（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第六单元 正比例和反比例-六年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）苏教版

苏教版六年级数学下册同步精讲 第六单元 正比例和反比例 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 4 思维导图 知识梳理 一、正比例的意义与判断 1. 正比例的意义 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终保持不变，则这两种量成正比例关系。 例：汽车行驶时间与路程（速度一定时，路程÷时间=速度，比值恒定）。 数学表达式：（为定值，），或 。 2. 正比例关系的判断方法 一看关联性：两种量是否相关联（一种量变化，另一种量也随之变化）。 二看比值：计算相对应两数的比值，若比值恒定，则成正比例。 例：购买铅笔的总价与数量（总价÷数量=单价，单价一定时成正比例）。 二、反比例的意义与判断 1. 反比例的意义 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若这两种量中相对应的两个数的乘积始终保持不变，则这两种量成反比例关系。 例：笔记本单价与购买数量（单价×数量=总价，总价一定时成反比例）。 数学表达式：（为定值，）。 2. 反比例关系的判断方法 一看关联性：两种量是否相关联。 二看乘积：计算相对应两数的乘积，若乘积恒定，则成反比例。 例：工作效率与工作时间（工作效率×工作时间=工作总量，总量一定时成反比例）。 三、正比例与反比例的图像特征 1. 正比例图像 图像形态：一条经过原点 的直线。 核心性质： 直线上任意一点的横、纵坐标比值等于比例系数 。 直观反映两种量的同向变化趋势，已知一个量可直接读取对应量。 例：路程-时间图像中，直线斜率表示速度（）。 2. 反比例图像 图像形态：一条双曲线（分布于第一、第三象限或第二、第四象限，取决于的正负）。 核心性质： 曲线上任意一点的横、纵坐标乘积等于定值 。 反映两种量的反向变化趋势，曲线无限趋近坐标轴但不相交。 四、正反比例的异同对比 特征 正比例 反比例 变化方向 同增同减（同向变化） 此消彼长（反向变化） 数量关系 比值一定（） 乘积一定（） 图像特征 经过原点的直线 双曲线 实际案例 速度一定时，路程与时间 路程一定时，速度与时间 五、典型应用场景 1. 正比例应用 行程问题：速度一定时，路程与时间成正比例（路程=速度×时间）。 购物问题：单价一定时，总价与数量成正比例（总价=单价×数量）。 工程问题：工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例（工作总量=工作效率×时间）。 2. 反比例应用 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例（速度×时间=路程）。 工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例（工作效率×时间=工作总量）。 几何问题：长方形面积一定时，长与宽成反比例（长×宽=面积）。 六、易错点与规避策略 混淆“和一定”与“比例关系”： 例：长方形周长一定时，长与宽不成比例（和一定，非比值或乘积一定）。 规避：明确比例关系的核心是“比值或乘积一定”，而非和或差一定。 忽略“相关联的量”前提： 例：圆的半径与面积不成正比例（面积÷半径=π×半径，比值不恒定）。 规避：先判断两种量是否直接相关联，再计算比值或乘积。 图像判断误区： 正比例图像必过原点，非直线或不过原点的图像均不成立。 反比例图像为光滑曲线，非直线或折线图均错误。 七、数学思想与方法 函数思想：初步建立变量对应关系，如正比例函数 、反比例函数 。 变中抓不变：在变化的量中寻找恒定的比值或乘积（如速度、总价、工作总量等）。 数形结合：通过图像直观分析变量关系，如利用正比例图像快速估算对应量。 八、实践应用：大树高度测量 原理：同一时间、同一地点，物体高度与影长成正比例（高度÷影长=定值）。 方法： 测量竹竿高度与影长，计算比值（高度/影长）。 测量大树影长，利用比值推算大树高度： 考点精讲 考点一：正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，若这两种量中对应数值的比值（商）始终保持不变，则称这两种量为成正比例的量，其关系为正比例关系。 核心要素：关联性、同向变化、比值恒定（如 ， 为非零常数）。 数学表达：（ 为比例系数）。 典例：一台打印机打印文件，每分钟打印30页，打印时间和打印页数如下表，判断打印时间和打印页数是否成正比例。 打印时间（分钟） 1 2 3 打印页数（页） 30 60 90 【答案】：成正比例。 【解析】：因为打印页数÷打印时间 = 每分钟打印页数，，，，每分钟打印页数始终为30页（一定），也就是打印页数和打印时间相对应数的比值一定，所以打印时间和打印页数成正比例。 【总结】：判断两个量是否成正比例，关键看这两个量是否相关联，且它们相对应数的比值是否一定。 即时练习1 一个面包店制作面包，每个面包的成本是3元，制作面包的数量和总成本如下表，判断制作面包的数量和总成本是否成正比例。 制作面包数量（个） 2 4 6 总成本（元） 6 12 18 【答案】：成正比例。 【解析】：总成本÷制作面包数量 = 每个面包成本，，，，每个面包成本始终是3元（一定），即总成本和制作面包数量相对应数的比值一定，所以制作面包的数量和总成本成正比例。 即时练习2 一名快递员每小时派送快递50件，派送时间和派送快递总数如下表，判断派送时间和派送快递总数是否成正比例。 派送时间（小时） 1 3 5 派送快递总数（件） 50 150 250 【答案】：成正比例。 【解析】：派送快递总数÷派送时间 = 每小时派送快递数，，，，每小时派送快递数为50件（一定），也就是派送快递总数和派送时间相对应数的比值一定，所以派送时间和派送快递总数成正比例。 即时练习3 判断以下两种量是否成正比例：一本书，已读的页数和未读的页数。 已读页数 20 30 40 未读页数 80 70 60 【答案】：不成正比例。 【解析】：已读页数 + 未读页数 = 这本书的总页数（一定），是和一定，不是比值一定。例如 ，，比值不固定，所以已读的页数和未读的页数不成正比例。 即时练习4 判断以下两种量是否成正比例：购买铅笔的总价一定，购买铅笔的单价和数量。 单价（元） 1 2 4 数量（支） 20 10 5 【答案】：不成正比例。 【解析】：单价×数量 = 总价（一定），这是乘积一定，不是比值一定。如 ， ，而 ，，比值不固定，所以购买铅笔的单价和数量不成正比例。 考点二：反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，若这两种量中对应数值的乘积始终保持不变，则称这两种量为成反比例的量，其关系为反比例关系。 核心要素：关联性、反向变化、乘积恒定（如 ， 为非零常数）。 数学表达：（ 为定值）。 典例：用一批布料制作衣服，每件衣服用布2米，可以制作200件，如果每件衣服用布2.5米，可以制作160件，判断每件衣服用布的米数和制作衣服的件数是否成反比例。 【答案】：成反比例。 【解析】：因为每件衣服用布的米数×制作衣服的件数 = 布料总数，（米），（米），布料总数一定，也就是每件衣服用布的米数和制作衣服的件数相对应数的乘积一定，所以每件衣服用布的米数和制作衣服的件数成反比例。 【总结】：判断两个量是否成反比例，重点在于判断这两个相关联的量相对应数的乘积是否固定不变。 即时练习1 从学校到图书馆，步行速度为4千米/小时，需要3小时；如果速度变为6千米/小时，需要2小时，判断步行速度和步行时间是否成反比例。 【答案】：成反比例。 【解析】：速度×时间 = 路程，（千米），（千米），路程始终是12千米（一定），即步行速度和步行时间相对应数的乘积一定，所以步行速度和步行时间成反比例。 即时练习2 一个仓库有一批货物，每天运出30吨，可以运10天；如果每天运出50吨，可以运6天，判断每天运出货物量和运货天数是否成反比例。 【答案】：成反比例。 【解析】：每天运出货物量×运货天数 = 货物总量，（吨），（吨），货物总量是300吨（一定），也就是每天运出货物量和运货天数相对应数的乘积一定，所以每天运出货物量和运货天数成反比例。 即时练习3 判断以下两种量是否成反比例：购买水果时，水果的单价一定，购买的数量和总价。 购买数量（千克） 2 3 4 总价（元） 10 15 20 【答案】：不成反比例。 【解析】：因为总价÷购买数量 = 单价（一定），这是比值一定，而不是乘积一定。例如（元/千克），（元/千克） ，所以购买的数量和总价成正比例，不成反比例。 即时练习4 判断以下两种量是否成反比例：在一次跑步比赛中，小明跑步的速度和已经跑过的路程。假设小明匀速跑步，比赛全程为500米，记录的数据如下表。 速度（米/秒） 5 5 5 已跑路程（米） 100 200 300 【答案】：不成反比例。 【解析】：在匀速跑步情况下，已跑路程与速度的关系是已跑路程 = 速度×时间，已跑路程÷速度 = 时间（随着跑步进行时间增加，不是固定值），不是乘积一定。例如（秒） ，（秒） ，它们的乘积 ， ，乘积不固定，所以小明跑步的速度和已经跑过的路程不成反比例。 考点三：正反比例生活场景辨析 在实际问题中，通过分析两种量的变化规律（同向/反向）及数量关系（比值/乘积是否恒定），判断其成正比例、反比例或不成比例。 辨析步骤： 确定量的关联性； 计算比值或乘积； 结合实际意义判断比例关系（如“单价一定时总价与数量成正比例”“路程一定时速度与时间成反比例”）。 典例：判断“购买苹果时，苹果的单价一定，购买苹果的总价和数量”“长方形的面积一定，它的长和宽”分别成什么比例。 【答案】：“购买苹果时，苹果的单价一定，购买苹果的总价和数量”成正比例；“长方形的面积一定，它的长和宽”成反比例。 【解析】：因为总价÷数量 = 单价（一定），所以购买苹果时，苹果的单价一定，购买苹果的总价和数量成正比例；又因为长方形的长×宽 = 面积（一定），所以长方形的面积一定时，它的长和宽成反比例。 【总结】：解决此类问题，先确定两个量是否相关联，再看它们是比值一定还是乘积一定，从而判断成正比例还是反比例。 即时练习1 判断“圆柱的底面积一定，它的体积和高”“班级总人数一定，男生人数和女生人数”分别成什么比例。 【答案】：“圆柱的底面积一定，它的体积和高”成正比例；“班级总人数一定，男生人数和女生人数”不成比例。 【解析】：体积÷高 = 圆柱的底面积（一定），所以圆柱的底面积一定时，它的体积和高成正比例；而男生人数 + 女生人数 = 班级总人数（一定），是和一定，不是比值或乘积一定，所以班级总人数一定时，男生人数和女生人数不成比例。 即时练习2 判断“圆的直径和它的周长”“三角形的周长一定，三条边的长度”分别成什么比例。 【答案】：“圆的直径和它的周长”成正比例；“三角形的周长一定，三条边的长度”不成比例。 【解析】：圆的周长÷直径 = （一定），所以圆的直径和它的周长成正比例；三角形三条边长度的关系是三边之和等于周长（一定），不是比值或乘积一定，所以三角形的周长一定时，三条边的长度不成比例。 即时练习3 判断“工作效率一定，工作总量和工作时间”“平行四边形的高一定，它的面积和底”分别成什么比例。 【答案】：“工作效率一定，工作总量和工作时间”成正比例；“平行四边形的高一定，它的面积和底”成正比例。 【解析】：工作总量÷工作时间 = 工作效率（一定），所以工作效率一定时，工作总量和工作时间成正比例；平行四边形的面积÷底 = 高（一定），所以平行四边形的高一定时，它的面积和底成正比例。 考点四：正反比例数学公式辨析 依据数学公式中变量间的关系，通过变形推导判断比例关系： 正比例推导：若公式可化为 （ 为常数），则 与 成正比例（如 中， 一定时， 与 成正比例）。 反比例推导：若公式可化为 （ 为常数），则 与 成反比例（如 中， 一定时， 与 成反比例）。 典例：根据三角形面积公式（为底，为高），当一定时，与成什么比例？ 【答案】：成反比例。 【解析】：由可得，因为一定，那么也一定，也就是与相对应数的乘积一定，所以当一定时，与成反比例。 【总结】：对于这类问题，先对公式进行变形，使其符合正反比例的表达式形式，再根据正反比例的定义判断。 即时练习1 根据圆柱体积公式（为底面积，为高），当一定时，与成什么比例？ 【答案】：成反比例。 【解析】：由可得，因为一定，即与相对应数的乘积一定，所以当一定时，与成反比例。 即时练习2 根据圆锥体积公式（为底面积，为高），当一定时，与成什么比例？ 【答案】：成正比例。 【解析】：由可得，因为一定，也一定，也就是与相对应数的比值一定，所以当一定时，与成正比例。 即时练习3 根据路程公式（为路程，为速度，为时间），当一定时，与成什么比例？ 【答案】：成反比例。 【解析】：因为，一定，即与相对应数的乘积一定，所以当一定时，与成反比例。 考点五：正反比例表达式判断 根据代数表达式形式直接判断比例关系： 正比例特征：形如 （），变量 与 的商为定值。 反比例特征：形如 （）或 ，变量 与 的积为定值。 非比例关系：表达式含加减项（如 ）或幂次变化（如 ）时，不成比例。 典例：判断中与，以及中与分别成什么比例。 【答案】：中与成正比例；中与成反比例。 【解析】：在中，符合正比例表达式，这里且，所以与成正比例；在中，符合反比例表达式，其中且，所以与成反比例。 【总结】：判断时关键看表达式形式是否符合正比例或反比例的标准表达式，找到对应的值并判断其是否为非零常数。 即时练习1 判断中与是否成比例，如果成比例，成什么比例。 【答案】：中与成反比例。 【解析】：可变形为，符合反比例表达式，其中，所以与成反比例。 即时练习2 判断中与是否成比例，如果成比例，成什么比例。 【答案】：中与不成比例。 【解析】：不符合（为常数，）的正比例表达式，也不符合（为常数，）的反比例表达式，所以与不成比例。 即时练习3 判断（）中与是否成比例，如果成比例，成什么比例。 【答案】：（）中与不成比例。 【解析】：将变形为，即，无法转化为或的标准形式，所以与不成比例。 考点六：正反比例表格数据分析 通过分析表格中两组数据的对应关系判断比例类型： 正比例表格： 的值均相等（如速度一定时，路程与时间的比值恒定）。 反比例表格： 的值均相等（如总页数一定时，每天读的页数与天数的乘积恒定）。 数据应用：补全表格缺失值时，正比例用“比值法”，反比例用“乘积法”。 典例：电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。小李的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅游，途中小李记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程（千米） 40 80 120 耗电量（千瓦时） 6 12 18 (1)从表中的数据中选4个组成一组比例：( )。 (2)行驶路程与耗电量成( )比例；30千瓦时电量可供汽车行驶( )千米。 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 正 ；200 【分析】（1）根据比例的意义，找出两组比值相等的比组成比例。（2）判断两个相关联的量成什么比例，看它们相对应数的比值是否一定。若比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。再根据成正比例关系求出30千瓦时电量可供汽车行驶的路程。 【详解】（1） ， ，所以可组成比例（答案不唯一）。 （2） ， ， ，行驶路程与耗电量的比值一定，所以成正比例。 设30千瓦时电量可供汽车行驶千米，由正比例关系可得，即，，解得 。 即时练习1 为了知道一棵大树的高度，小王带领同组同学在大树旁边通过对3根木棍进行测量，从而推断大树的高度。他们同时测量的三根木棍的数据如下：小王根据这组数据和此时大树的影长，推断出了这棵大树的高度是9米。他们这样推断的依据是？（ ） 木棍1 木棍2 木棍3 棍长/cm 30 20 15 影长/cm 24 16 12 A．此时此地物体的高度与影长成反比例 B．此时此地物体的高度与影长成正比例 C．此时此地物体的高度与影长不成比例 D．此时此地物体的高度与影长无关 【答案】B 【分析】先分别计算三根木棍棍长和影长的比值，根据正比例的定义“两个相关联的量，所对应的数量的比值一定，则这两个量成正比例”，以及同一时刻、同一地点物高和影长的关系来判断。 【详解】木棍1棍长与影长的比值为 ；木棍2棍长与影长的比值为 ；木棍3棍长与影长的比值为 。 可见三根木棍的棍长与影长之比相等，所以同一时刻，同一地点，物高和影长成正比例关系。 故答案为：B 即时练习2 五一假期，小辉一家从市区出发到郊外景区游玩，全程120千米，小辉记录了汽车仪表盘上显示的数据，结果如下表。 行驶路程/km 15 30 60 120 耗油量L 1.8 3.6 7.2 9.6 （1）将上面的表格填完整。 （2）汽车行驶路程和耗油量成（ ）比例，因为______。 （3）小辉发现导航中显示的到达时间会随着速度的变化而变化，请根据所学知识把下表填完整。 速度（千米/时） 30 40 60 所需时间（时） 4 3 2 【答案】（1）见详解 （2）正；行驶每千米耗油量一定 （3）见详解 【分析】（1）先求出汽车每行驶1千米的耗油量，再据此计算出表格中缺失的行驶路程和耗油量数据。（2）判断两个相关联的量成什么比例，看它们相对应数的比值或乘积是否一定。（3）根据路程 = 速度×时间，先求出路程，再根据速度和时间的反比例关系求出表格中缺失的速度和时间数据。 【详解】（1）每千米耗油量：（升/千米） （千米） （升） 表格如下： 行驶路程/km 15 30 60 80 120 耗油量L 1.8 3.6 7.2 9.6 14.4 （2），，，，，即行驶路程和耗油量的比值一定，所以汽车行驶路程和耗油量成正比例。 原因是行驶每千米耗油量一定。 （3）路程：（千米） （时） （千米/时） 表格如下： 速度（千米/时） 30 40 60 60 所需时间（时） 4 3 2 2 即时练习3 科学小组的同学做实验，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度情况如下表： 物体质量（kg） 0 1 2 3 4 5 弹簧伸长长度（cm） 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 根据科学小组测量的数据，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成( )比例关系，在下面简要说明理由：( )。 【答案】 正 ；所挂物体的质量与弹簧伸长的长度的比值一定 【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 【详解】，，，， 在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例关系。理由如下：在弹簧的弹性限度内，物体质量增加，弹簧伸长长度也增加，且所挂物体的质量与弹簧伸长的长度的比值一定，因此在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 考点七：正比例的图像 正比例关系的图像是一条从原点（0,0）出发的射线，其核心特征为： 几何性质：射线上任意一点的横、纵坐标比值等于比例系数 。 图像功能： 直观反映两种量的同向变化趋势； 通过图像直接读取对应数值（如已知时间查路程）。 典例：一天，小明去上学，他刚走不久，妈妈发现他忘记带数学书，于是就去追小明，观察下图： (1)妈妈出发时，小明已经走了(    )米，他的速度是(    )米/分。 (2)妈妈行的路程和时间成(    )比例。 (3)照这样的速度，妈妈出发后经过(    )分钟可以追上小明。 【答案】(1)； (2)正 (3) 【解析】(3)从图中看出小明分钟走了米，妈妈分钟走了米，根据速度路程时间，可以求出小明和妈妈的速度分别是多少。从图中看出小明走了米后妈妈才开始追小明，根据追及时间路程差速度差即可求出妈妈追上小明需要多长时间。 1.如图，(    )表示的两个量成正比例关系。 ‍ A.① B.② C.③ D.④ 【答案】D 2.有两个相关联的量，它们的关系可以用下图来表示的是(    )。 ‍ A.《小学生数学报》订阅的费用和订阅的数量 B.正方体的表面积和它的棱长 C.小华看《数学花园》，看了的页数和未看的页数 D.工作总量一定，工作时间和工作效率 【答案】A 3.有两个相关联的量，它们的关系可以用下图来表示，这两个量可能是(    )。 ‍ A.《小学生数学报》订阅的费用和订阅的数量 B.正方体的表面积和它的棱长 C.小明看《数学花园》，看过的页数和未看的页数 【答案】A 考点八：正比例的图像绘制 根据正比例关系数据绘制图像的步骤： 建系：确定横纵坐标（通常x为自变量，y为因变量）； 描点：根据表格数据在坐标系中描出对应点； 连线：用直线连接各点（必过原点）； 标注：注明图像代表的比例关系及比例系数 。 典例：买日记本的数量和总价的关系如下表。 数量/本 … 总价/元           … (1)将表格补充完整，根据表中的数据，先在图中描点，再顺次连接。 (2)观察表格发现，(    )没变，总价和数量之间成(    )比例。从图中可以看出，如果买本日记本，需要(    )元。 【答案】(1)；；；；； (2)单价；正； 1.磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下表： 时间分 … 路程千米 … (1)图中的点表示时间为分钟时，磁悬浮列车行驶的路程为千米。请你试着描出其他各点。 (2)连接各点，它们(    )一条直线上。(填“在”或“不在”) (3)列车运行分钟，行驶的路程是(    )千米，行驶千米需要(    )分钟。 【答案】(1) (2)在 (3)； 2.下面是某种汽车行驶路程和耗油量的对应表。 所行路程千米 耗油量升 (1)根据表中的数据，在下图中描出汽车行驶的路程和耗油量所对应的点，再按顺序连接起来。 ‍ (2)这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例吗，你是根据什么判断的？ (3)根据图像判断，汽车行驶千米的耗油量是(    )升，耗油升可以行驶(    )千米。 【答案】(1) (2)成正比例。因为汽车行驶的路程和耗油量是两个相关联的量，而且它们的比值一定，所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例。 (3)； 3.学校图书馆要购买一些书籍，购买《故事大王》的本数与总价的情况如下表： 本数 … 总价/元 … (1)把上面的表格填完整。 (2)根据表中数据，在下图中描出本数和总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 ‍ (3)从图中可以知道，购买本《故事大王》需要(    )元；元可以购买(    )本《故事大王》。 【答案】(1)；； (2) (3)； 考点九：反比例的图像 反比例关系的图像是双曲线，其核心特征为： 几何性质： 当 时，图像分布于第一、第三象限；当 时，分布于第二、第四象限； 曲线无限趋近坐标轴，但不与坐标轴相交。 图像功能：反映两种量的反向变化趋势，越靠近坐标轴，变量变化速率越缓。 平行四边形的底是厘米，高是厘米，和的关系如图所示。 ‍ (1)上面的图像表示的是(    )比例关系。 (2)点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米；点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米。 (3)平行四边形的面积是(    )平方厘米。 【答案】(1)反 (2)；；； (3) 【解析】(1)图像上任意一点所对应的底和高的乘积是不变的，因此表示的是反比例关系。 (2)图中点所对应的底是厘米，对应的高是厘米；点所对应的底是厘米，对应的高是厘米。 (3)平行四边形的面积是底与高的乘积，图像反映的又是平行四边形面积一定的情况下，底和高变化的关系，所以可以根据点对应的底和高，求出平行四边形的面积。 1.小明骑自行车从地去地，看图像回答问题。 ‍ (1)速度与时间是否成比例？如果成比例，成什么比例？ (2)观察图像，如果想要小时行完全程，平均每小时行(    )千米。 【答案】(1)速度与时间成比例，成反比例。 (2) 【解析】(1)从图中可以看出，随着速度的变化，所用时间也在变化，速度时间路程，路程是千米是一定的，所以，速度与时间成反比例。 2.平行四边形的底是厘米，高是厘米，和的关系如图所示。 ‍ (1)上面是(    )比例关系的图像。 (2)点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米；点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米。 (3)平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)反 (2)；；； (3)(平方厘米) 答：平行四边形的面积是平方厘米。 【解析】(1)图像上任意一点所对应的底和高的积是不变的，因此是反比例关系的图像。 (2)图中点所对应的底是厘米，对应的高是厘米；点所对应的底是厘米，对应的高是厘米。 (3)平行四边形的面积底高，图像反映的是平行四边形面积一定的情况下，底和高变化的关系，所以可以根据点对应的底和高，求出平行四边形的面积。 3.活动课上，牛牛制作了一个太空泥长方体笔筒，他先用一袋立方厘米的太空泥制作成一个厚度为毫米的长方体底座。长方体底座的长和宽的关系如下图： ‍ (1)先根据图像把右侧的表格填写完整。 (2)长和宽成什么比例？说明理由。 (3)根据比例关系，当长为毫米时，宽为多少毫米？并在图中标出这点的位置。 (4)制作过程中，牛牛把制作好的底座进行一次变换，由底座变为底座厚度不变。已知底座与底座长的比是∶那么这两个底座的宽的比是(    )。 【答案】(1) (2)立方厘米立方毫米 长宽(平方毫米)(一定) 长和宽的乘积不变，则长和宽成反比例。 (3)解：设当长为毫米时，宽为毫米。 ‍     对应图上的点为标注如下： ‍ (4)∶ 【解析】(1)① 观察图像特点。 从图像中来看是一条光滑的曲线，图像横轴表示长，纵轴表示宽。 ② 观察表格中的空，根据已知的纵(或横)轴坐标数据确定对应的横(或纵)轴坐标数据。 当长为毫米时，从图中找到对应的纵坐标是宽为毫米。 (2)① 找到长与宽的关系。 长方体中长宽底面积，而体积高底面积，体积一定，高一定， 体积高的值一定，故长宽的值一定。 ② 根据长与宽的关系，判断比例关系。 长和宽的乘积不变，则长和宽成反比例。 (3)① 根据反比例关系，列出方程。 长和宽的乘积不变，设当长为毫米时， 宽为毫米。 即。 ② 求解方程，标出点的位置。 解得对应图上的点为找到横轴纵轴对应的点即可。这个点必定在这条曲线上，所以也可以根据横纵坐标和图像画出对应的点。找到横坐标 向上作纵轴的平行线与曲线的交点就是点或找到纵坐标向右画水平线，水平线与曲线的交点就是点。 (4)① 根据反比例关系，找出等量关系式。 底座进行了变换，太空泥的体积底座底面积厚度，因为厚度不变，所以底座的底面积不变。所以底座的长度底座的宽度底座的长度底座的宽度。 ② 把关系式逆用比例的基本性质，推出所求两个量的比。 将等式变形得，所以这两个底座的宽度的比是∶。 考点十：反比例的图像绘制 根据反比例关系数据绘制图像的步骤： 建系：确定横纵坐标（x、y均不为0）； 描点：计算多组对应值并描点（注意对称性）； 连线：用平滑曲线连接各点（避免直线连接）； 标注：注明图像代表的反比例关系及常数 。 反比例关系的图象是光滑的曲线。由下面的图象，你能看出容器的底面积分别是40平方厘米、50平方厘米、55平方厘米时，水的高度分别是多少吗？ 【答案】7.5厘米；6厘米；厘米 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据题意可知，容器底面积和水的高度成反比例，它们的乘积一定，观察图形与方格的交点，可知当底面积是30平方厘米时，高是10厘米，所以用30×10即可求出固定的体积；再用体积分别除以40、50、55即可求出容器的底面积分别是40平方厘米、50平方厘米、55平方厘米时，水的高度分别是多少厘米。 【详解】30×10＝300（立方厘米） 300÷40＝7.5（厘米） 300÷50＝6（厘米） 300÷55＝（厘米） 答：底面积是40平方厘米时，水的高度是7.5厘米；底面积是50平方厘米时，水的高度是6厘米；底面积是55平方厘米时，水的高度是厘米。 即时练习1.长方形的面积为，相邻的两条边x，y的关系如下表， （1）请先将表格填写完整。 x/m 1 2 6 12 y/m 12 4 3 1 （2）长方形相邻的两边长成什么比例关系？为什么？ （3）根据x和y的对应关系，在下图把对应点描出来，并连接各点。 【答案】（1）3；6；4；2 【分析】根据长方形面积=相邻两边长的乘积，通过第一组数据1×12=12（m²）确定面积恒定。利用“面积÷已知边长=未知边长”计算： 当x=2时，y=12÷2=6； 当y=4时，x=12÷4=3； 当x=6时，y=12÷6=2； 当x=12时，y=12÷12=1。 【详解】 x/m 1 2 3 4 6 12 y/m 12 6 4 3 2 1 （2）长方形相邻的两边长成什么比例关系？为什么？ 反比例关系；因为相邻两边长的乘积等于固定面积（12 m²）。 【分析】若两相关联的量乘积为定值，则成反比例关系。此处x×y=12（一定），符合反比例定义。 【详解】长方形相邻两边长x与y的乘积恒等于面积12 m²，即x×y=12（定值），故两者成反比例关系。 （3）见详解 【分析】按表格坐标在坐标系中描点，横轴为x，纵轴为y，依次连接。 【详解】。 【点睛】判断反比例关系的关键是两量乘积不变，描点时需对应横纵轴数据。 即时练习2．两个数的乘积是12，将如表填完整。 一个因数 1 2 3 4 6 12 另一个因数 12 （1）利用如表，在如图中描出各点，并连接，你发现了什么？ （2）哪个量没有变？另外两个相关联的量成什么关系？ 【答案】6；4；3；2；1 【分析】根据“积÷一个因数=另一个因数”计算： 2对应的因数=12÷2=6； 3对应的因数=12÷3=4； 4对应的因数=12÷4=3； 6对应的因数=12÷6=2； 12对应的因数=12÷12=1。 【详解】 一个因数 1 2 3 4 6 12 另一个因数 12 6 4 3 2 1 （1）利用如表，在如图中描出各点，并连接，你发现了什么？ 【答案】图像是一条曲线； 【分析】以“一个因数”为横轴，“另一个因数”为纵轴描点连线。 【详解】在图中描出(1,12)、(2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2)、(12,1)，连接后呈现一条光滑曲线（图像保持原题样式）。 【发现】各点连接后形成曲线，反映两因数的反比例关系。 （2）哪个量没有变？另外两个相关联的量成什么关系？ 【答案】两数的乘积（12）没有变；成反比例关系。 【分析】两因数的乘积始终为12，当一个因数变化时，另一个因数随之反比例变化。 【详解】不变量是乘积12，因为两因数的乘积恒定（12），符合“乘积一定则成反比例”的定义，故二者成反比例关系。 【点睛】理解反比例关系需抓住“乘积不变”这一核心，描点时注意横纵轴的实际意义。 考点十一：正反比例基础应用 运用正反比例解决简单实际问题的步骤： 审题：明确不变量（比值或乘积）； 建模：判断比例关系，设未知数； 列式：正比例用 ，反比例用 ； 求解：通过比例式或方程解答（如行程问题、购物问题）。 典例：李师傅加工一批零件的情况如下表。 时间时     数量个     (1)把表格填写完整。 (2)李师傅加工零件的数量和时间成正比例吗？说明理由。 (3)根据表中的数据，在下图中描出时间和数量的对应点，再把这些点连起来。 (4)点是直线上一点，表示什么含义？东东说点也在这条直线上，他说得对吗？ 【答案】(1) 时间时 数量个 (2)李师傅加工零件的数量和时间成正比例。因为加工零件的数量随着时间的变化而变化，且它们的比值一定。 (3) (4)表示李师傅时加工了个零件。 东东说得对。 1.甲车间加工一批零件，所需天数与每天加工的个数如下表。 每天加工的个数/个 所需天数/天 (1)每天加工的个数用表示，所需天数用表示，你能用式子表示出和与加工的零件总个数之间的关系吗？ (2)与成什么比例关系？ (3)如果这批零件需要半个月天完成，每天需要加工多少个？ 【答案】(1) (2)与成反比例关系。 (3)(个) 答：每天需要加工个。 【解析】(1)  根据表中的数据分析出每天加工的个数与所需天数之间的关系，即。 (2)因为与的乘积是，是一个定值，根据反比例的意义，可以知道与成反比例关系。 (3)根据工作效率工作总量工作时间，列算式求解即可。 2.甲、乙两地公路长120千米，四辆不同的汽车行驶在这条公路上的平均速度如下表： ‍ (1)请你在上表中填写每辆汽车驶完这段路程所需要的时间。 (2)汽车行驶的速度和时间成什么比例？为什么？ (3)如果一辆汽车从甲地出发，要小时到达乙地，每小时行驶多少千米？ 【答案】(1) (2)汽车行驶的速度和时间成反比例，因为汽车行驶的速度和时间这两种变化的量的乘积一定。 (3)（千米/小时） 答：每小时行驶千米。 【解析】(1)时间距离速度。 (2)两种变化的量乘积一定，则它们成反比例。 (3)速度路程时间。 3.某厂生产收音机，生产的天数和生产的总数量如下表所示： 总数量/个 天数/天 (1)写出表中两种相关联的量。 (2)写出几组相对应的两个数的比，并求出比值。 (3)说明这个比值所表示的意义。 (4)这两种相关联的量是否成正比例？为什么？ 【答案】(1)总数量和天数。 (2)；；。 (3)这个比值所表示的意义是单产量。 (4)总数量和天数成正比例。 因为总量和天数是两种相关联的量，它们的比值，也就是单产量一定，所以它们成正比例。 【解析】(1)根据表中所给信息解答。 (2)总数量天数单产量。 (3)总数量天数单产量。 (4)总数量天数单产量。，再根据正比例的定义解答。 4.小全、品品、博文和天骄每人买同一本《狼王梦》，他们看书的情况如下表。   小全 品品 博文 天骄 每天看的页数(页) 需要的天数(天)     (1)把表格补充完整。 (2)每天看的页数和需要的天数之间成什么比例？为什么？ (3)已经看了天，他们分别看了多少页？把下表填完整。   小全 品品 博文 天骄 已看的页数(页)         剩下的页数(页)         (4)已看的页数和剩下的页数成反比例吗？为什么？ 【答案】(1)   小全 品品 博文 天骄 每天看的页数(页) 需要的天数(天) (2)答：成反比例 因为每天看的页数需要的天数=总页数(一定)。 (3)   小全 品品 博文 天骄 已看的页数(页) 剩下的页数(页) (4)不成反比例 因为已看的页数和剩下的页数的积不一定。 考点十二：正反比例复杂应用 解决涉及多变量、多关系或跨情境的综合问题： 复合比例：同一问题中同时存在正反比例（如“单价降低且销量增加时，销售额的变化分析”）； 工程与行程：通过效率、速度的反比例关系，结合总量不变列方程（如“进水管与出水管同时工作的注水时间计算”）； 动态分析：考虑极端值或变量范围（如“弹簧弹性限度内质量与伸长量的正比例关系”）。 典例：下面是一辆汽车行驶路程与耗油量之间的关系统计表。 行驶路程 … 耗油量 … (1)行驶路程与耗油量成什么比例？为什么？ (2)从地到地的路程有，这辆汽车从地到地需耗油多少升？(用比例解) (3)到达地后，油箱里还剩下汽油，该辆汽车还要去外的地，到达地后，再返回地，最后返回地。该辆汽车中途需要加油吗？ 【答案】(1)行驶路程和耗油量是相关联的量，(一定)， 所以行驶路程与耗油量成正比例。 (2)解：设这辆汽车从地到地需耗油。 ‍           答：这辆汽车从地到地需耗油。 (3) ‍ ‍ 答：该辆汽车中途不需要加油。 【解析】(1)  如果两种相关联的量，它们的比值是一定的，那么它们就成正比例关系。 (2)设这辆汽车从地到地需耗油，列比例求解。 (3)这辆汽车还要行驶两个地到地的距离加上一个地到地的距离，算出从地到地需要多少升汽油，然后乘再加上，最后与比较即可。 1.小东家的客厅是正方形的，用边长是的方砖铺地，正好需要块。如果改用边长是的方砖铺地，需要多少块？(用比例解) 【答案】解：用边长是米的方砖铺地需要块砖。 ‍ ‍ ‍ 答：需要块。 【解析】房间的面积一定，每块方砖的面积和需要方砖的块数成反比例。 2.如图表示某工厂中甲、乙两个车间加工的零件数与时间的关系。 ‍ (1)乙车间生产的零件数与时间成正比例吗？为什么？ (2)如果生产万个零件，那么乙车间比甲车间少用几个月？ (3)根据图像信息，甲车间半个月加工多少万个零件？ 【答案】(1)成正比例；因为生产的零件数与时间的比值一定。 (2)(个) (3)(万个) 3.下图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况。 ‍ (1)这个进水管每分钟的进水量是(   )立方米。 (2)这个进水管的进水量与时间成(   )比例关系。 (3)照这样的速度，要给游泳池注水立方米，需要(   )小时，如果打开进水管分钟，能注水(   )立方米。 【答案】(1) (2)正 (3)； 4.下面是汽车从甲地到乙地行驶完全程所需时间与平均行驶速度的图像。 ‍ (1)速度和时间是否成比例关系？如果成比例关系，成什么比例关系？ (2)如果要小时行完全程，平均每小时要行驶多少千米？ 【答案】(1)速度和时间成比例关系，成反比例关系。 (2) 答：平均每小时要行驶。 【解析】(1)观察图像并计算可知，速度和时间的乘积是一个定值，这个定值就是从甲地到乙地的路程。 (2)观察图像并计算，可知从甲地到乙地的路程是。时间是小时，求速度即可。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏教版六年级数学下册同步精讲 第六单元 正比例和反比例 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 2 · 考点精讲 4 思维导图 知识梳理 一、正比例的意义与判断 1. 正比例的意义 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终保持不变，则这两种量成正比例关系。 例：汽车行驶时间与路程（速度一定时，路程÷时间=速度，比值恒定）。 数学表达式：（为定值，），或 。 2. 正比例关系的判断方法 一看关联性：两种量是否相关联（一种量变化，另一种量也随之变化）。 二看比值：计算相对应两数的比值，若比值恒定，则成正比例。 例：购买铅笔的总价与数量（总价÷数量=单价，单价一定时成正比例）。 二、反比例的意义与判断 1. 反比例的意义 核心概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若这两种量中相对应的两个数的乘积始终保持不变，则这两种量成反比例关系。 例：笔记本单价与购买数量（单价×数量=总价，总价一定时成反比例）。 数学表达式：（为定值，）。 2. 反比例关系的判断方法 一看关联性：两种量是否相关联。 二看乘积：计算相对应两数的乘积，若乘积恒定，则成反比例。 例：工作效率与工作时间（工作效率×工作时间=工作总量，总量一定时成反比例）。 三、正比例与反比例的图像特征 1. 正比例图像 图像形态：一条经过原点 的直线。 核心性质： 直线上任意一点的横、纵坐标比值等于比例系数 。 直观反映两种量的同向变化趋势，已知一个量可直接读取对应量。 例：路程-时间图像中，直线斜率表示速度（）。 2. 反比例图像 图像形态：一条双曲线（分布于第一、第三象限或第二、第四象限，取决于的正负）。 核心性质： 曲线上任意一点的横、纵坐标乘积等于定值 。 反映两种量的反向变化趋势，曲线无限趋近坐标轴但不相交。 四、正反比例的异同对比 特征 正比例 反比例 变化方向 同增同减（同向变化） 此消彼长（反向变化） 数量关系 比值一定（） 乘积一定（） 图像特征 经过原点的直线 双曲线 实际案例 速度一定时，路程与时间 路程一定时，速度与时间 五、典型应用场景 1. 正比例应用 行程问题：速度一定时，路程与时间成正比例（路程=速度×时间）。 购物问题：单价一定时，总价与数量成正比例（总价=单价×数量）。 工程问题：工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例（工作总量=工作效率×时间）。 2. 反比例应用 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例（速度×时间=路程）。 工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例（工作效率×时间=工作总量）。 几何问题：长方形面积一定时，长与宽成反比例（长×宽=面积）。 六、易错点与规避策略 混淆“和一定”与“比例关系”： 例：长方形周长一定时，长与宽不成比例（和一定，非比值或乘积一定）。 规避：明确比例关系的核心是“比值或乘积一定”，而非和或差一定。 忽略“相关联的量”前提： 例：圆的半径与面积不成正比例（面积÷半径=π×半径，比值不恒定）。 规避：先判断两种量是否直接相关联，再计算比值或乘积。 图像判断误区： 正比例图像必过原点，非直线或不过原点的图像均不成立。 反比例图像为光滑曲线，非直线或折线图均错误。 七、数学思想与方法 函数思想：初步建立变量对应关系，如正比例函数 、反比例函数 。 变中抓不变：在变化的量中寻找恒定的比值或乘积（如速度、总价、工作总量等）。 数形结合：通过图像直观分析变量关系，如利用正比例图像快速估算对应量。 八、实践应用：大树高度测量 原理：同一时间、同一地点，物体高度与影长成正比例（高度÷影长=定值）。 方法： 测量竹竿高度与影长，计算比值（高度/影长）。 测量大树影长，利用比值推算大树高度： 考点精讲 考点一：正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，若这两种量中对应数值的比值（商）始终保持不变，则称这两种量为成正比例的量，其关系为正比例关系。 核心要素：关联性、同向变化、比值恒定（如 ， 为非零常数）。 数学表达：（ 为比例系数）。 典例：一台打印机打印文件，每分钟打印30页，打印时间和打印页数如下表，判断打印时间和打印页数是否成正比例。 打印时间（分钟） 1 2 3 打印页数（页） 30 60 90 【答案】：成正比例。 【解析】：因为打印页数÷打印时间 = 每分钟打印页数，，，，每分钟打印页数始终为30页（一定），也就是打印页数和打印时间相对应数的比值一定，所以打印时间和打印页数成正比例。 【总结】：判断两个量是否成正比例，关键看这两个量是否相关联，且它们相对应数的比值是否一定。 即时练习1 一个面包店制作面包，每个面包的成本是3元，制作面包的数量和总成本如下表，判断制作面包的数量和总成本是否成正比例。 制作面包数量（个） 2 4 6 总成本（元） 6 12 18 即时练习2 一名快递员每小时派送快递50件，派送时间和派送快递总数如下表，判断派送时间和派送快递总数是否成正比例。 派送时间（小时） 1 3 5 派送快递总数（件） 50 150 250 即时练习3 判断以下两种量是否成正比例：一本书，已读的页数和未读的页数。 已读页数 20 30 40 未读页数 80 70 60 即时练习4 判断以下两种量是否成正比例：购买铅笔的总价一定，购买铅笔的单价和数量。 单价（元） 1 2 4 数量（支） 20 10 5 考点二：反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化另一种量也随之变化，若这两种量中对应数值的乘积始终保持不变，则称这两种量为成反比例的量，其关系为反比例关系。 核心要素：关联性、反向变化、乘积恒定（如 ， 为非零常数）。 数学表达：（ 为定值）。 典例：用一批布料制作衣服，每件衣服用布2米，可以制作200件，如果每件衣服用布2.5米，可以制作160件，判断每件衣服用布的米数和制作衣服的件数是否成反比例。 即时练习1 从学校到图书馆，步行速度为4千米/小时，需要3小时；如果速度变为6千米/小时，需要2小时，判断步行速度和步行时间是否成反比例。 即时练习2 一个仓库有一批货物，每天运出30吨，可以运10天；如果每天运出50吨，可以运6天，判断每天运出货物量和运货天数是否成反比例。 即时练习3 判断以下两种量是否成反比例：购买水果时，水果的单价一定，购买的数量和总价。 购买数量（千克） 2 3 4 总价（元） 10 15 20 即时练习4 判断以下两种量是否成反比例：在一次跑步比赛中，小明跑步的速度和已经跑过的路程。假设小明匀速跑步，比赛全程为500米，记录的数据如下表。 速度（米/秒） 5 5 5 已跑路程（米） 100 200 300 考点三：正反比例生活场景辨析 在实际问题中，通过分析两种量的变化规律（同向/反向）及数量关系（比值/乘积是否恒定），判断其成正比例、反比例或不成比例。 辨析步骤： 确定量的关联性； 计算比值或乘积； 结合实际意义判断比例关系（如“单价一定时总价与数量成正比例”“路程一定时速度与时间成反比例”）。 典例：判断“购买苹果时，苹果的单价一定，购买苹果的总价和数量”“长方形的面积一定，它的长和宽”分别成什么比例。 即时练习1 判断“圆柱的底面积一定，它的体积和高”“班级总人数一定，男生人数和女生人数”分别成什么比例。 即时练习2 判断“圆的直径和它的周长”“三角形的周长一定，三条边的长度”分别成什么比例。 即时练习3 判断“工作效率一定，工作总量和工作时间”“平行四边形的高一定，它的面积和底”分别成什么比例。 考点四：正反比例数学公式辨析 依据数学公式中变量间的关系，通过变形推导判断比例关系： 正比例推导：若公式可化为 （ 为常数），则 与 成正比例（如 中， 一定时， 与 成正比例）。 反比例推导：若公式可化为 （ 为常数），则 与 成反比例（如 中， 一定时， 与 成反比例）。 典例：根据三角形面积公式（为底，为高），当一定时，与成什么比例？ 即时练习1 根据圆柱体积公式（为底面积，为高），当一定时，与成什么比例？ 即时练习2 根据圆锥体积公式（为底面积，为高），当一定时，与成什么比例？ 即时练习3 根据路程公式（为路程，为速度，为时间），当一定时，与成什么比例？ 考点五：正反比例表达式判断 根据代数表达式形式直接判断比例关系： 正比例特征：形如 （），变量 与 的商为定值。 反比例特征：形如 （）或 ，变量 与 的积为定值。 非比例关系：表达式含加减项（如 ）或幂次变化（如 ）时，不成比例。 典例：判断中与，以及中与分别成什么比例。 即时练习1 判断中与是否成比例，如果成比例，成什么比例。 即时练习2 判断中与是否成比例，如果成比例，成什么比例。 即时练习3 判断（）中与是否成比例，如果成比例，成什么比例。 考点六：正反比例表格数据分析 通过分析表格中两组数据的对应关系判断比例类型： 正比例表格： 的值均相等（如速度一定时，路程与时间的比值恒定）。 反比例表格： 的值均相等（如总页数一定时，每天读的页数与天数的乘积恒定）。 数据应用：补全表格缺失值时，正比例用“比值法”，反比例用“乘积法”。 典例：电动汽车作为新型的环保交通工具，受到了消费者的喜爱。小李的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅游，途中小李记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶路程（千米） 40 80 120 耗电量（千瓦时） 6 12 18 (1)从表中的数据中选4个组成一组比例：( )。 (2)行驶路程与耗电量成( )比例；30千瓦时电量可供汽车行驶( )千米。 即时练习1 为了知道一棵大树的高度，小王带领同组同学在大树旁边通过对3根木棍进行测量，从而推断大树的高度。他们同时测量的三根木棍的数据如下：小王根据这组数据和此时大树的影长，推断出了这棵大树的高度是9米。他们这样推断的依据是？（ ） 木棍1 木棍2 木棍3 棍长/cm 30 20 15 影长/cm 24 16 12 A．此时此地物体的高度与影长成反比例 B．此时此地物体的高度与影长成正比例 C．此时此地物体的高度与影长不成比例 D．此时此地物体的高度与影长无关 即时练习2 五一假期，小辉一家从市区出发到郊外景区游玩，全程120千米，小辉记录了汽车仪表盘上显示的数据，结果如下表。 行驶路程/km 15 30 60 120 耗油量L 1.8 3.6 7.2 9.6 （1）将上面的表格填完整。 （2）汽车行驶路程和耗油量成（ ）比例，因为______。 （3）小辉发现导航中显示的到达时间会随着速度的变化而变化，请根据所学知识把下表填完整。 速度（千米/时） 30 40 60 所需时间（时） 4 3 2 即时练习3 科学小组的同学做实验，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度情况如下表： 物体质量（kg） 0 1 2 3 4 5 弹簧伸长长度（cm） 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 根据科学小组测量的数据，在弹簧的弹性限度内，所挂物体的质量与弹簧伸长的长度成( )比例关系，在下面简要说明理由：( )。 考点七：正比例的图像 正比例关系的图像是一条从原点（0,0）出发的射线，其核心特征为： 几何性质：射线上任意一点的横、纵坐标比值等于比例系数 。 图像功能： 直观反映两种量的同向变化趋势； 通过图像直接读取对应数值（如已知时间查路程）。 典例：一天，小明去上学，他刚走不久，妈妈发现他忘记带数学书，于是就去追小明，观察下图： (1)妈妈出发时，小明已经走了(    )米，他的速度是(    )米/分。 (2)妈妈行的路程和时间成(    )比例。 (3)照这样的速度，妈妈出发后经过(    )分钟可以追上小明。 1.如图，(    )表示的两个量成正比例关系。 ‍ A.① B.② C.③ D.④ 2.有两个相关联的量，它们的关系可以用下图来表示的是(    )。 ‍ A.《小学生数学报》订阅的费用和订阅的数量 B.正方体的表面积和它的棱长 C.小华看《数学花园》，看了的页数和未看的页数 D.工作总量一定，工作时间和工作效率 3.有两个相关联的量，它们的关系可以用下图来表示，这两个量可能是(    )。 ‍ A.《小学生数学报》订阅的费用和订阅的数量 B.正方体的表面积和它的棱长 C.小明看《数学花园》，看过的页数和未看的页数 考点八：正比例的图像绘制 根据正比例关系数据绘制图像的步骤： 建系：确定横纵坐标（通常x为自变量，y为因变量）； 描点：根据表格数据在坐标系中描出对应点； 连线：用直线连接各点（必过原点）； 标注：注明图像代表的比例关系及比例系数 。 典例：买日记本的数量和总价的关系如下表。 数量/本 … 总价/元           … (1)将表格补充完整，根据表中的数据，先在图中描点，再顺次连接。 (2)观察表格发现，(    )没变，总价和数量之间成(    )比例。从图中可以看出，如果买本日记本，需要(    )元。 1.磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下表： 时间分 … 路程千米 … (1)图中的点表示时间为分钟时，磁悬浮列车行驶的路程为千米。请你试着描出其他各点。 (2)连接各点，它们(    )一条直线上。(填“在”或“不在”) (3)列车运行分钟，行驶的路程是(    )千米，行驶千米需要(    )分钟。 2.下面是某种汽车行驶路程和耗油量的对应表。 所行路程千米 耗油量升 (1)根据表中的数据，在下图中描出汽车行驶的路程和耗油量所对应的点，再按顺序连接起来。 ‍ (2)这辆汽车行驶的路程和耗油量成正比例吗，你是根据什么判断的？ (3)根据图像判断，汽车行驶千米的耗油量是(    )升，耗油升可以行驶(    )千米。 3.学校图书馆要购买一些书籍，购买《故事大王》的本数与总价的情况如下表： 本数 … 总价/元 … (1)把上面的表格填完整。 (2)根据表中数据，在下图中描出本数和总价所对应的点，再把这些点依次连起来。 ‍ (3)从图中可以知道，购买本《故事大王》需要(    )元；元可以购买(    )本《故事大王》。 考点九：反比例的图像 反比例关系的图像是双曲线，其核心特征为： 几何性质： 当 时，图像分布于第一、第三象限；当 时，分布于第二、第四象限； 曲线无限趋近坐标轴，但不与坐标轴相交。 图像功能：反映两种量的反向变化趋势，越靠近坐标轴，变量变化速率越缓。 平行四边形的底是厘米，高是厘米，和的关系如图所示。 ‍ (1)上面的图像表示的是(    )比例关系。 (2)点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米；点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米。 (3)平行四边形的面积是(    )平方厘米。 1.小明骑自行车从地去地，看图像回答问题。 ‍ (1)速度与时间是否成比例？如果成比例，成什么比例？ (2)观察图像，如果想要小时行完全程，平均每小时行(    )千米。 2.平行四边形的底是厘米，高是厘米，和的关系如图所示。 ‍ (1)上面是(    )比例关系的图像。 (2)点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米；点表示平行四边形的底是(    )厘米，高是(    )厘米。 (3)平行四边形的面积是多少平方厘米？ 3.活动课上，牛牛制作了一个太空泥长方体笔筒，他先用一袋立方厘米的太空泥制作成一个厚度为毫米的长方体底座。长方体底座的长和宽的关系如下图： ‍ (1)先根据图像把右侧的表格填写完整。 (2)长和宽成什么比例？说明理由。 (3)根据比例关系，当长为毫米时，宽为多少毫米？并在图中标出这点的位置。 (4)制作过程中，牛牛把制作好的底座进行一次变换，由底座变为底座厚度不变。已知底座与底座长的比是∶那么这两个底座的宽的比是(    )。 考点十：反比例的图像绘制 根据反比例关系数据绘制图像的步骤： 建系：确定横纵坐标（x、y均不为0）； 描点：计算多组对应值并描点（注意对称性）； 连线：用平滑曲线连接各点（避免直线连接）； 标注：注明图像代表的反比例关系及常数 。 反比例关系的图象是光滑的曲线。由下面的图象，你能看出容器的底面积分别是40平方厘米、50平方厘米、55平方厘米时，水的高度分别是多少吗？ 即时练习1.长方形的面积为，相邻的两条边x，y的关系如下表， （1）请先将表格填写完整。 x/m 1 2 6 12 y/m 12 4 3 1 （2）长方形相邻的两边长成什么比例关系？为什么？ （3）根据x和y的对应关系，在下图把对应点描出来，并连接各点。 即时练习2．两个数的乘积是12，将如表填完整。 一个因数 1 2 3 4 6 12 另一个因数 12 （1）利用如表，在如图中描出各点，并连接，你发现了什么？ （2）哪个量没有变？另外两个相关联的量成什么关系？ 考点十一：正反比例基础应用 运用正反比例解决简单实际问题的步骤： 审题：明确不变量（比值或乘积）； 建模：判断比例关系，设未知数； 列式：正比例用 ，反比例用 ； 求解：通过比例式或方程解答（如行程问题、购物问题）。 典例：李师傅加工一批零件的情况如下表。 时间时     数量个     (1)把表格填写完整。 (2)李师傅加工零件的数量和时间成正比例吗？说明理由。 (3)根据表中的数据，在下图中描出时间和数量的对应点，再把这些点连起来。 (4)点是直线上一点，表示什么含义？东东说点也在这条直线上，他说得对吗？ 1.甲车间加工一批零件，所需天数与每天加工的个数如下表。 每天加工的个数/个 所需天数/天 (1)每天加工的个数用表示，所需天数用表示，你能用式子表示出和与加工的零件总个数之间的关系吗？ (2)与成什么比例关系？ (3)如果这批零件需要半个月天完成，每天需要加工多少个？ 2.甲、乙两地公路长120千米，四辆不同的汽车行驶在这条公路上的平均速度如下表： ‍ (1)请你在上表中填写每辆汽车驶完这段路程所需要的时间。 (2)汽车行驶的速度和时间成什么比例？为什么？ (3)如果一辆汽车从甲地出发，要小时到达乙地，每小时行驶多少千米？ 3.某厂生产收音机，生产的天数和生产的总数量如下表所示： 总数量/个 天数/天 (1)写出表中两种相关联的量。 (2)写出几组相对应的两个数的比，并求出比值。 (3)说明这个比值所表示的意义。 (4)这两种相关联的量是否成正比例？为什么？ 4.小全、品品、博文和天骄每人买同一本《狼王梦》，他们看书的情况如下表。   小全 品品 博文 天骄 每天看的页数(页) 需要的天数(天)     (1)把表格补充完整。 (2)每天看的页数和需要的天数之间成什么比例？为什么？ (3)已经看了天，他们分别看了多少页？把下表填完整。   小全 品品 博文 天骄 已看的页数(页)         剩下的页数(页)         (4)已看的页数和剩下的页数成反比例吗？为什么？ 考点十二：正反比例复杂应用 解决涉及多变量、多关系或跨情境的综合问题： 复合比例：同一问题中同时存在正反比例（如“单价降低且销量增加时，销售额的变化分析”）； 工程与行程：通过效率、速度的反比例关系，结合总量不变列方程（如“进水管与出水管同时工作的注水时间计算”）； 动态分析：考虑极端值或变量范围（如“弹簧弹性限度内质量与伸长量的正比例关系”）。 典例：下面是一辆汽车行驶路程与耗油量之间的关系统计表。 行驶路程 … 耗油量 … (1)行驶路程与耗油量成什么比例？为什么？ (2)从地到地的路程有，这辆汽车从地到地需耗油多少升？(用比例解) (3)到达地后，油箱里还剩下汽油，该辆汽车还要去外的地，到达地后，再返回地，最后返回地。该辆汽车中途需要加油吗？ 1.小东家的客厅是正方形的，用边长是的方砖铺地，正好需要块。如果改用边长是的方砖铺地，需要多少块？(用比例解) 2.如图表示某工厂中甲、乙两个车间加工的零件数与时间的关系。 ‍ (1)乙车间生产的零件数与时间成正比例吗？为什么？ (2)如果生产万个零件，那么乙车间比甲车间少用几个月？ (3)根据图像信息，甲车间半个月加工多少万个零件？ 3.下图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况。 ‍ (1)这个进水管每分钟的进水量是(   )立方米。 (2)这个进水管的进水量与时间成(   )比例关系。 (3)照这样的速度，要给游泳池注水立方米，需要(   )小时，如果打开进水管分钟，能注水(   )立方米。 4.下面是汽车从甲地到乙地行驶完全程所需时间与平均行驶速度的图像。 ‍ (1)速度和时间是否成比例关系？如果成比例关系，成什么比例关系？ (2)如果要小时行完全程，平均每小时要行驶多少千米？ — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$