为； 当下一次不成功时，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为，概率为. 所以，又. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$