（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第二单元 圆柱和圆锥（3）圆锥的体积-六年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）苏教版

苏教版六年级数学下册同步精讲 第二单元 圆柱和圆锥（2）圆锥的体积 内容导航 · 知识梳理 2 · 考点精讲 3 基础计算类 · 考点一：圆锥体积公式的推导理解 3 · 考点二：已知半径和高求体积 3 · 考点三：已知直径和高求体积 4 · 考点四：已知周长和高求体积 5 逆向求解类 · 考点五：已知体积和半径求高 6 · 考点六：已知体积和直径求高 6 · 考点七：已知体积和周长求高 7 关系应用类 · 考点八：等底等高圆柱与圆锥体积关系 9 · 考点九：等体积等高圆柱与圆锥底面积关系 11 · 考点十：等体积等底面积圆柱与圆锥高的关系 11 综合变化类 · 考点十一：体积变化问题 12 · 考点十二：圆锥体积比问题（半径、高成比例） 14 实际应用类 · 考点十三：根据圆锥体积解决实际应用问题（沙堆、谷堆等） 15 · 考点十四：简单工程应用题 17 综合应用类 · 考点十五：圆锥切割相关问题 18 · 考点十六：圆锥体积与图形旋转的结合 20 · 考点十七：组合体中圆锥体积计算（与圆柱等组合） 23 · 考点十八：圆锥浸没物体求体积 25 · 考点十九：从长方体、正方体或圆中削得圆锥的体积计算 28 知识梳理 1.圆锥的基本概念 定义：圆锥是一种几何图形，由一个圆面（底面）和一个曲面（侧面）围成，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 2.圆锥的图形特征 圆锥的底面是一个圆，底面的大小由半径决定。 侧面展开是一个扇形。 3.圆锥的体积公式 （1）公式推导 实验法：通过将圆锥容器装满水或沙子，倒入等底等高的圆柱容器中，发现三次正好倒满，从而得出圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的。 数学推导：圆锥可以看作是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周所形成的立体图形。根据圆锥和圆柱的体积关系，通过数学计算得出圆锥体积公式，其中是圆锥的底面积，是圆锥的高。 （2）公式表达 用字母表示为，其中表示圆锥的体积，是圆锥的底面积，是圆锥的高。 由于圆的面积公式为（其中为底面半径），所以圆锥体积公式也可以写成。 考点精讲 基础计算类（考点一到考点四） 考点一：圆锥体积公式的推导理解 通过实验或几何推理，理解圆锥体积公式 的来源 根据下图的提示，简要写出圆锥的体积公式的推导过程。 【答案】等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器，用圆锥形容器装满沙子，倒入圆柱形容器内，倒次正好把圆柱形容器装满。所以等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的倍，圆锥的体积是圆柱体积的。(合理即可) 即时练习1 在推导圆锥的体积公式时，小林将圆柱形容器装满水后，倒入等底等高的圆锥形容器中，倒满后，发现圆柱形容器中还剩水。若容器厚度忽略不计，这个圆锥形容器的容积是(   )。 A. B. C. D. 考点二：已知半径和高求体积 直接使用圆锥体积公式 ，将给定的半径 与高 代入公式求解。这是最基础的题型，是对圆锥体积公式的直接应用，在单元测试、期末考试中频繁出现 。 一个圆锥的底面半径是厘米，高是厘米，这个圆锥的底面周长是(    )厘米，体积是(    )立方厘米。 【答案】； 【解析】使用圆锥体积公式 ，将给定的半径 与高 代入公式求解。 即时练习1 一个圆锥的底面半径是，高是，体积是（ ）。 即时练习2 一个圆锥的底面半径是，高是，它的体积是（ ）。 【答案】 即时练习3 一个圆锥，底面半径是，高是，它的体积是（ ）。 考点三：已知直径和高求体积 先根据直径 算出半径 ，再代入圆锥体积公式 进行计算。由于直径是常见的已知条件，这类题型考查频率也很高。 一个圆锥的底面直径和高都是，它的体积是      。 【答案】 【解析】直径 算出半径 ，再代入圆锥体积公式 进行计算，圆锥的体积，。 即时练习1 底面直径是分米，高是分米，求圆锥的体积。 即时练习2 一个圆锥形沙堆，它的底面直径是，高，它的体积是      立方分米． 考点四：已知周长和高求体积 由圆的周长公式 得出半径 ，然后将 和高 代入圆锥体积公式 算出体积。该题型涉及周长公式与体积公式的结合，在考试中出现频率适中。 已知圆柱底面的直径或者底面的周长和高，该怎么求圆柱的体积呢？ ‍ ‍ 【答案】；；； 即时练习1 一个圆锥的底面周长是，高是底面半径的倍，这个圆锥的体积是(     )。 即时练习2 一个圆锥的底面周长是，高是，它的体积是（ ）。 逆向求解类（考点五到考点七） 考点五：已知体积和半径求高 将圆锥体积公式 变形为 ，把已知的体积 和半径 代入此公式求出高 。考查对公式的逆向运用，在各类考试中较为常见。 一个圆锥的底面半径是厘米，体积是立方厘米，这个圆锥的高是     厘米． 【答案】 【解析】（） ‍ ‍（厘米）， 答：这个圆锥的高是厘米． 由此可得答案为：． 即时练习1 一个圆锥的底面半径是，体积是，这个圆锥的高是（）。 考点六：已知体积和直径求高 先根据直径 求出半径 ，再把体积公式变形为 ，代入已知的体积 和求出的半径 ，从而得到高 。比已知体积和半径求高多一步求半径的过程，考试出现频率中等。 一个圆锥体的体积是，底面直径是，那么它的高是(   )。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆锥体积，所以体积。 ‍ ‍ ‍ ‍ ‍（） 故选。 即时练习1 一个圆锥的体积，底面直径，它的高(    )。 A. B. C. D. 即时练习2 一个圆锥的体积是，底面直径是，高是（）。 A. B. C. D. 考点七：已知体积和周长求高 先依据 算出半径 ，再利用 ，代入已知的体积 和半径 ，计算出高 。涉及多个公式的综合运用，难度稍大，考试频率相对较低。 已知一个圆锥的体积是立方厘米，底面周长是厘米，求这个圆锥的高是多少？ 【答案】求底面半径，根据圆的周长公式（是周长，取）， 可得厘米。 根据圆锥体积公式（是体积，是高），则， 把立方厘米，厘米代入可得： 厘米。 【解析】：先根据圆的周长公式，已知周长厘米，，通过变形公式求出半径。 再根据圆锥体积公式，将其变形为，把已知的体积立方厘米和求出的半径厘米代入变形后的公式，从而计算出高。 【总结】遇到已知圆锥体积和底面周长求高的问题，关键是先利用圆的周长公式求出半径，再将半径代入圆锥体积公式的变形公式来计算高。在计算过程中，要注意公式的准确运用以及计算的准确性，特别是在公式变形和代入数据时，避免出现错误。 即时练习1 一个圆锥的体积是，底面周长是。圆锥的高是多少？ 即时练习2 圆锥的体积是立方分米，底面周长是分米，求该圆锥的高。 即时练习3（简单的已知体积和高求半径） 一块圆锥形铁块的体积是立方厘米，高是厘米，这块圆锥形铁块的底面半径是(    )厘米。 关系应用类（考点八到考点十） 考点八：等底等高圆柱与圆锥体积关系 利用等底等高时，圆柱体积是圆锥体积 3 倍的关系，已知其中一个体积，求另一个体积。是圆锥体积知识的重要应用，在考试中频繁考查。 （直接关系） 完成下列问题 (1)一个圆柱的体积是，和它等底等高的圆锥的体积是（ ）。 (2)一个圆锥的体积是，和它等底等高的圆柱的体积是（ ）。 【答案】(1) (2) 【解析】(1)和圆柱等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以该圆锥的体积为。 (2)和圆锥等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的倍，所以该圆柱的体积为。 即时练习1 如果一个圆柱的体积是，那么和它等底等高的圆锥的体积是（ ）。如果一个圆锥的体积是，那么和它等底等高的圆柱的体积是（ ）。 即时练习2 如果一个圆柱的体积是，那么与它等底等高的圆锥的体积是（ ）；如果一个圆锥的体积是，那么与它等底等高的圆柱的体积是（ ）。 （体积和差倍关系） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差，圆柱的体积是      ，圆锥的体积是      。 【答案】立方厘米；立方厘米 【解析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍，所以等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积大（ ）倍，已知体积相差，则圆锥体积为（立方厘米），圆柱体积为（立方厘米）。 即时练习1 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多，圆柱的体积是（ ）。 即时练习2 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积之和是立方厘米，圆锥体积是（ ）立方厘米。 即时练习3 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差立方厘米，这个圆锥的体积是（ ）。 A.平方厘米 B.立方厘米 C.立方厘米 D.立方厘米 （等底等高体积差） 一个圆锥的底面积是，高是，这个圆锥的体积是（ ），它的体积比与它等底等高的圆柱体积少（ ）。 【答案】； 【总结】对于等底等高的圆柱和圆锥，根据圆柱体积公式 （其中是底面积，是高），圆锥体积公式，可得等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积差就是圆锥体积的2倍，即柱锥－。 即时练习1 一个圆锥的底面直径是厘米，高是厘米，这个圆锥的体积是（ ）立方厘米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 即时练习2 一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆锥的体积是立方厘米，圆柱的体积比圆锥的体积多(    )立方厘米。 考点九：等体积等高圆柱与圆锥底面积关系 在体积和高都相等的情况下，圆锥底面积是圆柱底面积的 3 倍，已知圆柱底面积求圆锥底面积，或者反之。考查对圆柱和圆锥体积关系的深入理解，考试出现频率较高。 一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面周长是分米，那么圆锥的底面积是(    )平方分米。 【答案】 【解析】如果圆柱和圆锥的体积和高分别相等，那么圆锥的底面积应是圆柱底面积的倍，据此先求出圆柱的底面积，然后乘就可以求出圆锥的底面积是多少平方分米。 即时练习1 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，如果圆柱的底面积是，那么圆锥的底面积是（ ）。 A. B. C. D. 即时练习2 一个圆柱和一个圆锥等体积等高，圆锥的底面积是，圆柱的底面积是（ ）。 即时练习3 一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，圆柱的底面积是，圆锥的底面积是（ ）。 A. B. C. 考点十：等体积等底面积圆柱与圆锥高的关系 当体积和底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的 3 倍，已知圆柱高求圆锥高，或者反之。同样是对体积关系的考查，考试中常出现。 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是，圆柱的高是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据圆柱与圆锥的关系，一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是，则圆柱的高是圆锥高的，所以圆柱的高是，故选。 即时练习1 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积也相等，已知圆锥的高是，圆柱的高是（ ）。 即时练习2 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积也相等。圆柱的高是厘米，圆锥的高是(   )厘米。 综合变化类（考点十一到考点十二） 考点十一：体积变化问题 根据圆锥半径、高的变化，利用圆锥体积公式 分析体积变化情况。需要学生具备一定的分析推理能力，考试出现频率一般。 成倍变化 例题1：一个圆锥底面半径为 3 厘米，高为 5 厘米，若底面半径变为 6 厘米，高不变，求变化后的体积是原来体积的几倍？ 【答案】：原来圆锥体积立方厘米，变化后圆锥体积立方厘米，倍。 【解析】：根据圆锥体积公式，分别计算变化前后体积，再求倍数关系。这里半径从 3 厘米变为 6 厘米，是原来的 2 倍，高不变，根据体积公式可知，当高不变，半径变为原来的倍时，体积变为原来的倍，即体积变为原来的倍 。 【总结】：当高不变，半径变为原来的倍时，体积变为原来的倍。计算时要牢记公式，准确代入数据，即便半径不是成倍变化，也可直接代入公式计算体积来对比分析。 即时练习1 圆锥高为 8 厘米，底面半径 4 厘米，高变为 16 厘米，半径不变，体积变为原来的几倍？ 即时练习2 圆锥高 10 厘米，半径 3 厘米，高减少到 5 厘米，半径增加到 6 厘米，体积变化情况？ 非成倍变化 例题2：圆锥原本半径是 4 厘米，高为 9 厘米，之后半径变为 5 厘米，高变为 7 厘米，变化后的体积是原来体积的多少倍？ 答案：原来体积立方厘米，变化后体积立方厘米。，体积变为原来的倍。 解析：直接根据圆锥体积公式分别算出变化前后的体积，然后通过除法运算得出体积的变化倍数。这里半径和高都不是成倍变化，只能依靠公式准确计算。 总结：当半径和高非成倍变化时，直接利用圆锥体积公式计算是最可靠的方法，计算过程中要注意数据的准确性和运算顺序。 即时练习1 圆锥初始半径为 3.5 厘米，高是 8 厘米，变化后半径为 2.8 厘米，高为 10 厘米，变化后的体积比原来体积减少了多少（用百分数表示）？ 即时练习2 一个圆锥原来半径 6 厘米，高 5 厘米，半径变为 7 厘米，高变为 4 厘米，变化后的体积比原来体积增多了多少立方厘米？ 考点十二：圆锥体积比问题（半径、高成比例） 当圆锥的半径或高成一定比例时，根据圆锥体积公式 分析体积之间的比例关系。考查对公式的灵活运用和比例知识的结合，考试频率不高。 已知两个圆锥半径比为 3:5，高比为 2:7，求它们的体积比是多少？ 【答案】：设两个圆锥半径分别为和，高分别为和。 ，。 。 【解析】：根据圆锥体积公式，设出半径和高的参数，分别计算出两个圆锥体积，再求体积比。 【总结】：遇到已知半径比和高比求体积比的问题，通过设参数，利用圆锥体积公式计算是常用方法，注意计算过程中不要出错。 即时练习1 两个圆锥体积比为 4:9，半径比为 2:3，求它们高的比是多少？ 即时练习2 若两个圆锥半径比为 1:4，高比为 5:3，它们的体积比是多少？ 实际应用类（考点十三到考点十四） 考点十三：根据圆锥体积解决实际应用问题（沙堆、谷堆等） 将实际场景中的沙堆、谷堆等近似看成圆锥，测量相关数据（如底面半径、高），运用圆锥体积公式计算体积。体现数学知识与生活实际的联系，考试中常出现。 一辆货车的车厢是一个长方体，从里面量长5.2m，宽2.3m，高1.2m。车厢里面装满沙子，卸下后堆成了一个高1.2 m的圆锥形沙堆。沙堆的底面积是多少平方米？ 【答案】解：5.2×2.3×1.2×3÷1.2 =5.2×2.3×3 =35.88(m2)； 答：沙堆的底面积是35.88平方米。 【分析】圆锥形沙堆的体积等于长方体的体积，根据长方体的体积公式=长×宽×高，求得沙堆的体积，根据圆锥的体积公式＝底面积×高÷3，求出沙堆的底面积。 即时练习1 一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是25.12米，高3米，每立方米谷重1.5吨，这堆谷共重多少吨？ 即时练习2 如图，在墙角有一堆沙，呈 圆锥形，沙堆的顶点在两墙面的交界线上。沙堆底面是扇形，弧长是3.14m，沙堆高0.9m，沙堆的体积是多少? 考点十四：简单工程应用题 如运送圆锥形物体，根据每次运载量和圆锥体积，计算所需运送次数。考查运用数学知识解决实际工程问题的能力，考试频率一般。 一堆圆锥形的沙子，底面周长是12.56米，高1.5米，现用一辆微型货车来装运，每次运1.57立方米。几次可以运完? 【答案】解：12.56÷3.14÷2=2（米） 2×2×3.14×1.5×=6.28（立方米） 6.28÷1.57=4（次） 答：4次可以运完。 【分析】运的次数=总量÷每次运的量，该题中，总量为圆锥形的沙子的体积，即为V=h。 即时练习1 一个圆锥形沙堆，底面直径是6米，高是2.5米。用一辆载重8吨的汽车去运，几次可以运完？（每立方米沙约重1.8吨） 即时练习2 一个圆锥形沙堆，它的占地面积是18m2，高是1.2m，每立方米的沙重1.7吨，用载重为2吨的汽车把这堆沙运走，几次才运完？ 综合应用类（考点十五到考点十九） 考点十五：圆锥切割相关问题 分析圆锥沿不同方式切割后，剩余部分或切割部分的体积计算。如沿圆锥的高垂直切割，得到两个半圆锥，计算半圆锥的体积；（此处不出题考查）或者平行于圆锥底面切割，得到一个小圆锥和一个圆台，求小圆锥或圆台的体积。此类问题考查空间想象能力和对体积概念的灵活运用，考试出现频率一般。 把一个底面周长是31.4厘米的圆锥体木料，沿底面直径割开，表面积增加了60平方厘米，这个圆锥体的体积是( ) 立方厘米。 【答案】157 【分析】圆锥体木料沿底面直径竖直剖开，增加了2个三角形，三角形的底就是圆锥体的底面直径，即31.4÷3.14＝10（厘米），每个三角形的面积是60÷2＝30（平方厘米）；三角形的高就是圆锥体的高，三角形的高为30×2÷10＝6（厘米）；所以圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6×，计算即可。 【解析】圆锥体的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米）； 圆锥体的高：60÷2×2÷10 ＝30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） 圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×25×6× ＝157 （立方厘米） 这个圆锥的体积是157立方厘米。 即时练习1 一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加( )平方厘米。 即时练习2 将一个圆锥沿底面直径和高切成形状、大小完全一样的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米。已知圆锥的高为6分米，求原来圆锥的体积。 考点十六：圆锥体积与图形旋转的结合 以直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，根据直角边长度确定圆锥的半径和高，进而计算圆锥体积。考查空间观念和知识迁移能力，考试出现频率一般。 有一块直角三角形硬纸板（如图），分别绕它的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥。请计算较大的圆锥的体积。 【答案】50.24立方厘米 【分析】通过观察图形可知，以直角三角形的直角边（4厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；以直角三角形的直角边（3厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，然后进行比较即可。 【解析】 （立方厘米） （立方厘米） 答：较大的圆锥的体积50.24立方厘米。 即时练习1 如图，将直角三角形以直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米，如果以直角边为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是( )立方厘米。 即时练习2 如图，以直角三角形的斜边为轴旋转一周，得到一个立体图形，你能算出这个立体图形的体积吗？ 即时练习3 以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？ 考点十七：组合体中圆锥体积计算（与圆柱等组合） 在由圆锥和其他立体图形（如圆柱）组成的组合体中，计算圆锥体积，要注意它与其他部分的位置、尺寸关系。考查空间想象能力和体积计算能力，考试出现频率较高。 如图，将这个容器倒过来后，水面的高度是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．11 D．9 【答案】C 【分析】观察图形可知，容器中水的体积＝下面的圆锥的容积＋有水部分的圆柱的容积，圆柱和圆锥的底面积相等。设圆柱和圆锥的底面积是S平方厘米，感觉圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高×，分别用含有字母的式子表示圆柱和圆锥的容积，继而求出水的体积。将这个容器倒过来后，水的体积不变，形状变为底面积为S的圆柱，用水的体积除以S即可求出水面的高度。 【解析】设圆柱和圆锥的底面积是S。 6S×＋（15－6）S ＝2S＋9S ＝11S（平方厘米） 11S÷S＝11（厘米） 则水面的高度是11厘米。 故答案为：C 即时练习1 一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，只有当圆柱底面直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多少？ 即时练习2 从一个圆柱形木块中挖去一个圆锥形木块，如下图，求剩下木块的体积。 考点十八：圆锥浸没物体求体积 把物体浸没在圆锥形容器的液体中，根据液体上升的体积等于物体体积这一原理，结合圆锥体积公式求解。这类题型考查知识的实际应用，在考试中较为常见。 一个长方体玻璃容器长8厘米、宽5厘米、高1分米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个底面半径为2厘米的圆锥形铅锤（如下图）。将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？（π取3） 【答案】5厘米 【分析】根据题意，下降部分的水的体积等于圆锥形铅锤的体积，长方体的体积＝长×宽×高，据此算出铅锤的体积，圆锥的体积＝πr2h，则圆锥的高＝V÷（πr2），据此解答。 【解析】 （立方厘米） （厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是5厘米。 即时练习1 一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有水，水中浸没着一个底面直径为6厘米的圆锥形铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 即时练习2 一个底面直径是10cm的圆柱形容器内装着水。现在把一个底面直径4cm、高6cm的圆锥形铅锤放入水中（完全浸没水中），水面升高了多少厘米？ 即时练习3 有一个底面内直径是20厘米的圆柱形水杯，里面浸没着一个底面半径是6厘米、高是12厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降了多少厘米？ 考点十九：从长方体、正方体或圆中削得圆锥的体积计算 （1）从长方体中削圆锥：要确定最大圆锥的尺寸，需分情况讨论。若以长方体的某个面为圆锥底面，要找到该面中能画出的最大圆作为圆锥底面，圆的直径受限于该面的边长。例如长、宽、高分别为、、（）的长方体，若以长和宽所在面为底面，圆锥底面直径最大为，高为，再根据圆锥体积公式（）计算体积；若以宽和高所在面为底面，圆锥底面直径最大为宽，高为 ，以此类推，通过比较不同情况计算出的体积，确定最大圆锥体积。此类题型考查学生对长方体各面与圆锥底面关系的分析能力，以及空间想象能力，通过分析不同面作为圆锥底面时的尺寸变化，准确计算圆锥体积。 把一块棱长分别为6分米、8分米、10分米的长方体木块切成体积尽可能大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方分米？ 【答案】301.44立方分米 【解析】试题分析：根据长方体切割出最大圆柱的特点可知，有3种切割方法：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高；（2）以6分米为底面直径，10分米为高；（3）以6分米为底面直径，8分米为高；由此利用圆柱的体积公式计算出它们各自的体积，即可求得这个圆柱的最大体积是多少． 解：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高； 体积为：3.14×（）2×6， =301.44（立方分米）； （2）以6分米为底面直径，10分米为高； 3.14×（）2×10， =282.6（立方分米）； （3）以6分米为底面直径，8分米为高； 3.14×（）2×8， =226.08（立方分米）； 答：这个最大圆柱的体积是301.44立方分米． 点评：此题要抓住长方体内切割最大圆柱的方法，得出以上3种不同的切割方法进行计算，得出体积最大的那个圆柱的体积． 即时练习1 一个长方体木块，长、宽、高分别是8厘米，6厘米，10厘米，把它加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？ 即时练习2 把一个横截面为正方形的长方体木块，削成一个最大的圆锥。已知圆锥的底面半径是4厘米，高是6分米，那么削去部分的体积是多少立方厘米？ 即时练习3 一段长方体木料，长、宽、高的比是5∶4∶3，棱长总和是96厘米。把它削成一个尽可能大的圆锥，求这个圆锥的体积。 （2）从正方体中削圆锥：正方体内削出最大圆锥的特点是圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。如棱长为的正方体，圆锥底面半径，高，代入圆锥体积公式即可算出体积。这主要考查学生对正方体与圆锥尺寸对应关系的理解，以及公式的直接运用能力。 一个正方体的木块，它的棱长总和是240厘米，在这个正方体木块里削一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？（画出草图） 【答案】解：如图： 240÷12=20（厘米） 3.14×（20÷2）2×20 =3.14×2000 =6280（立方厘米） 答：削成的圆柱的体积是6280立方厘米． 【解析】先依据正方体的棱长总和的计算方法，用正方体的棱长总和除以12求出正方体的棱长，再据这个最大圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，利用圆柱的体积公式V=π（d÷2）2h即可得解． 即时练习1 一个棱长6cm的正方体，削一个最大的圆锥，削去部分的体积是　 　cm3． 即时练习2 用一个棱长为10分米的正方体，削出一个最大的圆锥体，圆锥的体积是　 　． 即时练习3 把棱长是18厘米的正方体削成一个最大的圆锥体，削下部分的体积是多少立方厘米？ （3）从圆柱中削圆锥：当把圆柱削成最大圆锥时，圆柱和圆锥等底等高。根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的倍这一关系，若已知圆柱体积，可直接求出圆锥体积为圆柱体积的；若已知削去部分体积，因为削去部分体积是圆锥体积的倍，所以可通过削去部分体积求出圆锥体积。这类题型考查学生对圆柱与圆锥体积倍数关系的掌握，以及在实际计算中的灵活运用能力。 把一个75.36立方厘米的圆柱体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米，削去的体积是( )立方厘米，削去了圆柱体积的( )%。 【答案】 25.12 50.24 66.7 【分析】根据题意可知，圆柱与圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱体积的 ；削去的体积是圆锥体积的2倍，用圆锥的体积×2即可；如果把圆柱的体积看作3份，则削去的是2份，用2÷3即可。 【解析】圆锥的体积：75.36×＝25.12（立方厘米）； 削去的体积：25.12×2＝50.24（立方厘米）； 削去了圆柱体积的2÷3≈66.7%。 即时练习1 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去了40cm3，原来圆柱的体积是　 　． 即时练习2 把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，体积减少了 90立方厘 米，那么削出的这个最大圆锥体体积 是　 　立方厘米． 即时练习3 一个圆柱的侧面积是251.2平方厘米，底面半径是2分米，把它削成最大的圆锥，削去了多少立方厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏教版六年级数学下册同步精讲 第二单元 圆柱和圆锥（2）圆锥的体积 内容导航 · 知识梳理 2 · 考点精讲 3 基础计算类 · 考点一：圆锥体积公式的推导理解 3 · 考点二：已知半径和高求体积 3 · 考点三：已知直径和高求体积 4 · 考点四：已知周长和高求体积 5 逆向求解类 · 考点五：已知体积和半径求高 6 · 考点六：已知体积和直径求高 6 · 考点七：已知体积和周长求高 7 关系应用类 · 考点八：等底等高圆柱与圆锥体积关系 9 · 考点九：等体积等高圆柱与圆锥底面积关系 11 · 考点十：等体积等底面积圆柱与圆锥高的关系 11 综合变化类 · 考点十一：体积变化问题 12 · 考点十二：圆锥体积比问题（半径、高成比例） 14 实际应用类 · 考点十三：根据圆锥体积解决实际应用问题（沙堆、谷堆等） 15 · 考点十四：简单工程应用题 17 综合应用类 · 考点十五：圆锥切割相关问题 18 · 考点十六：圆锥体积与图形旋转的结合 20 · 考点十七：组合体中圆锥体积计算（与圆柱等组合） 23 · 考点十八：圆锥浸没物体求体积 25 · 考点十九：从长方体、正方体或圆中削得圆锥的体积计算 28 知识梳理 1.圆锥的基本概念 定义：圆锥是一种几何图形，由一个圆面（底面）和一个曲面（侧面）围成，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 2.圆锥的图形特征 圆锥的底面是一个圆，底面的大小由半径决定。 侧面展开是一个扇形。 3.圆锥的体积公式 （1）公式推导 实验法：通过将圆锥容器装满水或沙子，倒入等底等高的圆柱容器中，发现三次正好倒满，从而得出圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的。 数学推导：圆锥可以看作是由一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周所形成的立体图形。根据圆锥和圆柱的体积关系，通过数学计算得出圆锥体积公式，其中是圆锥的底面积，是圆锥的高。 （2）公式表达 用字母表示为，其中表示圆锥的体积，是圆锥的底面积，是圆锥的高。 由于圆的面积公式为（其中为底面半径），所以圆锥体积公式也可以写成。 考点精讲 基础计算类（考点一到考点四） 考点一：圆锥体积公式的推导理解 通过实验或几何推理，理解圆锥体积公式 的来源 根据下图的提示，简要写出圆锥的体积公式的推导过程。 【答案】等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器，用圆锥形容器装满沙子，倒入圆柱形容器内，倒次正好把圆柱形容器装满。所以等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的倍，圆锥的体积是圆柱体积的。(合理即可) 即时练习1 在推导圆锥的体积公式时，小林将圆柱形容器装满水后，倒入等底等高的圆锥形容器中，倒满后，发现圆柱形容器中还剩水。若容器厚度忽略不计，这个圆锥形容器的容积是(   )。 A. B. C. D. 【答案】A 考点二：已知半径和高求体积 直接使用圆锥体积公式 ，将给定的半径 与高 代入公式求解。这是最基础的题型，是对圆锥体积公式的直接应用，在单元测试、期末考试中频繁出现 。 一个圆锥的底面半径是厘米，高是厘米，这个圆锥的底面周长是(    )厘米，体积是(    )立方厘米。 【答案】； 【解析】使用圆锥体积公式 ，将给定的半径 与高 代入公式求解。 即时练习1 一个圆锥的底面半径是，高是，体积是（ ）。 【答案】 即时练习2 一个圆锥的底面半径是，高是，它的体积是（ ）。 【答案】 即时练习3 一个圆锥，底面半径是，高是，它的体积是（ ）。 【答案】 考点三：已知直径和高求体积 先根据直径 算出半径 ，再代入圆锥体积公式 进行计算。由于直径是常见的已知条件，这类题型考查频率也很高。 一个圆锥的底面直径和高都是，它的体积是      。 【答案】 【解析】直径 算出半径 ，再代入圆锥体积公式 进行计算，圆锥的体积，。 即时练习1 底面直径是分米，高是分米，求圆锥的体积。 【答案】（分米） ‍ ‍ ‍ ‍（立方分米） 答：这个圆锥体积是立方分米。 【解析】 即时练习2 一个圆锥形沙堆，它的底面直径是，高，它的体积是      立方分米． 【答案】 【解析】×（）‍（立方米） 答：它的体积是立方分米． 由此可得答案为：． 考点四：已知周长和高求体积 由圆的周长公式 得出半径 ，然后将 和高 代入圆锥体积公式 算出体积。该题型涉及周长公式与体积公式的结合，在考试中出现频率适中。 已知圆柱底面的直径或者底面的周长和高，该怎么求圆柱的体积呢？ ‍ ‍ 【答案】；；； 即时练习1 一个圆锥的底面周长是，高是底面半径的倍，这个圆锥的体积是(     )。 【答案】 即时练习2 一个圆锥的底面周长是，高是，它的体积是（ ）。 【答案】 逆向求解类（考点五到考点七） 考点五：已知体积和半径求高 将圆锥体积公式 变形为 ，把已知的体积 和半径 代入此公式求出高 。考查对公式的逆向运用，在各类考试中较为常见。 一个圆锥的底面半径是厘米，体积是立方厘米，这个圆锥的高是     厘米． 【答案】 【解析】（） ‍ ‍（厘米）， 答：这个圆锥的高是厘米． 由此可得答案为：． 即时练习1 一个圆锥的底面半径是，体积是，这个圆锥的高是（）。 【答案】 考点六：已知体积和直径求高 先根据直径 求出半径 ，再把体积公式变形为 ，代入已知的体积 和求出的半径 ，从而得到高 。比已知体积和半径求高多一步求半径的过程，考试出现频率中等。 一个圆锥体的体积是，底面直径是，那么它的高是(   )。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆锥体积，所以体积。 ‍ ‍ ‍ ‍ ‍（） 故选。 即时练习1 一个圆锥的体积，底面直径，它的高(    )。 A. B. C. D. 【答案】B 即时练习2 一个圆锥的体积是，底面直径是，高是（）。 A. B. C. D. 【答案】B 考点七：已知体积和周长求高 先依据 算出半径 ，再利用 ，代入已知的体积 和半径 ，计算出高 。涉及多个公式的综合运用，难度稍大，考试频率相对较低。 已知一个圆锥的体积是立方厘米，底面周长是厘米，求这个圆锥的高是多少？ 【答案】求底面半径，根据圆的周长公式（是周长，取）， 可得厘米。 根据圆锥体积公式（是体积，是高），则， 把立方厘米，厘米代入可得： 厘米。 【解析】：先根据圆的周长公式，已知周长厘米，，通过变形公式求出半径。 再根据圆锥体积公式，将其变形为，把已知的体积立方厘米和求出的半径厘米代入变形后的公式，从而计算出高。 【总结】遇到已知圆锥体积和底面周长求高的问题，关键是先利用圆的周长公式求出半径，再将半径代入圆锥体积公式的变形公式来计算高。在计算过程中，要注意公式的准确运用以及计算的准确性，特别是在公式变形和代入数据时，避免出现错误。 即时练习1 一个圆锥的体积是，底面周长是。圆锥的高是多少？ 【答案】 ‍ 即时练习2 圆锥的体积是立方分米，底面周长是分米，求该圆锥的高。 【答案】由圆的周长公式（取）求半径， 分米。 根据圆锥体积公式变形求高，， 把立方分米，分米代入得： 分米。 【解析】第一步，根据已知的底面周长分米，利用圆周长公式的变形求出圆锥底面半径。 第二步，依据圆锥体积公式，将其变形为，把已知的体积和求出的半径代入，计算出圆锥的高。 即时练习3（简单的已知体积和高求半径） 一块圆锥形铁块的体积是立方厘米，高是厘米，这块圆锥形铁块的底面半径是(   )厘米。 【答案】 【解析】根据圆锥体积公式，变形可得。 将立方厘米，厘米，代入可得： 因为，所以厘米。 关系应用类（考点八到考点十） 考点八：等底等高圆柱与圆锥体积关系 利用等底等高时，圆柱体积是圆锥体积 3 倍的关系，已知其中一个体积，求另一个体积。是圆锥体积知识的重要应用，在考试中频繁考查。 （直接关系） 完成下列问题 (1)一个圆柱的体积是，和它等底等高的圆锥的体积是（ ）。 (2)一个圆锥的体积是，和它等底等高的圆柱的体积是（ ）。 【答案】(1) (2) 【解析】(1)和圆柱等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以该圆锥的体积为。 (2)和圆锥等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的倍，所以该圆柱的体积为。 即时练习1 如果一个圆柱的体积是，那么和它等底等高的圆锥的体积是（ ）。如果一个圆锥的体积是，那么和它等底等高的圆柱的体积是（ ）。 【答案】； 即时练习2 如果一个圆柱的体积是，那么与它等底等高的圆锥的体积是（ ）；如果一个圆锥的体积是，那么与它等底等高的圆柱的体积是（ ）。 【答案】； （体积和差倍关系） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差，圆柱的体积是      ，圆锥的体积是      。 【答案】立方厘米；立方厘米 【解析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍，所以等底等高的圆柱的体积比圆锥的体积大（ ）倍，已知体积相差，则圆锥体积为（立方厘米），圆柱体积为（立方厘米）。 即时练习1 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多，圆柱的体积是（ ）。 【答案】 即时练习2 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积之和是立方厘米，圆锥体积是（ ）立方厘米。 【答案】 即时练习3 一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差立方厘米，这个圆锥的体积是（ ）。 A.平方厘米 B.立方厘米 C.立方厘米 D.立方厘米 【答案】D （等底等高体积差） 一个圆锥的底面积是，高是，这个圆锥的体积是（ ），它的体积比与它等底等高的圆柱体积少（ ）。 【答案】； 【总结】对于等底等高的圆柱和圆锥，根据圆柱体积公式 （其中是底面积，是高），圆锥体积公式，可得等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积差就是圆锥体积的2倍，即柱锥－。 即时练习1 一个圆锥的底面直径是厘米，高是厘米，这个圆锥的体积是（ ）立方厘米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【答案】； 即时练习2 一个圆柱与一个圆锥等底等高，圆锥的体积是立方厘米，圆柱的体积比圆锥的体积多(    )立方厘米。 【答案】 考点九：等体积等高圆柱与圆锥底面积关系 在体积和高都相等的情况下，圆锥底面积是圆柱底面积的 3 倍，已知圆柱底面积求圆锥底面积，或者反之。考查对圆柱和圆锥体积关系的深入理解，考试出现频率较高。 一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面周长是分米，那么圆锥的底面积是(    )平方分米。 【答案】 【解析】如果圆柱和圆锥的体积和高分别相等，那么圆锥的底面积应是圆柱底面积的倍，据此先求出圆柱的底面积，然后乘就可以求出圆锥的底面积是多少平方分米。 即时练习1 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，如果圆柱的底面积是，那么圆锥的底面积是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据圆锥的体积底面积高，由题意可知，圆柱和圆锥的体积相等，高也相等，那么圆锥的底面积圆柱的底面积，即，故选。 即时练习2 一个圆柱和一个圆锥等体积等高，圆锥的底面积是，圆柱的底面积是（ ）。 【答案】 【解析】如果圆柱和圆锥等体积等高，那么圆锥的底面积是圆柱的底面积的倍。 即时练习3 一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，圆柱的底面积是，圆锥的底面积是（ ）。 A. B. C. 【答案】C 考点十：等体积等底面积圆柱与圆锥高的关系 当体积和底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的 3 倍，已知圆柱高求圆锥高，或者反之。同样是对体积关系的考查，考试中常出现。 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是，圆柱的高是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据圆柱与圆锥的关系，一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是，则圆柱的高是圆锥高的，所以圆柱的高是，故选。 即时练习1 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积也相等，已知圆锥的高是，圆柱的高是（ ）。 【答案】 即时练习2 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，体积也相等。圆柱的高是厘米，圆锥的高是(   )厘米。 【答案】 综合变化类（考点十一到考点十二） 考点十一：体积变化问题 根据圆锥半径、高的变化，利用圆锥体积公式 分析体积变化情况。需要学生具备一定的分析推理能力，考试出现频率一般。 成倍变化 例题1：一个圆锥底面半径为 3 厘米，高为 5 厘米，若底面半径变为 6 厘米，高不变，求变化后的体积是原来体积的几倍？ 【答案】：原来圆锥体积立方厘米，变化后圆锥体积立方厘米，倍。 【解析】：根据圆锥体积公式，分别计算变化前后体积，再求倍数关系。这里半径从 3 厘米变为 6 厘米，是原来的 2 倍，高不变，根据体积公式可知，当高不变，半径变为原来的倍时，体积变为原来的倍，即体积变为原来的倍 。 【总结】：当高不变，半径变为原来的倍时，体积变为原来的倍。计算时要牢记公式，准确代入数据，即便半径不是成倍变化，也可直接代入公式计算体积来对比分析。 即时练习1 圆锥高为 8 厘米，底面半径 4 厘米，高变为 16 厘米，半径不变，体积变为原来的几倍？ 【答案】：原来体积立方厘米，变化后体积立方厘米，倍。 【解析】：运用圆锥体积公式，分别算出前后体积作比。此时半径不变，高从 8 厘米变为 16 厘米，变为原来的 2 倍，根据公式，半径不变，高变为原来倍，体积变为原来倍 。 【总结】：半径不变，高变为原来倍，体积变为原来倍。计算过程中要注意公式中各项的对应关系，若高不是成倍变化，依旧用公式计算体积进行比较。 即时练习2 圆锥高 10 厘米，半径 3 厘米，高减少到 5 厘米，半径增加到 6 厘米，体积变化情况？ 【答案】：立方厘米，立方厘米，体积变为原来 2 倍。 【解析】：按公式计算原体积和变化后体积，分析变化。从倍数角度分析，半径变为原来的 2 倍，体积变为原来的倍；高变为原来的，体积变为之前的，，所以体积变为原来的 2 倍。 【总结】：综合考虑半径和高的变化时，既可以通过公式准确计算体积，也能依据它们的变化倍数来判断体积变化，关键是要清晰把握公式中各变量与体积的关联。 非成倍变化 例题2：圆锥原本半径是 4 厘米，高为 9 厘米，之后半径变为 5 厘米，高变为 7 厘米，变化后的体积是原来体积的多少倍？ 答案：原来体积立方厘米，变化后体积立方厘米。，体积变为原来的倍。 解析：直接根据圆锥体积公式分别算出变化前后的体积，然后通过除法运算得出体积的变化倍数。这里半径和高都不是成倍变化，只能依靠公式准确计算。 总结：当半径和高非成倍变化时，直接利用圆锥体积公式计算是最可靠的方法，计算过程中要注意数据的准确性和运算顺序。 即时练习1 圆锥初始半径为 3.5 厘米，高是 8 厘米，变化后半径为 2.8 厘米，高为 10 厘米，变化后的体积比原来体积减少了多少（用百分数表示）？ 【答案】：立方厘米，立方厘米。 减少的体积为立方厘米， 减少的比例为。 【解析】：先根据圆锥体积公式分别求出变化前后的体积，再计算体积差，最后通过体积差与原体积的比值求出减少的百分数。由于半径和高的变化无整数倍关系，只能严格遵循公式计算。 【总结】：遇到小数形式的半径和高变化，更要细心运用公式计算，不能通过简单的倍数关系判断，精确计算才能得出正确的体积变化结果。 即时练习2 一个圆锥原来半径 6 厘米，高 5 厘米，半径变为 7 厘米，高变为 4 厘米，变化后的体积比原来体积增多了多少立方厘米？ 【答案】：原来体积立方厘米，变化后体积立方厘米。增多的体积为立方厘米。 【解析】：根据圆锥体积公式，分别计算出变化前后的体积，然后用变化后的体积减去原来的体积，得到增多的体积。在半径和高非成倍变化时，准确应用公式计算是关键。 【总结】：只要涉及圆锥半径和高的变化，无论是否成倍变化，依据圆锥体积公式进行精确计算，是分析体积变化的核心方法，计算过程要保证数据准确无误。 考点十二：圆锥体积比问题（半径、高成比例） 当圆锥的半径或高成一定比例时，根据圆锥体积公式 分析体积之间的比例关系。考查对公式的灵活运用和比例知识的结合，考试频率不高。 已知两个圆锥半径比为 3:5，高比为 2:7，求它们的体积比是多少？ 【答案】：设两个圆锥半径分别为和，高分别为和。 ，。 。 【解析】：根据圆锥体积公式，设出半径和高的参数，分别计算出两个圆锥体积，再求体积比。 【总结】：遇到已知半径比和高比求体积比的问题，通过设参数，利用圆锥体积公式计算是常用方法，注意计算过程中不要出错。 即时练习1 两个圆锥体积比为 4:9，半径比为 2:3，求它们高的比是多少？ 【答案】：设两个圆锥半径分别为和，高分别为和。 ，。 因为，即，化简可得，所以。 【解析】：先设出半径和高的参数，根据体积公式表示出两个圆锥体积，再由已知体积比列出等式，通过化简求解高的比。 【总结】：已知体积比和半径比求高比，关键是根据圆锥体积公式建立等式关系，然后进行化简求解，注意公式的正确运用和化简过程。 即时练习2 若两个圆锥半径比为 1:4，高比为 5:3，它们的体积比是多少？ 【答案】：设两个圆锥半径分别为和，高分别为和。 ，。 。 【解析】：利用圆锥体积公式，设出相关参数，分别计算体积后求比值。 【总结】：此类问题通过设参数，将比例关系转化为具体数值代入公式计算，是求解体积比的有效途径，计算时要注意各项系数的运算。 实际应用类（考点十三到考点十四） 考点十三：根据圆锥体积解决实际应用问题（沙堆、谷堆等） 将实际场景中的沙堆、谷堆等近似看成圆锥，测量相关数据（如底面半径、高），运用圆锥体积公式计算体积。体现数学知识与生活实际的联系，考试中常出现。 一辆货车的车厢是一个长方体，从里面量长5.2m，宽2.3m，高1.2m。车厢里面装满沙子，卸下后堆成了一个高1.2 m的圆锥形沙堆。沙堆的底面积是多少平方米？ 【答案】解：5.2×2.3×1.2×3÷1.2 =5.2×2.3×3 =35.88(m2)； 答：沙堆的底面积是35.88平方米。 【分析】圆锥形沙堆的体积等于长方体的体积，根据长方体的体积公式=长×宽×高，求得沙堆的体积，根据圆锥的体积公式＝底面积×高÷3，求出沙堆的底面积。 即时练习1 一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是25.12米，高3米，每立方米谷重1.5吨，这堆谷共重多少吨？ 【答案】解：圆锥的底面半径：25.12÷3.14÷2 =8÷2 =4(米)； 圆锥的体积：3.14×42×3 =3.14×16×3 =150.72(立方米)； 这堆谷重：150.72×1.5=226.08(吨) 答：这堆谷重226.08吨。 【分析】要想求这堆谷共重多少吨，需要先求出圆锥形谷堆的体积，再乘1.5即可；圆锥的体积=底面积×高×；据此解答。 即时练习2 如图，在墙角有一堆沙，呈 圆锥形，沙堆的顶点在两墙面的交界线上。沙堆底面是扇形，弧长是3.14m，沙堆高0.9m，沙堆的体积是多少? 【答案】0.942m3 【解析】求半径： 已知弧长米，因为该弧长是整圆周长的，所以整圆周长米。 根据圆的周长公式，可得。 解方程：两边同时除以，米。 求圆锥底面积： 圆锥底面是半径为米的圆的。 根据圆的面积公式，可得底面积 计算得平方米。 求沙堆体积： 根据圆锥体积公式（是底面积，是高），这里平方米，米。 则立方米。 积，再结合圆锥体积公式求解。解题时需注意墙角这一特殊位置对圆锥底面的影响。 【分析】利用特殊角度对应的弧长与半径关系来简化计算。墙角处圆锥底面扇形圆心角是，也就是个圆 ，其弧长是对应整圆周长的。 考点十四：简单工程应用题 如运送圆锥形物体，根据每次运载量和圆锥体积，计算所需运送次数。考查运用数学知识解决实际工程问题的能力，考试频率一般。 一堆圆锥形的沙子，底面周长是12.56米，高1.5米，现用一辆微型货车来装运，每次运1.57立方米。几次可以运完? 【答案】解：12.56÷3.14÷2=2（米） 2×2×3.14×1.5×=6.28（立方米） 6.28÷1.57=4（次） 答：4次可以运完。 【分析】运的次数=总量÷每次运的量，该题中，总量为圆锥形的沙子的体积，即为V=h。 即时练习1 一个圆锥形沙堆，底面直径是6米，高是2.5米。用一辆载重8吨的汽车去运，几次可以运完？（每立方米沙约重1.8吨） 【答案】解：底面半径=6÷2=3（米） 沙堆体积：3.14×3×3×2.5÷3 =28.26×2.5÷3 =23.55（立方米） 沙堆质量：23.55×1.8=42.39（吨） 运的次数：42.39÷8≈6（次） 答：6次可以运完。 【分析】π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积；圆锥的体积×每立方米沙重=这堆沙子的质量，这堆沙子的质量÷汽车运1次的质量，商采取进一法得到的整数就是运完需要的次数。 即时练习2 一个圆锥形沙堆，它的占地面积是18m2，高是1.2m，每立方米的沙重1.7吨，用载重为2吨的汽车把这堆沙运走，几次才运完？ 【答案】解：18×1.2÷3×1.7÷2 =21.6÷3×1.7÷2 =7.2×1.7÷2 =12.24÷2 ≈7（次） 答：7次才能运完。 【分析】需要运的次数=沙子的总吨数÷平均每次运的吨数；其中，沙子的总吨数=圆锥的体积×平均每立方米的沙重；圆锥的体积=底面积×高÷3。 综合应用类（考点十五到考点十九） 考点十五：圆锥切割相关问题 分析圆锥沿不同方式切割后，剩余部分或切割部分的体积计算。如沿圆锥的高垂直切割，得到两个半圆锥，计算半圆锥的体积；（此处不出题考查）或者平行于圆锥底面切割，得到一个小圆锥和一个圆台，求小圆锥或圆台的体积。此类问题考查空间想象能力和对体积概念的灵活运用，考试出现频率一般。 把一个底面周长是31.4厘米的圆锥体木料，沿底面直径割开，表面积增加了60平方厘米，这个圆锥体的体积是( ) 立方厘米。 【答案】157 【分析】圆锥体木料沿底面直径竖直剖开，增加了2个三角形，三角形的底就是圆锥体的底面直径，即31.4÷3.14＝10（厘米），每个三角形的面积是60÷2＝30（平方厘米）；三角形的高就是圆锥体的高，三角形的高为30×2÷10＝6（厘米）；所以圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6×，计算即可。 【解析】圆锥体的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米）； 圆锥体的高：60÷2×2÷10 ＝30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） 圆锥体的体积是：3.14×（10÷2）2×6× ＝3.14×25×6× ＝157 （立方厘米） 这个圆锥的体积是157立方厘米。 即时练习1 一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加( )平方厘米。 【答案】60 【分析】从圆锥的顶点沿着高将它切成两半，切面是两个相等的等腰三角形，这个等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，据此作答即可。 【解析】6×2×5÷2×2 ＝12×5÷2×2 ＝60（平方厘米） 所以表面积增加60平方厘米。 即时练习2 将一个圆锥沿底面直径和高切成形状、大小完全一样的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米。已知圆锥的高为6分米，求原来圆锥的体积。 【答案】100.48立方分米 【分析】根据题意，48÷2＝24（平方厘米），增加了两个切面，一个面的面积是24平方厘米，因为切面是三角形，圆锥的底面直径和高就是三角形的底和高，根据三角形面积公式，三角形的底即圆锥的底面直径是24×2÷6＝8（厘米），然后根据圆锥体积公式，即可解决问题。 【解析】一个切面的面积：48÷2＝24（平方厘米） 圆锥的底面直径：24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（厘米） 圆锥的体积：×3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 答：原来圆锥的体积是100.48立方厘米。 考点十六：圆锥体积与图形旋转的结合 以直角三角形绕直角边旋转形成圆锥，根据直角边长度确定圆锥的半径和高，进而计算圆锥体积。考查空间观念和知识迁移能力，考试出现频率一般。 有一块直角三角形硬纸板（如图），分别绕它的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥。请计算较大的圆锥的体积。 【答案】50.24立方厘米 【分析】通过观察图形可知，以直角三角形的直角边（4厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；以直角三角形的直角边（3厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥；根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，然后进行比较即可。 【解析】 （立方厘米） （立方厘米） 答：较大的圆锥的体积50.24立方厘米。 即时练习1 如图，将直角三角形以直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是( )立方厘米，如果以直角边为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是( )立方厘米。 【答案】 37.68 50.24 【分析】根据圆锥的特征可知，将直角三角形以直角边为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；如果以直角边为轴旋转一周，得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解析】 （立方厘米） （立方厘米） 将直角三角形以直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。 即时练习2 如图，以直角三角形的斜边为轴旋转一周，得到一个立体图形，你能算出这个立体图形的体积吗？ 【答案】241.152立方厘米 【分析】 观察图形可知，以斜边为轴旋转一周，得到的立体图形是上下两个圆锥体，是一个底面半径是（8×6÷2×2÷10）厘米，高的和是10厘米，由此利用圆锥的体积＝πr2h，求出两个圆锥的体积再相加，即可解答。 【解析】 底面半径：8×6÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10 ＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） 体积： ＝×3.14×23.04×10 ＝×72.3456×10 ＝24.1152×10 ＝241.152（立方厘米） 答：这个立体图形的体积241.152立方厘米。 即时练习3 以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？ 【答案】113.04立方厘米 【分析】旋转体的下边是个圆柱，上边是个圆锥，圆柱底面半径3厘米，高3厘米，圆锥底面半径3厘米，高（6－3）厘米，根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，将圆柱和圆锥体积相加即可。 【解析】3.14×32×3＋3.14×32×（6－3）÷3 ＝3.14×9×3＋3.14×9×3÷3 ＝84.78＋28.26 ＝113.04（立方厘米） 答：它的体积是113.04立方厘米。 考点十七：组合体中圆锥体积计算（与圆柱等组合） 在由圆锥和其他立体图形（如圆柱）组成的组合体中，计算圆锥体积，要注意它与其他部分的位置、尺寸关系。考查空间想象能力和体积计算能力，考试出现频率较高。 如图，将这个容器倒过来后，水面的高度是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．11 D．9 【答案】C 【分析】观察图形可知，容器中水的体积＝下面的圆锥的容积＋有水部分的圆柱的容积，圆柱和圆锥的底面积相等。设圆柱和圆锥的底面积是S平方厘米，感觉圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高×，分别用含有字母的式子表示圆柱和圆锥的容积，继而求出水的体积。将这个容器倒过来后，水的体积不变，形状变为底面积为S的圆柱，用水的体积除以S即可求出水面的高度。 【解析】设圆柱和圆锥的底面积是S。 6S×＋（15－6）S ＝2S＋9S ＝11S（平方厘米） 11S÷S＝11（厘米） 则水面的高度是11厘米。 故答案为：C 即时练习1 一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，只有当圆柱底面直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多少？ 【答案】35.325立方厘米 【分析】圆锥的高是圆柱高的，则圆锥的高为4×＝3厘米；圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高÷3，根据圆柱和圆锥的体积计算公式求出它们的体积和即可。 【解析】底面半径：3÷2＝1.5（厘米） 圆柱的体积： 3.14×1.52×4 ＝3.14×2.25×4 ＝7.065×4 ＝28.26（立方厘米） 圆锥的高：4×＝3（厘米） 3.14×1.52×3÷3 ＝3.14×2.25×3÷3 ＝7.065×3÷3 ＝21.195÷3 ＝7.065（立方厘米） 28.26＋7.065＝35.325（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是35.325立方厘米。 即时练习2 从一个圆柱形木块中挖去一个圆锥形木块，如下图，求剩下木块的体积。 【答案】178.98立方分米 【分析】用圆柱的体积减去挖去的圆锥的体积，即可求出剩下木块的体积。圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h。据此解答。 【解析】3.14×32×8－3.14×32×5× ＝3.14×9×8－3.14×9×5× ＝3.14×72－3.14×15 ＝226.08－47.1 ＝178.98（立方分米） 答：剩下木块的体积是178.98立方分米。 考点十八：圆锥浸没物体求体积 把物体浸没在圆锥形容器的液体中，根据液体上升的体积等于物体体积这一原理，结合圆锥体积公式求解。这类题型考查知识的实际应用，在考试中较为常见。 一个长方体玻璃容器长8厘米、宽5厘米、高1分米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个底面半径为2厘米的圆锥形铅锤（如下图）。将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？（π取3） 【答案】5厘米 【分析】根据题意，下降部分的水的体积等于圆锥形铅锤的体积，长方体的体积＝长×宽×高，据此算出铅锤的体积，圆锥的体积＝πr2h，则圆锥的高＝V÷（πr2），据此解答。 【解析】 （立方厘米） （厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是5厘米。 即时练习1 一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有水，水中浸没着一个底面直径为6厘米的圆锥形铅锤。把铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意可知，水面下降部分的体积就是圆锥形铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出水面下降部分的体积，也就是圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积×3÷底面积，代入数据，即可解答。 【解析】3.14×62×0.5×3÷[3.14×（6÷2）2] ＝3.14×36×0.5×3÷[3.14×9] ＝113.04×0.5×3÷28.26 ＝56.52 ×3÷28.26 ＝169.56÷28.26 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 即时练习2 一个底面直径是10cm的圆柱形容器内装着水。现在把一个底面直径4cm、高6cm的圆锥形铅锤放入水中（完全浸没水中），水面升高了多少厘米？ 【答案】0.32厘米 【分析】由于铅锤完全浸没水中，水面上升部分的形状相当于一个圆柱形，即水面上升部分的体积就是圆锥形铅锤的体积，利用排水法求体积的公式：物体的体积÷容器的底面积＝水面上升的高度，把数代入即可求解。 【解析】3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×4×6× ＝12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（立方厘米） 25.12÷[3.14×（10÷2）2] ＝25.12÷3.14÷25 ＝8÷25 ＝0.32（厘米） 答：水面升高了0.32厘米。 即时练习3 有一个底面内直径是20厘米的圆柱形水杯，里面浸没着一个底面半径是6厘米、高是12厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降了多少厘米？ 【答案】1.44厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出铅锤的体积。铅锤的体积等于下降的水的体积。圆柱的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用圆锥的体积除以圆柱的底面积即可。 【解析】×3.14×62×12÷[3.14×（20÷2）2] ＝×3.14×36×12÷[3.14×100] ＝452.16÷314 ＝1.44（厘米） 答：杯里的水下降了1.44厘米。 考点十九：从长方体、正方体或圆中削得圆锥的体积计算 （1）从长方体中削圆锥：要确定最大圆锥的尺寸，需分情况讨论。若以长方体的某个面为圆锥底面，要找到该面中能画出的最大圆作为圆锥底面，圆的直径受限于该面的边长。例如长、宽、高分别为、、（）的长方体，若以长和宽所在面为底面，圆锥底面直径最大为，高为，再根据圆锥体积公式（）计算体积；若以宽和高所在面为底面，圆锥底面直径最大为宽，高为 ，以此类推，通过比较不同情况计算出的体积，确定最大圆锥体积。此类题型考查学生对长方体各面与圆锥底面关系的分析能力，以及空间想象能力，通过分析不同面作为圆锥底面时的尺寸变化，准确计算圆锥体积。 把一块棱长分别为6分米、8分米、10分米的长方体木块切成体积尽可能大的圆锥，则这个圆锥的体积是多少立方分米？ 【答案】301.44立方分米 【解析】试题分析：根据长方体切割出最大圆柱的特点可知，有3种切割方法：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高；（2）以6分米为底面直径，10分米为高；（3）以6分米为底面直径，8分米为高；由此利用圆柱的体积公式计算出它们各自的体积，即可求得这个圆柱的最大体积是多少． 解：（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高； 体积为：3.14×（）2×6， =3.14×16×6， =301.44（立方分米）； （2）以6分米为底面直径，10分米为高； 3.14×（）2×10， =3.14×9×10， =282.6（立方分米）； （3）以6分米为底面直径，8分米为高； 3.14×（）2×8， =3.14×9×8， =226.08（立方分米）； 答：这个最大圆柱的体积是301.44立方分米． 点评：此题要抓住长方体内切割最大圆柱的方法，得出以上3种不同的切割方法进行计算，得出体积最大的那个圆柱的体积． 即时练习1 一个长方体木块，长、宽、高分别是8厘米，6厘米，10厘米，把它加工成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？ 【答案】100.48立方厘米 【解析】试题分析：根据长方体内最大的圆锥的特点，这个长方体内最大的圆锥的底面直径是8厘米，高是6厘米；由此利用圆锥的体积公式即可解答． 解：×3.14××6， =3.14×16×2， =100.48（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是100.48立方厘米． 点评：此题考查了圆锥的体积公式的计算应用，关键是抓住长方体内最大的圆锥的特点进行解答． 即时练习2 把一个横截面为正方形的长方体木块，削成一个最大的圆锥。已知圆锥的底面半径是4厘米，高是6分米，那么削去部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】2835.2立方厘米 【分析】根据题意可知，长方体的底面边长等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，用长方体的体积减圆锥的体积即可。 【解析】6分米＝60厘米 （4×2）2×60 ＝64×60 ＝3840（立方厘米） ×3.14×42×60 ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 3840－1004.8＝2835.2（立方厘米） 答：削去部分的体积是2835.2立方厘米。 即时练习3 一段长方体木料，长、宽、高的比是5∶4∶3，棱长总和是96厘米。把它削成一个尽可能大的圆锥，求这个圆锥的体积。 【答案】100.48立方厘米 【分析】先根据长、宽、高的比是5：4：3，棱长总和是96厘米，用棱长总和除以4，求出长、宽、高的和，再用长、宽、高的和除以比的份数和，求出1份是多少厘米，进一步求出长、宽、高分别是多少厘米；削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径等于长方体的宽，圆锥的高等于长方体的高的时候体积最大。根据圆锥的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【解析】96÷4＝24（厘米） 24÷（5＋4＋3） ＝24÷12 ＝2（厘米） 5×2＝10（厘米） 2×4＝8（厘米） 3×2＝6（厘米） 8÷2＝4（厘米） ×3.14××6 ＝×3.14×16×6 ＝2×50.24 ＝100.48（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是100.48立方厘米。 （2）从正方体中削圆锥：正方体内削出最大圆锥的特点是圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。如棱长为的正方体，圆锥底面半径，高，代入圆锥体积公式即可算出体积。这主要考查学生对正方体与圆锥尺寸对应关系的理解，以及公式的直接运用能力。 一个正方体的木块，它的棱长总和是240厘米，在这个正方体木块里削一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？（画出草图） 【答案】解：如图： 240÷12=20（厘米） 3.14×（20÷2）2×20 =3.14×2000 =6280（立方厘米） 答：削成的圆柱的体积是6280立方厘米． 【解析】先依据正方体的棱长总和的计算方法，用正方体的棱长总和除以12求出正方体的棱长，再据这个最大圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，利用圆柱的体积公式V=π（d÷2）2h即可得解． 即时练习1 一个棱长6cm的正方体，削一个最大的圆锥，削去部分的体积是　 　cm3． 【答案】159.48 【解析】试题分析：根据题意可知，把正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：v=a3，圆锥的体积公式：v=sh，用正方体的体积减去圆锥的体积就是削去部分的体积． 解：6×6×6﹣3.14×（6÷2）2×6， =216﹣3.14××9×6， =216﹣56.52， =159.48（立方厘米）； 答：削去部分的体积是159.48立方厘米． 故答案为159.48． 即时练习2 用一个棱长为10分米的正方体，削出一个最大的圆锥体，圆锥的体积是　 　． 【答案】261立方分米 【解析】试题分析：一个棱长为10分米的正方体，削出一个最大的圆锥体，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答即可． 解：3.14×（10÷2）2×10， =3.14×25×10， =261（立方分米）， 答：圆锥的体积是261立方分米． 故答案为261立方分米． 即时练习3 把棱长是18厘米的正方体削成一个最大的圆锥体，削下部分的体积是多少立方厘米？ 【答案】4305.96立方厘米 【解析】试题分析：把棱长是18cm的正方体木块削成一个最大的圆锥，即削成的最大的圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，削去的体积用正方体的体积减圆锥的体积，正方体的体积公式是v=a3，圆锥的体积公式是v=sh，由此列式解答． 解：×3.14×（18÷2）2×18， =×3.14×81×18， =1526.04（立方厘米）； 18×18×18﹣1526.04， =5832﹣1526.04， =4305.96（立方厘米）； 答：削下部分的体积是4305.96立方厘米． （3）从圆柱中削圆锥：当把圆柱削成最大圆锥时，圆柱和圆锥等底等高。根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的倍这一关系，若已知圆柱体积，可直接求出圆锥体积为圆柱体积的；若已知削去部分体积，因为削去部分体积是圆锥体积的倍，所以可通过削去部分体积求出圆锥体积。这类题型考查学生对圆柱与圆锥体积倍数关系的掌握，以及在实际计算中的灵活运用能力。 把一个75.36立方厘米的圆柱体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米，削去的体积是( )立方厘米，削去了圆柱体积的( )%。 【答案】 25.12 50.24 66.7 【分析】根据题意可知，圆柱与圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱体积的 ；削去的体积是圆锥体积的2倍，用圆锥的体积×2即可；如果把圆柱的体积看作3份，则削去的是2份，用2÷3即可。 【解析】圆锥的体积：75.36×＝25.12（立方厘米）； 削去的体积：25.12×2＝50.24（立方厘米）； 削去了圆柱体积的2÷3≈66.7%。 即时练习1 把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去了40cm3，原来圆柱的体积是　 　． 【答案】60立方厘米 【解析】试题分析：圆柱内最大的圆锥与原来圆柱是等底等高的，所以圆锥的体积是圆柱的体积的，则削去部分的体积就是圆柱的体积的，由此即可解答． 解：等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，则削去部分的体积就是圆柱的体积的， 40÷=40×=60（立方厘米）， 答：圆柱的体积是60立方厘米． 故答案为60立方厘米． 即时练习2 把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，体积减少了 90立方厘 米，那么削出的这个最大圆锥体体积 是　 　立方厘米． 【答案】45 【解析】试题分析：由题意知，削成的最大圆锥的体积应是圆柱体积的，也就是说，把圆柱的体积看作单位“1”，是3份，圆锥体积是1份，那么削去的部分应是2份；削去的体积是90立方厘米，用90÷2可求出1份的体积，也就是削成的最大圆锥的体积． 解：90÷（3﹣1）=45（立方厘米）； 故答案为45． 点评：此题是考查圆柱、圆锥的关系，要注意圆柱和圆锥只有在等底等高的条件下才有3倍或的关系． 即时练习3 一个圆柱的侧面积是251.2平方厘米，底面半径是2分米，把它削成最大的圆锥，削去了多少立方厘米？ 【答案】1674立方厘米 【解析】试题分析：根据圆柱的侧面积公式=底面周长×高可计算出圆柱的高，然后再利用圆柱的体积公式=底面积×高进行计算即可得到圆柱的体积，则把这个圆柱削成一个最大的圆锥，则是削去了这个圆柱的体积的三分之二，据此即可解答． 解：2分米=20厘米， 251.2÷（3.14×20×2）， =251.2÷125.6， =2（厘米）， 3.14×202×2×， =3.14×400×2×， =1674（立方厘米）， 答：削掉了1674立方厘米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$