专题8.3超几何分布与二项分布（七个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

专题8.3超几何分布与二项分布 一、n重伯努利实验的判断及概率问题 五、超几何分布的应用 二、二项分布的均值与方差 六、二项分布与超几何分布的结合 三、二项分布的应用 七、二项分布的最大概率问题 四、超几何分布的判断及概率问题 知识点1二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 知识点2超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 重难点一、n重伯努利实验的判断及概率问题 【例1】重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验， 故重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的； ②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的； 故选：C 【例2】某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 【变式1-1】（多选）下列说法正确的是（    ）． A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则 B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响 C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率， 【答案】ABD 【详解】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验． 在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误． 二项分布的定义为：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数， 则这个事件恰好发生次的概率，． 如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．故A正确，D正确． 故选：ABD． 【变式1-2】(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（    ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【答案】ABC 【详解】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验； B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，因此不是独立重复试验； D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验 故选：ABC 【变式1-3】某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为甲同学投篮命中率为， 所以在3次投篮比赛中， 甲同学恰好命中一次的概率 ， 故选： 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 重难点二、二项分布的均值与方差 【例3】已知随机变量X服从二项分布，则 ， . 【答案】 80 64 【详解】随机变量X服从二项分布，则，. 故答案为：80；64 【例4】已知随机变量，若，，则 ． 【答案】16 【详解】因为，，所以．所以，． 故答案为：16 【变式2-1】若随机变量，则 ， . 【答案】 3 18.9 【详解】因为，所以，， 所以，. 故答案为：；. 【变式2-2】已知随机变量服从二项分布，若，则 . 【答案】 【详解】因为，由二项分布的期望公式可得， 由期望的性质可得，解得. 故答案为：. 【变式2-3】甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ． 【答案】 【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次， 记摸得黑球个数为，则， ∵，∴，∴， ∴. 故答案为：. 若服从二项分布，则 重难点三、二项分布的应用 【例5】一个箱子中装有4个黑球，2个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出一个球，取出4个黑球即停止. (1)若从箱子中不放回地取球，求恰好第5次停止的概率； (2)若从箱子中有放回地取球，记5次之内（含5次）取到黑球的次数为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）依题意，5次取球中最后一次必为黑球，可先考虑从2个白球中取出1个，再在前4次取球顺序中确定1个序号， 最后进行全排即得方法数为：，而总的方法数为，故恰好第5次停止的概率为. （2）随机变量的取值为. ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 故. 【例6】某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名， 根据古典概型概率公式可得， 所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率. （2）原来 “不了解” 的市民占比为0.1，“非常了解” 的市民占比为，“一般了解” 的市民占比为， 经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，有转变为 “非常了解”，其余保持不变， 所以重点宣传后 “非常了解” 的概率为. 从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，所以， 根据二项分布的概率公式. ， ， ， . 所以X的分布列为： 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 因为，根据二项分布的数学期望公式可得. 【变式3-1】如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ． ①；②； ③；④． 【答案】②③④ 【详解】由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6；小球在下落过程中共碰撞五次；小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1. 用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数. 则，， 由对称性可知：； ； ； 则. 故答案为：②③④ 【变式3-2】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为2 【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票． 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响， 所以． （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 因此的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． （或由，得）. 【变式3-3】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【详解】（1）记质点2 秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后质点在处的概率为事件B， 则，， 故所求的概率为； （2）的可能取值为：，，1， 则， ， ， 分布列如下： X 1 3 P 数学期望 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 重难点四、超几何分布的判断及概率问题 【例7】(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【答案】ABD 【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 故选：ABD 【例8】有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则，，， 所以. 故选：C. 【变式4-1】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布，请说明理由？ 【答案】不服从超几何分布，理由见解析 【详解】不服从超几何分布． 随机变量是否服从超几何分布，是看随机变量的分布列是否由确定，对应的是多少， 随机变量的可能取值为3，4，5，6，不妨探讨“”与“”两种情况： “”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”，其概率； “”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”，其概率， 从“”与“”两种情况就可看出随机变量的分布不是由确定的， 所以随机变量不服从超几何分布． 【变式4-2】冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数6，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行8次运算后得到1．若从正整数3，11，12，13，14中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均被4整除余1的概率为 ． 【答案】/0.3 【详解】按照题中运算规律，正整数3的运算过程为，运算次数为； 正整数11的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为9，由正整数3的运算过程可知，正整数11总的运算次数为； 正整数12的运算次数为，共次； 正整数13的运算次数为9； 正整数14的运算次数为，共 故能被4整除余1共3个， 则所求概率为． 故答案为：. 【变式4-3】高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 重难点五、超几何分布的应用 【例9】年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，1. 【详解】（1）设10个小球中黄球为个，绿球为个，且， 由题意得，，解得，则红球有2个， 记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则， 所以该消费者获得一等奖的概率为. （2）由题意，的取值是，则，，， 的分布列为： 0 1 2 期望. 【例10】为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)89 (2)分布列见详解； 【详解】（1）将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92， 因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为. （2）数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分； 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分； 即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人. 可知X的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以X的概率分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【变式5-1】一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【详解】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3 【变式5-2】为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)50； (2)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）已知小池塘中鱼的条数为m， 由分层随机抽样方法得=，解得， 所以估计小池塘中有50条鱼. （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3， 所以，，，， X的分布列为 0 1 2 3 . 【变式5-3】某区月日至日的天气情况如图所示．如：日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差（最高气温与最低气温的差）是． (1)从日至日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率； (2)从日至日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望； (3)已知该区当月日的最低温度是零下．日至日温差的方差为，日至日温差的方差为，若，请直接写出日的最高温度．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， (3) 【详解】（1）设“从日至日某天开始，这三天中至少有两天是晴天”为事件， 连续统计三天共有个基本事件，事件共有个基本事件，所以. （2）日至日中，温差不高于的共有天，则随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的期望为. （3）显然日至日温差分别为、、、，平均数为， 方差， 日至日温差分别为、、、，平均数为， 方差，整理得，解得， 而日的最低温度是零下，所以日的最高温度是. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 重难点六、二项分布与超几何分布的结合 【例11】某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)甲面试通过的可能性大 【详解】（1）设甲正确完成面试题数为，乙正确完成面试题数为， 则可取，可取， 则， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： ， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数为的分布列为： ； （2）由（1）得， ， 因为， 所以甲得成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大. 【例12】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率． (1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． (2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析；数学期望 (2)分布列见解析 【详解】（1）“体育迷”对应的频率为：， 用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则； 所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. （2）根据分层抽样原则知：抽取的人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为， ；；； 的分布列为： 【变式6-1】一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（    ） A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数 【答案】C 【详解】超几何分布的概念为：设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品， 则不合格品的个数X是一个离散随机变量，若n>M，则可能取0,1,2…，M， 由古典方法可以求得的概率是： ，， 假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得的概率是： ，， 根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足 A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7， ，，， ，，， ， X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 7 P B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码， 则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10， ，， ， ， ，故不满足超几何分布； C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8， ，， ，， ， 显然满足超几何分布， D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数， 则X的可能取值为0,1,2,3,4， 由于是有放回的取球，故，故D不满足超几何分布； 故选：C 【变式6-2】某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析 【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，， ，，， 所以甲正确完成面试题数的分布列为： . （2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，， ，， ，， 所以乙正确完成面试题数的分布列为： 所以， . （3）因为，， 所以，所以甲通过面试的可能性大. 【变式6-3】我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望． (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差； 【答案】(1)分布列见解答，； (2)，； 【详解】（1）由题意，可知可取0，1，2，3． 则有；；；． 所以的分布列为： 0 1 2 3 因此的数学期望； （2）由题意，可取的值为0，1，2，3，4，5，6． 则有；；． 技术攻坚成功的概率． ，的方差； 重难点七、二项分布的最大概率问题 【例13】重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【答案】D 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 【例14】（上海市松江区2025届高三下学期二模数学试卷）某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【答案】(1)平均数小时，中位数小时 (2) 【详解】（1）（小时）. 因为学习时间小于3小时的频率为， 所以中位数在内，由，解得小时. （2）由频率分布直方图可知，学习时间不小于3小时的频率为. 设从全部高三年级学生中随机抽取人，线上学习时间不小于3小时的人数为， 其中有4人周末线上学习时间不小于3小时的概率为， 所以.要使最大， 则， 解不等式组得，因为为正整数，所以. 所以时，最大. 【变式7-1】某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【答案】7 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 【变式7-2】如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【答案】(1) (2)①分布列见详解，期望，方差； ② 【详解】（1）设“两个粒子通过号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过号门后进入室都为上旋状态”， 则，， 则. （2）①返回室的粒子个数的可能性为，，，， 服从二项分布： ，， ，， ， 所以期望，方差； ②的可能取值为，此时， 个粒子返回室的概率为， 则， 所以， 当时，取最大值. 【变式7-3】已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 一、单选题 1．已知某生产流水线上产品的次品率为0.1，现从该生产流水线上随机抽取3件产品，则恰有2件产品是次品的概率是（    ） A．0.027 B．0.243 C．0.009 D．0.054 【答案】A 【详解】依题意，. 故选：A 2．某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【答案】A 【详解】依题意，，则，解得或， 由全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，得，即，则， 所以. 故选：A 3．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平后，两人又打了4个球，甲获胜，则4个球赢球的一方为以下情况， 甲乙甲甲，乙甲甲甲， 若是甲乙甲甲，则概率为， 若是乙甲甲甲，则概率为， 故两人又打了4个球且甲获胜”的概率为. 故选：B 5．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、多选题 6．在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，那么在本次运动会上（   ） A． B． C． D．， 【答案】ACD 【详解】由于该名运动员在这3个项目中，每个项目都能打破世界纪录的概率都是， 所以该名运动员能打破世界纪录的项目数为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由，得，故D正确； 故选：ACD. 7．已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A，因为，所以， 解得，故A错误； 对B，由上知，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 8．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 ． 【答案】 2 【详解】设甲射击3次，击中目标次数为，依题意，,则； 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为和,则, 因“至少有1人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为. 故答案为：2；. 9．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 【答案】 【详解】由题意可得 则， ， 可得的分布列为： 0 1 2 3 期望. 故答案为：. 10．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为 ；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则 ． 【答案】 ； 4. 【详解】由题可知， 甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率； 当时，X的取值可能是2，3，4， 且，，， 则． 当时，X的取值可能是0，1，2， 且，，， 则． 故． 故答案为：；4. 四四、解答题 11．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 【答案】(1)； (2)选择投票给学生甲；理由见解析． 【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为：. （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则；；． 所以． 由题意，随机变量，所以． 又，． 所以，， 可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定， 所以选择投票给学生甲． 12．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． (1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； (2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 【答案】(1) (2)答案见详解 【详解】（1）根据题意，这2台电脑全部是品牌的概率为， 所以这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率为. （2）依题意，的可能取值为， 则，，， 则的分布列为： 所以， . 13．某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 (1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在的有8人，在的有2人，共人；女生中成绩在的有4人，在的有2人，共人.所以成绩在80分及以上的学生共有人. 从这16人中随机抽取2人的总组合数为种. 要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况： 男生从选，女生从选，有种选法. 男生从选，女生从选，有种选法. 所以满足条件的选法共有种. 根据古典概型概率公式所求概率. （2）从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为. 从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X， 因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为，的二项分布，即. 根据二项分布的概率公式，可得： . . . . . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 根据二项分布的数学期望公式，可得. （3）因为抽取的女生共30人，所以，即. 当数据越集中时方差越小，所以当时，抽取的女生成绩方差最小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3超几何分布与二项分布 一、n重伯努利实验的判断及概率问题 五、超几何分布的应用 二、二项分布的均值与方差 六、二项分布与超几何分布的结合 三、二项分布的应用 七、二项分布的最大概率问题 四、超几何分布的判断及概率问题 知识点1二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 知识点2超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 重难点一、n重伯努利实验的判断及概率问题 【例1】重伯努利试验应满足的条件： ①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果； ③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的． 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【例2】某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）下列说法正确的是（    ）． A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则 B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响 C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同 D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率， 【变式1-2】(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（    ） A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 【变式1-3】某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是（    ） A． B． C． D． 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 重难点二、二项分布的均值与方差 【例3】已知随机变量X服从二项分布，则 ， . 【例4】已知随机变量，若，，则 ． 【变式2-1】若随机变量，则 ， . 【变式2-2】已知随机变量服从二项分布，若，则 . 【变式2-3】甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ． 若服从二项分布，则 重难点三、二项分布的应用 【例5】一个箱子中装有4个黑球，2个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出一个球，取出4个黑球即停止. (1)若从箱子中不放回地取球，求恰好第5次停止的概率； (2)若从箱子中有放回地取球，记5次之内（含5次）取到黑球的次数为，求的分布列和期望. 【例6】某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右： 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数（名） 580 320 100 (1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率； (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望. 【变式3-1】如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ． ①；②； ③；④． 【变式3-2】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【变式3-3】已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与数学期望. 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 重难点四、超几何分布的判断及概率问题 【例7】(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ） A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【例8】有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（   ） A． B． C． D．1 【变式4-1】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布，请说明理由？ 【变式4-2】冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数6，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行8次运算后得到1．若从正整数3，11，12，13，14中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均被4整除余1的概率为 ． 【变式4-3】高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 重难点五、超几何分布的应用 【例9】年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 【例10】为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下： 数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92； 数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95． (1)求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数； (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【变式5-1】一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【变式5-2】为了估计一个小池塘中鱼的条数m，池塘主人先从中打捞出20条鱼，做好记号后放回池塘，再从中打捞出10条鱼，发现有记号的鱼有4条. (1)试估计m的值； (2)对于（1）中的估计值m，若在这m条鱼中，A种鱼有8条，从m条鱼中打捞出3条，用X表示其中A种鱼的条数，求X的分布列和数学期望. 【变式5-3】某区月日至日的天气情况如图所示．如：日是晴天，最低温度是零下，最高温度是零下，当天温差（最高气温与最低气温的差）是． (1)从日至日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是晴天的概率； (2)从日至日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于的天数，求的分布列及期望； (3)已知该区当月日的最低温度是零下．日至日温差的方差为，日至日温差的方差为，若，请直接写出日的最高温度．（结论不要求证明） 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 重难点六、二项分布与超几何分布的结合 【例11】某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 【例12】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率． (1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望． (2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列． 【变式6-1】一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（    ） A．X表示取出的最小号码 B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码 C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数 【变式6-2】某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取 道题，按照题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响. (1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差； (3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由. 【变式6-3】我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望． (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差； 重难点七、二项分布的最大概率问题 【例13】重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（   ） A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 【例14】某校组织学生在周末时间利用DeepSeek等人工智能平台进行线上学习，但要求学生学习时间不超过4小时．现从该校高三学生某周末的线上学习时间统计数据中，随机抽取100个学生的学习时间进行分析，绘制成如下频率分布直方图．以抽取的100个学生该周末线上学习时间作为样本，估计该校高三年级全体学生周末线上学习时间的情况． (1)试估计该校高三学生周末线上学习时间的平均数及中位数（注：为了计算均值，可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）； (2)现从全部高三年级学生中随机抽取人，若其中有4人周末线上学习的时间不小于3小时的可能性最大，求的值. 【变式7-1】某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时， ． 【变式7-2】如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从腔室出发，到达腔室，粒子从室经过号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子从室出发. (1)求两粒子进入室都为上旋状态的概率； (2)若实验装置出现故障，两个粒子进入室后，共裂变为个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回室的概率为，各粒子返回室相互独立. ①时，写出返回室的粒子个数的分布列、期望、方差； ②时，记有个粒子返回室的概率为，则为何值时，取最大值. 【变式7-3】已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 二项分布的概率为，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加； 当时，，随值的增加而减少. 如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值. 如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 一、单选题 1．已知某生产流水线上产品的次品率为0.1，现从该生产流水线上随机抽取3件产品，则恰有2件产品是次品的概率是（    ） A．0.027 B．0.243 C．0.009 D．0.054 2．某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 3．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 4．乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 二、多选题 6．在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，那么在本次运动会上（   ） A． B． C． D．， 7．已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 ． 9．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 . 10．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为 ；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为，的数学期望为，则 ． 四、解答题 11．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 12．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台． (1)求这2台电脑中至多有1台B品牌电脑的概率； (2)求这2台电脑中A品牌台数X的分布列及均值和方差． 13．某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、女各30名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 3 6 11 8 2 女生人数 a b 12 4 2 (1)在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$