（八大易错点+六大培优点）第二单元 圆柱和圆锥（3）圆锥的体积-六年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）苏教版

苏教版六年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第二单元 圆柱和圆锥（3）圆锥的体积 思维导图 易错讲解 易错点1：混淆圆锥与圆柱体积公式 在计算圆锥体积时，由于对圆锥体积公式（是底面积，是高）掌握不扎实，容易直接套用圆柱体积公式。 例题：一个圆锥的底面半径是 2 厘米，高是 6 厘米，求它的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：对圆锥和圆柱体积公式的差异理解不足，没有意识到圆锥体积是等底等高圆柱体积的。 【正确解答】：先计算底面积（平方厘米），再根据圆锥体积公式（立方厘米）。 易错点 2：对圆锥体积公式变形理解偏差 已知圆锥体积和底面积求高，或已知体积和高求底面积时，不能正确运用公式的变形。由可得， ，但容易忘记乘 3。 例题：已知圆锥体积是 50 立方厘米，底面积是 10 平方厘米，求高。 【错误解答】：（厘米） 【错因分析】：没有正确理解公式变形，忘记体积先乘 3。 【正确解答】：（厘米）。 易错点 3：忽略圆锥等底等高关系的前提 在比较圆柱和圆锥体积关系，或者进行相关计算时，没有考虑 “等底等高” 这个前提条件。 例题：判断 “圆柱的体积一定是圆锥体积的 3 倍”。 【错误解答】：√ 【错因分析】：没有明确只有在等底等高的情况下，圆柱体积才是圆锥体积的 3 倍。 【正确解答】：×，缺少等底等高这个前提，圆柱和圆锥体积关系不确定。 易错点 4：把圆柱削成圆锥时体积关系错误 把圆柱削成最大圆锥时，对削去部分体积与圆柱、圆锥体积之间的关系理解错误。 例题：圆柱体积是 80 立方分米，削成最大圆锥，求削去部分体积。 【错误解答】：（立方分米） 【错因分析】：没有理解等底等高的圆柱削成最大圆锥时，削去部分体积是圆柱体积的，是圆锥体积的 2 倍。 【正确解答】：（立方分米）。 易错点 5：多个圆锥组合体积计算错误 在计算多个圆锥组合在一起的体积时，容易遗漏部分圆锥体积或者重复计算。 例题：有三个相同的圆锥，底面半径是 2 厘米，高是 3 厘米，求它们组合在一起的体积。 【错误解答】：（立方厘米），只算了一个圆锥体积。 【错因分析】：没有看清是三个圆锥组合，计算时遗漏另外两个。 【正确解答】：（立方厘米）。 易错点 6：圆锥沿高切开后表面积增加量计算错误 把圆锥沿高切开后，计算表面积增加部分时，没有正确认识到增加的是两个三角形的面积，且对三角形的底和高与圆锥的关系理解不清。 例题：圆锥底面直径是 10 厘米，高是 6 厘米，沿高切开，求表面积增加多少。 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：沿高切开后增加的是两个以底面直径为底，圆锥高为高的三角形面积，不是一个三角形。 【正确解答】：增加的面积为平方厘米。 易错点 7：在比例问题中圆锥体积关系错误 在涉及圆锥体积的比例问题中，如已知两个圆锥高、底面半径等的比例关系，求体积比时，不能正确运用圆锥体积公式进行推导。 例题：两个圆锥，高之比为 2:3，底面半径之比为 1:2，求它们体积之比。 【错误解答】：认为体积比是 2:3×1:2 = 1:3。 【错因分析】：没有根据圆锥体积公式，分别将半径和高的比例代入公式进行计算。 【正确解答】：设两个圆锥高分别为和，底面半径分别为和，则体积分别为，，。 易错点 8：圆锥体积与其他立体图形组合时空间想象不足 当圆锥与其他立体图形（如长方体、正方体等）组合，计算相关体积、表面积等问题时，由于空间想象能力不足，无法准确分析图形之间的关系。 例题：一个正方体容器棱长为 6 分米，里面装满水，将水倒入一个底面半径为 3 分米，高为 8 分米的圆锥形容器中，水是否会溢出？ 【错误解答】：无法判断或随意判断。 【错因分析】：不能准确计算正方体体积和圆锥体积并进行比较，对两者空间关系想象不清晰。 【正确解答】：正方体体积立方分米，圆锥体积立方分米，因为，所以水会溢出 重难点培优 圆锥体取出 / 放入容器 需结合圆锥体积公式计算水面变化 如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】依题意，下降部分的水的体积等于圆锥的体积，先依据圆锥的体积计算公式V＝Sh，求出圆锥形状的铅锤的体积，即求出了下降部分的水的体积，再求出圆柱形玻璃杯的底面积即下降部分水的底面积， 最后用下降部分水的体积除以底面积求出杯里的水下降了多少厘米。 【详解】3.14×（6÷2）²×20× ＝3.14×9×20× ＝28.26×20× ＝188.4（立方厘米） 3.14×（20÷2）² ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 188.4÷314＝0.6（厘米） 答：杯中的水下降0.6厘米。 1.往一个底面直径是10cm，高是8cm的圆柱形容器中装水，里面浸没一个底面直径6cm，高7.5cm的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里水面下降了多少厘米？ 2.一个圆柱形水桶，底面直径是4分米，里面盛有8分米深的水，现将个底面直径为2分米的圆锥形铁块沉浸在水桶中（水未溢出），水面比原来上升了，圆锥形铁块的高是多少分米？（π取值3.14） 倒置容器液体分配 倒置前后体积不变，结合圆柱和圆锥公式 一个容器形状如图，水面的高度如图所示．如果把这个容器倒过来，水面的高会是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】图中装水的部分下面是一个圆锥，上面是一个圆柱，并且圆柱和圆锥的底面积相等，如果把这个容器倒过来，水的体积没有变．所以可以先求出装水的部分下面的圆锥的体积和上面的圆柱的体积，容器倒过来装水的部分全是圆柱，水的体积没有变，底面积也没有变，用体积除以底面积求出水面的高． 【解析】解：设圆柱的底面积为S． 装水部分圆锥的体积：×18=6S 装水部分圆柱的体积：S×（22-18）=4S 水的体积：6S+4S=10S 容器倒过后水面的高：10S÷S=10（厘米） 答：水面的高会是10厘米． 1.如图，倒过来后，水面的高度是多少厘米？ 2.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 部分填充与比例关系 利用高度比例推算体积 如图所示是一个圆锥形容器，装入37.68毫升的水，容器高度正好是水面高度的3倍，水面半径和容器口的半径之比是1∶3，这个圆锥形容器的容积是多少毫升？ 【答案】1017.36毫升 【分析】将比的前后项看成份数，容器底面半径÷对应份数×装入的水的底面半径对应份数＝水的底面半径；根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出水面高度，水面高度×3＝容器的高，再根据圆锥体积＝底面积×高÷3，即可求出这个圆锥形容器的容积。 【解析】9÷3×1＝3（厘米） 37.68毫升＝37.68立方厘米 37.68×3÷（3.14×32） ＝113.04÷（3.14×9） ＝113.04÷28.26 ＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 3.14×92×12÷3 ＝3.14×81×12÷3 ＝1017.36（立方厘米） ＝1017.36（毫升） 答：这个圆锥形容器的容积是1017.36毫升。 【总结】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆锥体积公式。 1.圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装水多少升？ 2.如下图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？ 3.一个圆锥形容器的容积是10升，容器中已装有一些水，水面的高度正好是圆锥高度的一半。容器中装有多少升的水？ 沙堆 / 铺路问题（体积转换） 圆锥→长方体体积转换 一个圆锥形砂堆，底面积是12.56平方米，高是6米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？(用方程解答) 【答案】12.56米 【分析】根据题意，圆锥的体积和铺在公路上后构成的长方体的体积是相等的，据此列出等量关系，进而解方程即可。 【解析】解：设能铺x米长。 20厘米＝0.2米 10×0.2＋x＝12.56×6÷3 x＝12.56 答：能铺12.56米长。 【总结】本题考查圆锥和长方体体积计算的实际应用问题，根据体积不变，列出等量关系是解题的关键。 1.一个圆锥形沙堆，高2米，绕沙堆走一圈要走18.84米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，那么沙坑里的沙子的厚度是多少厘米？ 2.工地上有6堆完全一样的圆锥形沙堆，测得一堆沙堆的底面直径为4米，高1.5米，把这6堆沙子均匀地铺在宽20米的路上，铺2厘米厚，能铺多少米？ 3.一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 平面图形旋转形成立体体积 旋转轴与体积计算（梯形→圆台） 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米 【分析】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解，然后比较三个立体图形的体积，得出结论。 【解析】甲的体积： 3.14×32×6－×3.14×32×（6－3） ＝3.14×9×6－×3.14×9×3 ＝3.14×54－3.14×9 ＝169.56－28.26 ＝141.3（立方厘米） 乙的体积： ×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3 ＝×3.14×9×3＋3.14×9×3 ＝3.14×9＋3.14×27 ＝28.26＋84.78 ＝113.04（立方厘米） 丙的体积： 延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径3厘米，圆台的高3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是3厘米。 ×3.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3 ＝×3.14×36×6－×3.14×9×3 ＝3.14×72－3.14×9 ＝226.08－28.26 ＝197.82（立方厘米） 197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。 答：我同意小花的说法。甲的体积是141.3立方厘米，乙的体积是113.04立方厘米，丙的体积是197.82立方厘米。 【总结】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。 1.如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 2.在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考： （1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。 （2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点o。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 注水 / 排水时间与体积关系（组合容器联动注水） 圆柱 + 圆锥组合注水过程分析，需分段列方程 一个圆柱体的容器内放有一个圆锥形铁块。现打开水龙头向容器内注水。2分钟时，水恰好没过铁块的顶点；再过了3分钟，水恰好注满容器。已知圆柱形容器的底面积为72平方厘米，它的高是21厘米；圆锥形铁块的高为9厘米，则铁块的底面积是多少？ 【答案】24平方厘米 【分析】由题意得：圆柱体容器的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，根据“2分钟时，水恰好没过铁块的顶点，再过了3分钟，水恰好注满容器”可知：后3分钟注入的水的体积是底面积72平方厘米，高为：21－9＝12厘米的圆柱体的体积，所以可以求出一分钟注入的水的体积，再进一步求出一共注入的水的体积，用圆柱的体积－一共注入的水的体积＝圆锥铁块的体积，所以再根据圆锥的底面积＝圆锥体积×3÷圆锥的高，即可求出圆锥铁块的底面积。 【解析】一分钟注入的水的体积为： 72×（21－9）÷3 ＝72×12÷3 ＝864÷3 ＝288（立方厘米） 5分钟注入水的体积是：288×5＝1440（立方厘米） 圆锥体积： 72×21－1440 ＝1512－1440 ＝72（立方厘米） 所以圆锥的底面积为：72×3÷9＝24（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是24平方厘米。 【总结】此题数量关系比较复杂，解题的关键是根据圆柱的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，这样就化难为简。 1.一个密封容器由等高的圆锥体和圆柱体组成，圆锥体的底面半径为3分米，圆柱体的底面半径为2分米。容器内装有水，如果按图1放置，水深比圆柱高的一半多1分米，如果颠倒这个容器（如图2），那么容器中的水刚好装2满圆锥部分。这个容器中圆柱部分的高是多少分米，这个容器的容积是多少升？ — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏教版六年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第二单元 圆柱和圆锥（3）圆锥的体积 思维导图 易错讲解 易错点1：混淆圆锥与圆柱体积公式 在计算圆锥体积时，由于对圆锥体积公式（是底面积，是高）掌握不扎实，容易直接套用圆柱体积公式。 例题：一个圆锥的底面半径是 2 厘米，高是 6 厘米，求它的体积。 【错误解答】：（立方厘米） 【错因分析】：对圆锥和圆柱体积公式的差异理解不足，没有意识到圆锥体积是等底等高圆柱体积的。 【正确解答】：先计算底面积（平方厘米），再根据圆锥体积公式（立方厘米）。 易错点 2：对圆锥体积公式变形理解偏差 已知圆锥体积和底面积求高，或已知体积和高求底面积时，不能正确运用公式的变形。由可得， ，但容易忘记乘 3。 例题：已知圆锥体积是 50 立方厘米，底面积是 10 平方厘米，求高。 【错误解答】：（厘米） 【错因分析】：没有正确理解公式变形，忘记体积先乘 3。 【正确解答】：（厘米）。 易错点 3：忽略圆锥等底等高关系的前提 在比较圆柱和圆锥体积关系，或者进行相关计算时，没有考虑 “等底等高” 这个前提条件。 例题：判断 “圆柱的体积一定是圆锥体积的 3 倍”。 【错误解答】：√ 【错因分析】：没有明确只有在等底等高的情况下，圆柱体积才是圆锥体积的 3 倍。 【正确解答】：×，缺少等底等高这个前提，圆柱和圆锥体积关系不确定。 易错点 4：把圆柱削成圆锥时体积关系错误 把圆柱削成最大圆锥时，对削去部分体积与圆柱、圆锥体积之间的关系理解错误。 例题：圆柱体积是 80 立方分米，削成最大圆锥，求削去部分体积。 【错误解答】：（立方分米） 【错因分析】：没有理解等底等高的圆柱削成最大圆锥时，削去部分体积是圆柱体积的，是圆锥体积的 2 倍。 【正确解答】：（立方分米）。 易错点 5：多个圆锥组合体积计算错误 在计算多个圆锥组合在一起的体积时，容易遗漏部分圆锥体积或者重复计算。 例题：有三个相同的圆锥，底面半径是 2 厘米，高是 3 厘米，求它们组合在一起的体积。 【错误解答】：（立方厘米），只算了一个圆锥体积。 【错因分析】：没有看清是三个圆锥组合，计算时遗漏另外两个。 【正确解答】：（立方厘米）。 易错点 6：圆锥沿高切开后表面积增加量计算错误 把圆锥沿高切开后，计算表面积增加部分时，没有正确认识到增加的是两个三角形的面积，且对三角形的底和高与圆锥的关系理解不清。 例题：圆锥底面直径是 10 厘米，高是 6 厘米，沿高切开，求表面积增加多少。 【错误解答】：（平方厘米） 【错因分析】：沿高切开后增加的是两个以底面直径为底，圆锥高为高的三角形面积，不是一个三角形。 【正确解答】：增加的面积为平方厘米。 易错点 7：在比例问题中圆锥体积关系错误 在涉及圆锥体积的比例问题中，如已知两个圆锥高、底面半径等的比例关系，求体积比时，不能正确运用圆锥体积公式进行推导。 例题：两个圆锥，高之比为 2:3，底面半径之比为 1:2，求它们体积之比。 【错误解答】：认为体积比是 2:3×1:2 = 1:3。 【错因分析】：没有根据圆锥体积公式，分别将半径和高的比例代入公式进行计算。 【正确解答】：设两个圆锥高分别为和，底面半径分别为和，则体积分别为，，。 易错点 8：圆锥体积与其他立体图形组合时空间想象不足 当圆锥与其他立体图形（如长方体、正方体等）组合，计算相关体积、表面积等问题时，由于空间想象能力不足，无法准确分析图形之间的关系。 例题：一个正方体容器棱长为 6 分米，里面装满水，将水倒入一个底面半径为 3 分米，高为 8 分米的圆锥形容器中，水是否会溢出？ 【错误解答】：无法判断或随意判断。 【错因分析】：不能准确计算正方体体积和圆锥体积并进行比较，对两者空间关系想象不清晰。 【正确解答】：正方体体积立方分米，圆锥体积立方分米，因为，所以水会溢出 重难点培优 圆锥体取出 / 放入容器 需结合圆锥体积公式计算水面变化 如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱的玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米的圆锥形状的铅锤，当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】依题意，下降部分的水的体积等于圆锥的体积，先依据圆锥的体积计算公式V＝Sh，求出圆锥形状的铅锤的体积，即求出了下降部分的水的体积，再求出圆柱形玻璃杯的底面积即下降部分水的底面积， 最后用下降部分水的体积除以底面积求出杯里的水下降了多少厘米。 【详解】3.14×（6÷2）²×20× ＝3.14×9×20× ＝28.26×20× ＝188.4（立方厘米） 3.14×（20÷2）² ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 188.4÷314＝0.6（厘米） 答：杯中的水下降0.6厘米。 1.往一个底面直径是10cm，高是8cm的圆柱形容器中装水，里面浸没一个底面直径6cm，高7.5cm的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，杯里水面下降了多少厘米？ 【答案】0.9厘米 【解析】圆锥的体积：3.14×（6÷2）2×7.5÷3＝70.65（立方厘米） 圆柱的底面积：3.14×（10÷2）2＝ 78.5（平方厘米） 水面下降的高度：70.65÷78.5＝0.9（厘米） 2.一个圆柱形水桶，底面直径是4分米，里面盛有8分米深的水，现将个底面直径为2分米的圆锥形铁块沉浸在水桶中（水未溢出），水面比原来上升了，圆锥形铁块的高是多少分米？（π取值3.14） 【答案】6分米 【解析】水面上升部分的体积就是圆锥的体积，先求出圆锥的体积，再算出圆锥的高即可。 【解析】水面上升的高度：8×＝0.5（分米） 圆锥的体积：3.14×（4÷2）2×0.5 ＝3.14×4×0.5 ＝6.28（立方分米） 圆锥的高：6.28×3÷[3.14×（2÷2）2] ＝18.84÷3.14 ＝6（分米） 答：圆锥形铁块的高是6分米。 【总结】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积公式。 倒置容器液体分配 倒置前后体积不变，结合圆柱和圆锥公式 一个容器形状如图，水面的高度如图所示．如果把这个容器倒过来，水面的高会是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】图中装水的部分下面是一个圆锥，上面是一个圆柱，并且圆柱和圆锥的底面积相等，如果把这个容器倒过来，水的体积没有变．所以可以先求出装水的部分下面的圆锥的体积和上面的圆柱的体积，容器倒过来装水的部分全是圆柱，水的体积没有变，底面积也没有变，用体积除以底面积求出水面的高． 【解析】解：设圆柱的底面积为S． 装水部分圆锥的体积：×18=6S 装水部分圆柱的体积：S×（22-18）=4S 水的体积：6S+4S=10S 容器倒过后水面的高：10S÷S=10（厘米） 答：水面的高会是10厘米． 1.如图，倒过来后，水面的高度是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】图中水的体积是由圆柱和圆锥组成，倒过来后，圆锥部分的体积全部流入圆柱形，等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱的3倍，所以6厘米高的圆锥会变成6÷3高的圆柱，再加上原来圆柱的高即可。 【解析】（10－6）＋6÷3 ＝4＋2 ＝6（厘米） 答：水面的高度是6厘米。 【总结】本题考查了圆柱和圆锥的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍。 2.一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【答案】1620立方厘米 【分析】根据题意，设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于h的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积列式计算即可求解。 【解析】解：设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。 正放时水体积： 倒放时水体积： 则： 容器的容积为： ＝ ＝1296＋324 ＝1620（立方厘米） 答：这个容器的容积是1620立方厘米。 【总结】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是明白：容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积。 部分填充与比例关系 利用高度比例推算体积 如图所示是一个圆锥形容器，装入37.68毫升的水，容器高度正好是水面高度的3倍，水面半径和容器口的半径之比是1∶3，这个圆锥形容器的容积是多少毫升？ 【答案】1017.36毫升 【分析】将比的前后项看成份数，容器底面半径÷对应份数×装入的水的底面半径对应份数＝水的底面半径；根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出水面高度，水面高度×3＝容器的高，再根据圆锥体积＝底面积×高÷3，即可求出这个圆锥形容器的容积。 【解析】9÷3×1＝3（厘米） 37.68毫升＝37.68立方厘米 37.68×3÷（3.14×32） ＝113.04÷（3.14×9） ＝113.04÷28.26 ＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 3.14×92×12÷3 ＝3.14×81×12÷3 ＝1017.36（立方厘米） ＝1017.36（毫升） 答：这个圆锥形容器的容积是1017.36毫升。 【总结】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆锥体积公式。 1.圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装水多少升？ 【答案】42升 【分析】装水部分与整个容器的高之比是1∶2，可得底面直径比也是1∶2，底面积比是1²∶2²，体积比是1∶8，据此根据按比例分配应用题列式解答。 【解析】高之比：1∶2，底面积之比1²∶2²＝1∶4，体积之比：（1×1÷3）∶（2×4÷3）＝1∶8 6×8＝48（升） 48－6＝42（升） 答：这个容器还能装水42升。 【总结】本题考查了圆锥体积和按比例分配应用题，算式简单，想法很难，要认真思考。 2.如下图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？ 【答案】21升 【分析】由图可知，圆锥容器的底面半径是水的底面半径的2倍，设水的底面半径为r，则圆锥的底面半径为2r，根据圆锥的体积公式，写出圆锥容器的容积与水的体积之比，进而求出还能装的水的体积。 【解析】设设水的底面半径为r，那么水的体积与容器的容积之比为： （ πr2×）∶[π（2r）2h]，化简得：1∶8 3×8－3 ＝24－3 ＝21（升） 答：还能装下21升水。 【总结】此题考查了圆锥体积与比的综合应用，先求出容器容积与水的体积之比是解题关键。 3.一个圆锥形容器的容积是10升，容器中已装有一些水，水面的高度正好是圆锥高度的一半。容器中装有多少升的水？ 【答案】升 【分析】我们可以假设容器底面半径为r，高为h，则容器的容积可以表示为：πr²h，因为水面的高度正好是圆锥高度的一半，所以水面的圆的半径为容器底面半径的一半。即如图可知有水的部分是一个小圆锥，高为h，底面半径为r，则容器中水的容积可以表示为π×（r）²×h，最后用10升乘水的体积占容器总体积的几分之几即可解答。 【解析】解：设容器底面半径为r，高为h，有水的部分的圆锥底面半径为r，高为h。 容器的容积为：πr²h； 水的容积为：π×（r）²×h ＝π×r×r ×h ＝πr²h； πr²h÷πr²h＝，10×＝（升） 答：容器中装有升的水。 【总结】此题的关键是因为水面的高度正好是圆锥高度的一半，所以水面的圆的半径为容器底面半径的一半，再通过所学的圆锥体积公式的知识求出答案。 沙堆 / 铺路问题（体积转换） 圆锥→长方体体积转换 一个圆锥形砂堆，底面积是12.56平方米，高是6米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？(用方程解答) 【答案】12.56米 【分析】根据题意，圆锥的体积和铺在公路上后构成的长方体的体积是相等的，据此列出等量关系，进而解方程即可。 【解析】解：设能铺x米长。 20厘米＝0.2米 10×0.2＋x＝12.56×6÷3 x＝12.56 答：能铺12.56米长。 【总结】本题考查圆锥和长方体体积计算的实际应用问题，根据体积不变，列出等量关系是解题的关键。 1.一个圆锥形沙堆，高2米，绕沙堆走一圈要走18.84米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，那么沙坑里的沙子的厚度是多少厘米？ 【答案】62.8厘米 【分析】先根据r＝C÷π÷2，求出圆锥形沙堆的底面半径；然后根据V锥＝πr2h，求出圆锥形沙堆的体积；用这堆沙子去填一个长方体沙坑，那么沙子的体积不变，根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算即可求出沙坑里的沙子的厚度；最后根据进率“1米＝100厘米”换算单位。 【解析】圆锥形沙堆的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 圆锥形沙堆的体积： ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝3.14×6 ＝18.84（立方米） 沙子的厚度： 18.84÷（7.5×4） ＝18.84÷30 ＝0.628（米） 0.628米＝62.8厘米 答：沙坑里的沙子的厚度是62.8厘米。 【总结】本题考查圆锥、长方体体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 2.工地上有6堆完全一样的圆锥形沙堆，测得一堆沙堆的底面直径为4米，高1.5米，把这6堆沙子均匀地铺在宽20米的路上，铺2厘米厚，能铺多少米？ 【答案】94.2米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出一堆沙堆的体积，再乘6，求出6堆沙堆的体积；然后把这些沙子均匀铺在路面上，沙子的体积不变，已知路面的宽和厚度，根据长方体的长a＝V÷b÷h，代入数据计算，即可求出能铺的长度。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解析】2厘米＝0.02米 ×3.14×（4÷2）2×1.5×6 ＝×3.14×4×1.5×6 ＝3.14×12 ＝37.68（立方米） 37.68÷20÷0.02 ＝1.884÷0.02 ＝94.2（米） 答：能铺94.2米。 【总结】本题考查圆锥的体积、长方体的体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 3.一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 【答案】628米 【分析】先求出这堆沙的体积，再根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度。 【解析】沙堆的底面半径： 62.8÷（3.14×2） ＝62.8÷6.28 ＝10（米） 沙堆的体积： ×3.14×102×6 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方米） 所铺沙子的长度： 628÷（10×0.1） ＝628÷1 ＝628（米） 答：长方体沙地的长是628米。 【总结】本题考查了圆锥的体积公式和长方体的体积公式，关键是沙子的体积不变。 平面图形旋转形成立体体积 旋转轴与体积计算（梯形→圆台） 小明、小花两人分别以直角梯形的上底、下底和高所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周，得到了甲、乙、丙三个立体图形。小明说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后甲、乙、丙三个立体图形的体积也相等。小花说：我不同意你的看法，我认为三个立体图形的体积不相等。 你同意谁的说法？甲、乙、丙三个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】小花；甲141.3立方厘米；乙113.04立方厘米；丙197.82立方厘米 【分析】观察各立体图形可知，图形甲的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，图形乙的体积＝圆锥的体积＋圆柱的体积，图形丙的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解，然后比较三个立体图形的体积，得出结论。 【解析】甲的体积： 3.14×32×6－×3.14×32×（6－3） ＝3.14×9×6－×3.14×9×3 ＝3.14×54－3.14×9 ＝169.56－28.26 ＝141.3（立方厘米） 乙的体积： ×3.14×32×（6－3）＋3.14×32×3 ＝×3.14×9×3＋3.14×9×3 ＝3.14×9＋3.14×27 ＝28.26＋84.78 ＝113.04（立方厘米） 丙的体积： 延长圆台的两边相交于一点，形成一个大圆锥，由小圆锥的底面半径3厘米，圆台的高3厘米，推出这是一个等腰直角三角形，由此得出小圆锥的高是3厘米。 ×3.14×62×（3＋3）－×3.14×32×3 ＝×3.14×36×6－×3.14×9×3 ＝3.14×72－3.14×9 ＝226.08－28.26 ＝197.82（立方厘米） 197.82＞141.3＞113.04，所以三个立体图形的体积不相等。 答：我同意小花的说法。甲的体积是141.3立方厘米，乙的体积是113.04立方厘米，丙的体积是197.82立方厘米。 【总结】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确以同一个平面图形的不同线段为轴旋转，形成立体图形的体积不相等。 1.如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 【答案】197.82立方厘米 【分析】如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。 【解析】由分析可得： 分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC， 在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米； 大圆锥体积：×3.14×62×6 ＝×3.14×36×6 ＝（×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝（×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 【总结】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。 2.在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考： （1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。 （2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点o。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）见解析 （2）565.2立方厘米 【分析】（1）左边梯形可以看成三角形和长方形，下边长方形旋转一周是圆柱，上边三角形绕直角边旋转一周是圆锥，即圆柱上边摞一个圆锥；右边提醒是绕上底旋转，相当于圆柱上边挖去一个倒着的圆锥，据此作图。 （2）这个立体图形可以看成两个圆锥削掉上半部分然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。 【解析】（1）； （2）设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，则 V＝×6²×10×π－2××3²×5×π ＝120π－30π ＝90π（立方厘米） 2V＝180π＝565.2（立方厘米） 答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米。 【总结】关键是熟悉圆柱和圆锥的特点，圆锥体积＝底面积×高×。 注水 / 排水时间与体积关系（组合容器联动注水） 圆柱 + 圆锥组合注水过程分析，需分段列方程 一个圆柱体的容器内放有一个圆锥形铁块。现打开水龙头向容器内注水。2分钟时，水恰好没过铁块的顶点；再过了3分钟，水恰好注满容器。已知圆柱形容器的底面积为72平方厘米，它的高是21厘米；圆锥形铁块的高为9厘米，则铁块的底面积是多少？ 【答案】24平方厘米 【分析】由题意得：圆柱体容器的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，根据“2分钟时，水恰好没过铁块的顶点，再过了3分钟，水恰好注满容器”可知：后3分钟注入的水的体积是底面积72平方厘米，高为：21－9＝12厘米的圆柱体的体积，所以可以求出一分钟注入的水的体积，再进一步求出一共注入的水的体积，用圆柱的体积－一共注入的水的体积＝圆锥铁块的体积，所以再根据圆锥的底面积＝圆锥体积×3÷圆锥的高，即可求出圆锥铁块的底面积。 【解析】一分钟注入的水的体积为： 72×（21－9）÷3 ＝72×12÷3 ＝864÷3 ＝288（立方厘米） 5分钟注入水的体积是：288×5＝1440（立方厘米） 圆锥体积： 72×21－1440 ＝1512－1440 ＝72（立方厘米） 所以圆锥的底面积为：72×3÷9＝24（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是24平方厘米。 【总结】此题数量关系比较复杂，解题的关键是根据圆柱的容积＝2分钟注入水的体积＋3分钟注入水的体积＋圆锥体铁块的体积，这样就化难为简。 1.一个密封容器由等高的圆锥体和圆柱体组成，圆锥体的底面半径为3分米，圆柱体的底面半径为2分米。容器内装有水，如果按图1放置，水深比圆柱高的一半多1分米，如果颠倒这个容器（如图2），那么容器中的水刚好装2满圆锥部分。这个容器中圆柱部分的高是多少分米，这个容器的容积是多少升？ 【答案】4分米；87.92升 【分析】设圆柱和圆锥的高都是h分米，那么可以表示出两种情况下的水的体积，根据水的体积相等，列方程求解。 【解析】解：设圆柱和圆锥的高都是h分米； （升） 答：这个容器中圆柱部分的高是4分米；这个容器的容积是87.92升。 【总结】本题主要考查的是圆柱、圆锥的体积计算，解题的关键是根据水的体积不变列方程。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$