第十九章 一次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第19章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图所示的图像，分别给出y与x的对应关系，其中y是x的函数的是（     ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的概念．熟练掌握对于每一个确定的x值，都有唯一确定的y值与之对应是解题的关键．根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解： A．给x一个正值，y有2个值与之对应，所以y不是x的函数．不符合题意； B．当时，每一个确定的x值，都有2个y值与之对应，不符合题意； C．对于每一个确定的x值，都有唯一确定的y值与之对应，符合题意；； D．当时，有3个y值与之对应，不符合题意． 故选：C． 2．函数中的自变量的取值范围是(    ) A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴且 故选：D． 3．若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的性质和点所在象限的特征，根据正比例函数的图像在第二、四象限，，则，根据点所在象限的特征即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像在第二、四象限， ∴， ∴， ∴点在第三象限， 故选：C 4．已知点，，均在直线的图象上，则，，的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对一次函数图象的性质；根据比例系数可知，y随x的增大而减小判定即可 【详解】解：由已知，， 则y随x的增大而减小， ∵， ∴ 故选：C 5．若一次函数的图象过点和点，其中，则k应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过点和点，得出方程组，求出k的表达式，由，即可判断k的取值范围，从而解答本题． 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是列出方程组，求出k的表达式． 【详解】解：一次函数的图象经过点和点，其中， ， 解得，， ， ， ， 即 故选：B 6．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 8．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，下面情境草图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系”，根据图中给出的信息，可得以下结论： ①兔子和乌龟赛跑的全过程是1500米； ②兔子在起初每分钟跑350米，乌龟每分钟爬30米； ③乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； ④兔子醒来后，若以400米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，可知兔子睡觉用了48分钟．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图像，结合题意弄清函数图象中每个点的实际意义是解题的关键． 利用乌龟始终运动，中间没有停留，而兔子中间有休息的时刻，即可得出折线OABC的意义和全程的距离，根据图象中点A、D实际意义可得速度；根据700米时相遇可得乌龟追上兔子的时间，利用兔子的速度，求出兔子走完全程的时间，可得兔子睡觉用了47分钟． 【详解】解：①∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻， ∴折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系； 由图象可知：赛跑的全过程为1500米；故①正确， ②结合图象得出：兔子在起初每分钟跑（米）， 乌龟每分钟爬（米）．故②正确， 乌龟追上兔子用的时间为分钟 故③正确 ∵兔子跑了700米用了2分钟，停下睡觉， ∴剩余800米，所用的时间为：（分钟）， ∴兔子睡觉用了：（分钟），故④错误， 故选：B 9．在平面直角坐标系中，点、、、，当四边形的周长最小时，m的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，以及轴对称-最短路线问题．如图，作点A关于x轴的对称点E，过E作轴，取，连接，，，只要求的最小时，点D的坐标即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点E，过E作轴，取，连接，， ∵、， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴只要求的最小时，点D的坐标即可， ∵点A关于x轴的对称点E，， ∴，， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴点B、D、E三点共线时，， 设直线的函数解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形，…都是菱形，点…都在x轴上，点，…都在直线上，且，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别过点作轴的垂线，交于，再连接 ，利用勾股定理及根据菱形的边长求得、、的坐标然后分别表示出、、的坐标找出规律进而求得的坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，交于，再连接 如下图： ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 的纵坐标为：，横坐标为， ，， 四边形，，，都是菱形， ，，，， 的纵坐标为：，代入，求得横坐标为2， ， 的纵坐标为：，代入，求得横坐标为5， ，， ，， ，， ，； ，， ， 则点的横坐标是：， 故选：A． 【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列点的坐标，找出规律是解题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知直线与直线平行，且经过点，则b的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两条平行线的性质、直线解析式的求法，由平行线的性质得出，再把点代入，求出b，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 12．在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是 kg． 【答案】2 【详解】从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg． 【解答】解：从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg． 故答案为：2． 【点评】本题考查了函数的概念，函数的表示方法，知道了函数值为13，找到自变量为2是解题的关键． 13．如图，直线经过点，点，直线过点，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象即可求出不等式的解集． 【详解】∵， ∴直线在直线的下方，即在点的左边的图象符合要求， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数图象与一元一次不等式，解本题的关键是将不等式转化为函数图象在上方或下方的关系． 14．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积的最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 15．如图，直线与过点A（3，0）的直线交于点C（1，m），与x轴交于点B．点M在直线上，MNy轴，交直线于点N，若MN=AB，则点M的坐标是 ． 【答案】（3，6）或（﹣1，2） 【分析】把点C的坐标代入y=x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；再由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标． 【详解】解：（1）把x=1代入y=x+3得y=4， ∴m=4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y=-2x+6； 在y=x+3中，令y=0，得x=-3， ∴B（-3，0）， ∴AB=3-（-3）=6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，-2a+6）， MN=|a+3-（-2a+6）|=AB=6， 解得a=3或a=-1， ∴M（3，6）或（-1，2）． 故答案为：（3，6）或（-1，2） 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 16．已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式的性质，两直线交点问题；设问题转化为与的图象恰好有两个不同的交点，画出函数图象，结合图形，即可求解． 【详解】解：设 ∴ 画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解， 所以与的图象恰好有两个不同的交点， ∴或 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知正比例函数． (1)点在它的图象上，求这个函数的表达式． (2)在（1）的结论下，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数图象的增减性，图象上点的坐标特征，求函数关系式，解题关键是理解正比例函数的增减性． （1）把点代入中，即可求解的值； （2）分别计算出自变量为和所对应的函数值，然后根据正比例函数的性质确定的取值范围． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， 这个函数的表达式为：； （2）解：当时，， 当时，， ， 随的增大而减小， 的取值范围：． 18．（8分）一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象； (2)已知点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)，图象见解析； (2)点D的坐标是或或． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）将代入可求出k的值，由一次函数解析式可得出答案． （2）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质可得出点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 函数表达式：， 令，， ∴与y轴交于点； 画出函数的图象如下： （2）解：在中，令，则有， 解得：， ∴， 分三种情况：①为对角线时，点D的坐标为； ②为对角线时，点D的坐标为， ③为对角线时，点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标是或或． 19．（8分）某校为开展劳动教育实践活动需要购买喷水壶和铲子，已知一个喷水壶比一个铲子贵2元，购买喷水壶的费用和购买铲子的费用分别是3500元和2500元． (1)若喷水壶和铲子购买的数量相同，求铲子的单价； (2)若喷水壶和铲子共购买1100个，且购买喷水壶和铲子的总费用不超过6000元，其中喷水壶至少购买200个，根据（1）中喷水壶和铲子的单价，该校最少花费为多少元？ 【答案】(1)铲子的单价为元 (2)该校最少花费为元 【分析】（1）设铲子的单价为元，则一个喷水壶单价为元，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）设购买铲子根据，则购买碰水壶个，碰水壶的单价为元，依题意列出方程组，解得，设总价为，则，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设铲子的单价为元，则一个喷水壶单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， 答： 铲子的单价为元； （2）解：设购买铲子根据，则购买碰水壶个，碰水壶的单价为元，依题意得， 解得： 设总价为，则 ∵ ∴当时，取得最小值，最小值为（元） 答：该校最少花费为元 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程、不等式组、一次函数关系式是解题的关键． 20．（8分）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【答案】(1)； (2)6 (3)或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解； （2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解； （3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，． ∴． ∴，． ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意，联立方程组， 解得， ∴C的坐标为． ∴； （3）解：由题意，如图， ∵过点C的直线将的面积分为， ∴或， ∴或， ∴D的坐标为或， 又∵C的坐标为， 同理，由待定系数法求得直线的解析式为或． 21．（8分）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”． 例如，一次函数，它的“和谐函数”为． (1)一次函数的“和谐函数”为______； (2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据“和谐函数”的定义即可求得； （2）先求出函数y=3x-2的“和谐函数”，然后求出y=4时的x值，再根据题意可得不等式组−<b-1≤2或−≤b+3<2，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据“和谐函数”定义得： 一次函数的“和谐函数”为， 故答案为：． （2）解：函数y＝3x－2的和谐函数是 如图1和如图2所示 由－3x＋2＝4，得x＝ 由3x－2＝4，得x＝2 ∵点A的坐标为（b－1，4）点B的坐标为（b＋3，4） ∴AB＝4，AB∥x轴 ∵函数y＝3x－2的和谐函数与线段AB有且只有一个交点， ∴有两种情况：① 解得 ② 解得 综上所述，b的取值范围是或 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，理解“和谐函数”的含义并熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图像及性质，面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分为当点在点左侧时和当点在轴右侧时，列方程求解即可； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点，， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）解：设直线和轴交于点， 设点， 在函数中，令，则， 所以点的坐标为，则， 当点在轴左侧时，则的面积， 解得：，即点； 当点在轴右侧时，则的面积， 解得：，即点． 综上，即点的坐标为：或． （3）解：存在， 设点的坐标为， 由题意可得， 解得：， 故点的坐标为． 23．（10分）受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 【答案】(1) (2)①购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少    ② 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用中的最优解问题． （1）由图已知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果 千克，根据实际意义可以确定的范围，结合付款总金额(元)与两种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用； ②根据题意分为和两种情况列不等式解题即可． 【详解】（1）当时, 设, 根据题意得， 解得， ∴； 当时, 设， 根据题意得解得 ， ∴， ； （2）①设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克 ∴， 当时, ， 当时. 元； 当时, ， 当时, 元， ∵ ∴当时, 总费用最少, 最少总费用为元此时乙种水果(千克)， 答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额 (元)最少． ②当时,， 解得，不符合题意； 当时，，解得：， ∴甲种水果购进量的取值范围为：． 24．（12分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值． 他们用两种方法表示的面积： 方法一：如图，作于点，计算的面积． 解答过程如下： 方法二：连接，则． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出　　． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识求出点的坐标． 【答案】[问题探究]（1）见解析（2）；[学以致用]（1）；（2）P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，分类讨论思想的应用等，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积． [问题探究]（1）由，即可求解； （2）由，即可求解； [学以致用]（1）由待定系数法即可求解； （2）当在下方时，由，点到直线的距离为2，则，得到，即可求解；当在上方时，同理可解． 【详解】解：[问题探究] （1）作于点，则：， ∴， ∴； （2）连接，则， 则， 故答案为：； [学以致用] （1）把代入得：； ， 设直线解析式为，由点、的坐标得， ，解得：， 直线解析式为； （2）过作于，过作于，连接， 当在下方时，如图： ，令得， ， ，， ，，， ，点到直线的距离为2， ， 解得， 即点的纵坐标为：， 解得：， ； 当在上方时，如图： ， ， 解得，同理可得：； 综上所述，的坐标为或． 25．（14分）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）①直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，由，解得， 点坐标为：点坐标为； 故答案为：，． ②在图中，过作于， ， ， ， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， ， 在中，； 是正比例函数图象上的两个动点， 根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于， 则， ， ， 直线绕点逆时针旋转得到直线， ， 是等腰直角三角形，则， ， ，， 一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点 当时，，当时，由得， ，， ，， ，， ， 设直线对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， 直线对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．如图所示的图像，分别给出y与x的对应关系，其中y是x的函数的是（     ） A．  B．  C．  D．   2．函数中的自变量的取值范围是(    ) A． B． C．且 D．且 3．若正比例函数的图像在第二、四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知点，，均在直线的图象上，则，，的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．若一次函数的图象过点和点，其中，则k应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 6．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，下面情境草图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系”，根据图中给出的信息，可得以下结论： ①兔子和乌龟赛跑的全过程是1500米； ②兔子在起初每分钟跑350米，乌龟每分钟爬30米； ③乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； ④兔子醒来后，若以400米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，可知兔子睡觉用了48分钟．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．在平面直角坐标系中，点、、、，当四边形的周长最小时，m的值为（   ） A．2 B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形，…都是菱形，点…都在x轴上，点，…都在直线上，且，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知直线与直线平行，且经过点，则b的值是 ． 12．在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是 kg． 13．如图，直线经过点，点，直线过点，则不等式的解集为 ．    14．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为 ． 15．如图，直线与过点A（3，0）的直线交于点C（1，m），与x轴交于点B．点M在直线上，MNy轴，交直线于点N，若MN=AB，则点M的坐标是 ． 16．已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知正比例函数． (1)点在它的图象上，求这个函数的表达式． (2)在（1）的结论下，若的取值范围是，求的取值范围． 18．（8分）一次函数的图象过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求k的值并在坐标系中画出该一次函数的图象； (2)已知点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标． 19．（8分）某校为开展劳动教育实践活动需要购买喷水壶和铲子，已知一个喷水壶比一个铲子贵2元，购买喷水壶的费用和购买铲子的费用分别是3500元和2500元． (1)若喷水壶和铲子购买的数量相同，求铲子的单价； (2)若喷水壶和铲子共购买1100个，且购买喷水壶和铲子的总费用不超过6000元，其中喷水壶至少购买200个，根据（1）中喷水壶和铲子的单价，该校最少花费为多少元？ 20．（8分）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 21．（8分）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”． 例如，一次函数，它的“和谐函数”为． (1)一次函数的“和谐函数”为______； (2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴、轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于，直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积为，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． 23．（10分）受天气影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)直接写出当和时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克． ①如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额（元）最少？ ②若甲，乙两种水果的销售价格分别为41元/千克和36元/千克．若销售完100千克水果后；甲种水果的获利大于乙种水果的获利，求甲种水果购进量的取值范围． 24．（12分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值． 他们用两种方法表示的面积： 方法一：如图，作于点，计算的面积． 解答过程如下： 方法二：连接，则． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出　　． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识求出点的坐标． 25．（14分）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出点的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$