（九大易错点+九大培优点）第二单元 圆柱和圆锥（2）圆柱的体积-六年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）苏教版

苏教版六年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第二单元 圆柱和圆锥（2）圆柱的体积 思维导图 易错讲解 易错点1：对圆柱的侧面积和体积公式掌握不熟练，导致判断错误。 判断：圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的4倍，体积也扩大到原来的4倍。( ) 【错误解答】√ 【错因分析】错误解答错在没有意识到圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，则它的底面积扩大到原来的42倍。圆柱的高不变，根据公式V=Sh,则圆柱的体积扩大到原来的42倍，即16倍。 【正确解答】× 【总结】圆柱的高不变，若圆柱的底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则圆柱的体积扩大到原来的n²倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的,则体积缩小到原来的。 易错点2：直径与半径混淆 已知圆柱底面直径是 10 厘米，高是 12 厘米，把它铸造成底面积是 157 平方厘米的长方体，求长方体的高。 【错误解答】 错误算圆柱体积：3.14×10×10×12 = 3768 立方厘米。 错误算长方体高：3768÷157 = 24 厘米。 【错因分析】：计算圆柱体积时，将直径直接当作半径代入公式，没有先将直径除以 2 得到半径，导致圆柱体积计算错误，从而长方体高也错误。 【正确解答】 先求圆柱半径：10÷2 = 5 厘米。 正确算圆柱体积：3.14×5×5×12 = 942 立方厘米。 正确算长方体高：942÷157 = 6 厘米。 易错点3：单位换算问题 圆柱形容器底面半径是 3 分米，倒入 70.65 升水，求水深。 【错误解答】 70.65 升 = 70.65 立方分米 。 错误算水深：70.65÷(3.14×3×3)=2.5 分米，2.5 分米 = 25 厘米。 【错因分析】：在计算时没有先统一单位，直接将不同单位的数据代入公式进行计算，虽然最后结果数值正确，但计算过程不符合规范，容易出错。 【正确解答】 先换算单位，3 分米 = 30 厘米 ，70.65 升 = 70650 立方厘米。 算圆柱底面积：3.14×30×30 = 2826 平方厘米。 正确算水深：70650÷2826 = 25 厘米。 易错点4：表面积与体积公式混淆 制作一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是 4 分米，高是 5 分米，求需要多少平方分米的铁皮和这个水桶能装多少升水。 【错误解答】 错误算铁皮面积（当成体积算）：3.14×(4÷2)×(4÷2)×5 = 62.8 平方分米。 错误算装水量（当成表面积算）：3.14×4×5 + 3.14×(4÷2)×(4÷2)=75.36 升。 【错因分析】：对圆柱表面积和体积的概念以及计算公式理解不清晰，在实际应用中不能正确区分和运用，导致公式使用错误。 【正确解答】 算铁皮面积（无盖圆柱表面积）： 先算底面积：3.14×(4÷2)×(4÷2)=12.56 平方分米。 再算侧面积：3.14×4×5 = 62.8 平方分米。 正确算无盖圆柱表面积：12.56 + 62.8 = 75.36 平方分米。 算装水量（体积）：3.14×(4÷2)×(4÷2)×5 = 62.8 立方分米，62.8 立方分米 = 62.8 升。 易错点5：已知底面周长求体积时半径计算错误 圆柱侧面展开是正方形，正方形周长是 50.24 厘米，求圆柱体积。 【错误解答】 先算正方形边长（也是圆柱底面周长和高）：50.24÷4 = 12.56 厘米。 错误算半径：12.56÷3.14 = 4 厘米。 错误算圆柱体积：3.14×4×4×12.56 = 631.0144 立方厘米。 【错因分析】：由底面周长计算半径时，忘记了公式中需要除以 2π，只除以了 3.14，导致半径计算错误，进而圆柱体积计算错误。 【正确解答】 先算正方形边长（也是圆柱底面周长和高）：50.24÷4 = 12.56 厘米。 正确算半径：12.56÷(2×3.14)=2 厘米。 正确算圆柱体积：3.14×2×2×12.56 = 157.7536 立方厘米。 易错点 6：圆柱侧面展开图与圆柱关系理解不清 圆柱高增加 2 厘米，表面积增加 50.24 平方厘米，求增加部分的体积。 【错误解答】 算底面周长：50.24÷2 = 25.12 厘米。 错误算半径：25.12÷3.14÷2 = 4 厘米。 错误算增加部分体积：3.14×4×4×2 = 100.48 立方厘米。 【错因分析】：没有正确理解增加的表面积与圆柱底面周长、半径以及高之间的关系，在计算半径时出现错误，虽然最后体积数值正确，但计算过程的原理理解有误。 【正确解答】 算底面周长：50.24÷2 = 25.12 厘米。 正确算半径：25.12÷(2×3.14)=4 厘米。 正确算增加部分体积：3.14×4×4×2 = 100.48 立方厘米。 易错点 7：圆柱横截后表面积和体积概念混淆 把长 3 米的圆柱形钢材截成两段后，表面积增加 0.28 平方分米，求原来钢材的体积。 【错误解答】：错误以为钢材体积是 0.28 立方分米。 【错因分析】：对圆柱横截后表面积和体积的变化理解错误，将增加的表面积直接等同于体积，没有认识到增加的表面积是两个底面的面积，而体积需要用底面积乘以高来计算。 【正确解答】 先换算单位，3 米 = 30 分米。 算底面积：0.28÷2 = 0.14 平方分米。 正确算钢材体积：0.14×30 = 4.2 立方分米。 易错点 8：空心圆柱体积计算错误 空心圆柱外半径是 5 厘米，内半径是 3 厘米，高是 10 厘米，求它的体积。 【错误解答】：错误算体积：3.14×5×5×10 = 785 立方厘米。 【错因分析】：计算空心圆柱体积时，没有考虑空心部分，直接用外圆柱的体积公式计算，忽略了需要减去内圆柱的体积。 【正确解答】 先算 5×5 - 3×3 = 16 。 正确算空心圆柱体积：3.14×16×10 = 502.4 立方厘米。 易错点 9：圆柱半径变化对体积影响理解错误 圆柱半径扩大 3 倍，高不变，设原来半径是 r，高是 h，求体积扩大的倍数。 【错误解答】：错误以为体积扩大 3 倍。 【错因分析】：没有理解圆柱体积公式中半径与体积的关系，体积与半径的平方成正比，半径扩大 3 倍，体积应扩大 3 的平方倍，即 9 倍，而不是 3 倍。 【正确解答】：原来体积是 3.14×r×r×h ， 半径扩大 3 倍后体积是 3.14×(3×r)×(3×r)×h = 9×(3.14×r×r×h)， 所以体积扩大 9 倍。 重难点培优 圆柱体积与高、半径的比例关系 给出圆柱半径或高的倍数变化、分数变化等条件，推导体积的变化情况，考查对圆柱体积公式V = πr²h中各变量关系的深度理解。 圆柱的底面半径和高同时扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的　 　倍，体积扩大为原来的　 　倍。 【答案】4；8 【解答】解：2×2=4； 2×2×2=8。 故答案为：4；8。 【分析】圆柱的侧面积=π×半径×2×高，圆柱的体积=π×半径2×高，圆柱的底面半径和高同时扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的4倍，体积扩大到原来的23倍。 1．一个圆柱底面半径扩大2倍，高不变，侧面积扩大　 　倍，体积扩大　 　倍。 2．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，这个圆柱的侧面积就扩大到原来的　 　倍 ，底面积扩大到原来的　 　倍，体积扩大到原来的　 　倍。 圆柱切割后体积计算 将圆柱进行不规则切割，如斜切、按特定比例切割，要求学生根据切割后的剩余部分或切去部分的条件，计算圆柱原本的体积或切割后各部分体积。 把长60厘米的圆柱体木料按3：2截成了一长一短两段，表面积总和增加了30平方厘米。截成的较长一个圆柱体木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：底面积30÷2=15（平方厘米） 较长圆柱的长为：60×=60×=36（厘米） 圆柱的体积15×36=540（立方厘米） 答：较长的圆柱的体积是540立方厘米。 【分析】圆柱体截成两个圆柱后，表面积是增加了两个圆柱的底面的面积，由此可以求出圆柱的底面积；利用比的意义求出较长的圆柱的长，再利用圆柱的体积公式即可解答。 1.把一根长2 m的圆柱形木料沿横截面截掉2dm，它的表面积减少了12.56 dm2，原来这根木料的体积是多少立方分米？ 2．把一根高6分米的圆柱形木料，沿直径对半切成两个半圆柱，表面积增加了48平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？ 3．把一个圆柱沿底面直径和高切成形状大小完全相同的两部分，结果表面积之和比原来增加112cm2，已知圆柱的高是8cm，这个圆柱的体积是多少平方厘米？ 排水法求体积 将物体浸没在圆柱形容器的水中，根据水面上升或下降的高度，结合圆柱底面积，利用排水法原理（物体体积等于排开液体的体积）来计算物体体积或者圆柱形容器的相关数据。 如图，一个圆柱形容器里有10cm深的水，内底面积是100cm2，放入一个棱长为6cm的正方体后，水面上升了多少厘米？(水不溢出) 【答案】解：6×6×6÷100 =216÷100 =2.16(cm) 答：水面上升了2.16cm。 【分析】正方体的棱长×棱长×棱长=正方体的体积，正方体的体积÷圆柱的内底面积=水面上升的高度。 1．一个底面周长是50.24分米的圆柱体玻璃缸中有6分米深的水，如果把一段底面半径6分米的圆钢没入水中，水面就上升到8分米，求这段圆钢的高。 2．一个长8dm、宽5dm、高4dm的水槽，里面装有100升水。在这个水槽中放入一底面积为10dm，高2dm的圆柱形物体，水将上升到几分米? 流水场景下的圆柱体积问题 以水管流水为情境，给出水管的圆柱内径、水流速度、流水时间等条件，要求学生计算流出水的体积或者根据水的体积反推相关数据。 自来水管内直径是2cm，水管内水流速度是8cm/s，一位同学到水池边洗手，走时忘了关水龙头，4分钟浪费　 　升水。 【答案】6.0288 【解答】[3.14×（2÷2）2]×[8×（4×60）] =3.14×[8×240] =3.14×1920 =6028.8（立方厘米） =6028.8mL =6.0288L。 故答案为：6.0288。 【分析】浪费的水的体积（特殊的圆柱体体积）=水管的底面积[π×（直径÷2）的平方]×4分钟流水的长度（水流的速度×4分钟化成的秒数），代入数值计算即可。 1．去年冬天，学校的一根内直径2厘米的自来水管被冻裂，导致大量水流失。据了解水管内的水流速度约为每秒8厘米。算算看，如果1小时不修好水管，将会浪费水多少升？ 2．有一个水池，长12米，宽8米，深4.71米．现用一台抽水机从河里往水池里抽水。抽水机排水管直径2分米，排水管内水流速度为每秒钟2米。大约几小时能灌满水池？ 圆柱高增加减少问题 给出圆柱高增加或减少的数值，以及由此引起的体积变化或表面积变化等条件，让学生通过圆柱体积公式和表面积公式S侧 = 2πrh，两个底面积S底 = 2πr2，表面积S = S侧+ S底 的变化关系来计算圆柱原来的高、半径或体积等。 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【答案】解：3＋12=15（厘米） 94.2÷3÷3.14÷2 =31.4÷3.14÷2 =10÷2 =5（厘米） 3.14×52×15 =78.5×15 =1177.5（立方厘米） 答：这个圆柱体积原来是1177.5立方厘米。 【分析】这个圆柱原来的体积=π×半径2×高；其中，半径=减少的表面积÷减少的高÷π÷2。 1．小明用橡皮泥做了一个圆柱，他发现如果圆柱的底面直径增加2 cm，高不变，它的侧面积就增加了62.8 cm2 ；如果它的高增加3 cm，底面直径不变，它的侧面积就增加18.84cm2。这个圆柱原来的体积是多少立方厘米？ 2．一个高10厘米的圆柱，如果把它的高增加3厘米，那么它的表面积将增加94.2平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 结合展开图解决圆柱体积问题 给出圆柱的展开图，利用展开图中长方形的长（等于底面圆的周长）、宽（等于圆柱的高h）与圆柱底面周长、高的关系，以及圆的半径与周长的关系，通过已知展开图中的数据来计算圆柱体积。 下图是一个圆柱的平面展开图，根据图中的数据计算圆柱的体积. 【答案】解：3.14× ×(12－4)=3.14×4×8=100.48(立方厘米)答：圆柱的体积是100.48立方厘米. 【分析】圆柱的体积=底面积×高，由此用圆柱的底面积乘高求出圆柱的体积即可.注意圆柱的底面直径是4厘米，高是(12-4)厘米. 1.如图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个储水桶（接头处忽略不计），求这个储水桶的容积。 2.从一张铁皮上剪下图中的涂色部分（如图），正好可以做成一个底面直径是4分米的圆柱形油桶。 （1）这个油桶的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计） （2）请提出一个数学问题，并解答。 复杂切割与拼接问题（多步几何推理） 涉及圆柱多次切割或拼接的复杂情况，切割或拼接后表面积增加的部分与圆柱的底面积、直径、高存在多种关联。需要进行多步的几何推理，综合运用圆柱的相关知识，分析各部分之间的数量关系，从而求解体积等相关量。 把一个圆柱平均切成4块（如图一），表面积增加96cm2，切成3段（如图二），表面积增加50.24cm2。这个圆柱的体积是多少立方厘米? 【答案】解：（3-1）×2 =2×2 =4（个） 50.24÷4=12.56（平方厘米） 12.56÷3.14=4（平方厘米） 4÷2=2（厘米） 4×2=8（个） 96÷8÷2 =12÷2 =6（厘米） 3.14×4×6 =12.56×6 =75.36（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是75.36立方厘米。 【分析】 这个圆柱的体积=π×半径2×高；其中，半径2=图二增加的表面积÷增加面的个数÷π=4，则半径=4÷2=2；高=图一增加的表面积÷增加面的个数÷2。 1.把一块橡皮泥揉成圆柱形，平均切成三块(如图1)，表面积增加了50.24 cm2；平均切成四块(如图2)，表面积增加了48 cm2。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 2.有一根圆柱形木料，如果按图①所示切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示切成3块，表面积会增加314 cm2。这根木料的体积是多少立方厘米？ 容器倒置求相关体积问题 给出装有部分液体的瓶子，正放和倒置时液体和空余部分的相关数据，通过分析液体体积不变但形状改变的特点，结合圆柱体积公式求解瓶子的容积或液体体积。 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，容积是480毫升，现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料的高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米(如右图).瓶内现有饮料多少毫升？ 【答案】解：20＋4=24(厘米) (毫升)答：瓶内现有饮料400毫升. 【分析】根据两种摆法方法判断，这个圆柱形饮料瓶中的容积相当于高(20+4)厘米的圆柱的容积，用20除以(20+4)即可求出瓶内饮料占总容积的几分之几，然后用总容积乘饮料占的分率即可求出饮料的体积. 1．一个底面内半径是2cm的瓶子里，水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，如图所示，无水部分是圆柱形，这个瓶子的容积是多少? 2.有一种饮料瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，底面内直径为10厘米。现在瓶中装有一些饮料，正放时，底面饮料高度为10厘米，盖好瓶盖倒过来(如图)，量得空余部分的高是2.5厘米，这个瓶子的容积是多少毫升? 圆柱浸没物体水面变化深度计算问题 以圆柱形容器为背景，重点考查物体浸没在圆柱形容器的水中时，通过对水面上升、下降或溢出等变化情况的分析，结合圆柱的底面积、物体的形状特征等条件，深度运用圆柱体积公式及相关数学原理，精确计算物体的体积、高度或其他相关量。 一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米，现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？ 【答案】解：3.14×10×10×15÷（3.14×10×10-8×8） =314×15÷（314-64） =4710÷250 =18.84（厘米） 18.84-15=3.84（厘米） 答：水面上升了3.84厘米。 【分析】圆柱形玻璃杯内原来水的体积÷圆柱和长方体的底面积之差=放入铁块后玻璃杯内水面的高度；放入铁块后玻璃杯内水面的高度-原来水面的高度=水面上升的高度。 1.在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为3厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升8厘米。把这段钢材竖着拉出水面6厘米，水面下降4厘米，这段钢材的体积是多少立方厘米？ 2.六（1）班进行了一次测量铁球体积的实验，步骤如下： ⑴取一个底面直径是12厘米的圆柱形容器。注入部分水（如图①）； ⑵放入1号球，浸没在水中，水面上升4厘米（如图②）； ⑶再放入2号球，这时有部分水溢出（如图③）； ⑷取出2号球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 1号、2号两个铁球的体积分别是多少立方厘米？ — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏教版六年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第二单元 圆柱和圆锥（2）圆柱的体积 思维导图 易错讲解 易错点1：对圆柱的侧面积和体积公式掌握不熟练，导致判断错误。 判断：圆柱的高不变，底面直径扩大到原来的4倍，体积也扩大到原来的4倍。( ) 【错误解答】√ 【错因分析】错误解答错在没有意识到圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，则它的底面积扩大到原来的42倍。圆柱的高不变，根据公式V=Sh,则圆柱的体积扩大到原来的42倍，即16倍。 【正确解答】× 【总结】圆柱的高不变，若圆柱的底面半径、直径或周长扩大到原来的n倍，则圆柱的体积扩大到原来的n²倍；若底面半径、直径或周长缩小到原来的,则体积缩小到原来的。 易错点2：直径与半径混淆 已知圆柱底面直径是 10 厘米，高是 12 厘米，把它铸造成底面积是 157 平方厘米的长方体，求长方体的高。 【错误解答】 错误算圆柱体积：3.14×10×10×12 = 3768 立方厘米。 错误算长方体高：3768÷157 = 24 厘米。 【错因分析】：计算圆柱体积时，将直径直接当作半径代入公式，没有先将直径除以 2 得到半径，导致圆柱体积计算错误，从而长方体高也错误。 【正确解答】 先求圆柱半径：10÷2 = 5 厘米。 正确算圆柱体积：3.14×5×5×12 = 942 立方厘米。 正确算长方体高：942÷157 = 6 厘米。 易错点3：单位换算问题 圆柱形容器底面半径是 3 分米，倒入 70.65 升水，求水深。 【错误解答】 70.65 升 = 70.65 立方分米 。 错误算水深：70.65÷(3.14×3×3)=2.5 分米，2.5 分米 = 25 厘米。 【错因分析】：在计算时没有先统一单位，直接将不同单位的数据代入公式进行计算，虽然最后结果数值正确，但计算过程不符合规范，容易出错。 【正确解答】 先换算单位，3 分米 = 30 厘米 ，70.65 升 = 70650 立方厘米。 算圆柱底面积：3.14×30×30 = 2826 平方厘米。 正确算水深：70650÷2826 = 25 厘米。 易错点4：表面积与体积公式混淆 制作一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是 4 分米，高是 5 分米，求需要多少平方分米的铁皮和这个水桶能装多少升水。 【错误解答】 错误算铁皮面积（当成体积算）：3.14×(4÷2)×(4÷2)×5 = 62.8 平方分米。 错误算装水量（当成表面积算）：3.14×4×5 + 3.14×(4÷2)×(4÷2)=75.36 升。 【错因分析】：对圆柱表面积和体积的概念以及计算公式理解不清晰，在实际应用中不能正确区分和运用，导致公式使用错误。 【正确解答】 算铁皮面积（无盖圆柱表面积）： 先算底面积：3.14×(4÷2)×(4÷2)=12.56 平方分米。 再算侧面积：3.14×4×5 = 62.8 平方分米。 正确算无盖圆柱表面积：12.56 + 62.8 = 75.36 平方分米。 算装水量（体积）：3.14×(4÷2)×(4÷2)×5 = 62.8 立方分米，62.8 立方分米 = 62.8 升。 易错点5：已知底面周长求体积时半径计算错误 圆柱侧面展开是正方形，正方形周长是 50.24 厘米，求圆柱体积。 【错误解答】 先算正方形边长（也是圆柱底面周长和高）：50.24÷4 = 12.56 厘米。 错误算半径：12.56÷3.14 = 4 厘米。 错误算圆柱体积：3.14×4×4×12.56 = 631.0144 立方厘米。 【错因分析】：由底面周长计算半径时，忘记了公式中需要除以 2π，只除以了 3.14，导致半径计算错误，进而圆柱体积计算错误。 【正确解答】 先算正方形边长（也是圆柱底面周长和高）：50.24÷4 = 12.56 厘米。 正确算半径：12.56÷(2×3.14)=2 厘米。 正确算圆柱体积：3.14×2×2×12.56 = 157.7536 立方厘米。 易错点 6：圆柱侧面展开图与圆柱关系理解不清 圆柱高增加 2 厘米，表面积增加 50.24 平方厘米，求增加部分的体积。 【错误解答】 算底面周长：50.24÷2 = 25.12 厘米。 错误算半径：25.12÷3.14÷2 = 4 厘米。 错误算增加部分体积：3.14×4×4×2 = 100.48 立方厘米。 【错因分析】：没有正确理解增加的表面积与圆柱底面周长、半径以及高之间的关系，在计算半径时出现错误，虽然最后体积数值正确，但计算过程的原理理解有误。 【正确解答】 算底面周长：50.24÷2 = 25.12 厘米。 正确算半径：25.12÷(2×3.14)=4 厘米。 正确算增加部分体积：3.14×4×4×2 = 100.48 立方厘米。 易错点 7：圆柱横截后表面积和体积概念混淆 把长 3 米的圆柱形钢材截成两段后，表面积增加 0.28 平方分米，求原来钢材的体积。 【错误解答】：错误以为钢材体积是 0.28 立方分米。 【错因分析】：对圆柱横截后表面积和体积的变化理解错误，将增加的表面积直接等同于体积，没有认识到增加的表面积是两个底面的面积，而体积需要用底面积乘以高来计算。 【正确解答】 先换算单位，3 米 = 30 分米。 算底面积：0.28÷2 = 0.14 平方分米。 正确算钢材体积：0.14×30 = 4.2 立方分米。 易错点 8：空心圆柱体积计算错误 空心圆柱外半径是 5 厘米，内半径是 3 厘米，高是 10 厘米，求它的体积。 【错误解答】：错误算体积：3.14×5×5×10 = 785 立方厘米。 【错因分析】：计算空心圆柱体积时，没有考虑空心部分，直接用外圆柱的体积公式计算，忽略了需要减去内圆柱的体积。 【正确解答】 先算 5×5 - 3×3 = 16 。 正确算空心圆柱体积：3.14×16×10 = 502.4 立方厘米。 易错点 9：圆柱半径变化对体积影响理解错误 圆柱半径扩大 3 倍，高不变，设原来半径是 r，高是 h，求体积扩大的倍数。 【错误解答】：错误以为体积扩大 3 倍。 【错因分析】：没有理解圆柱体积公式中半径与体积的关系，体积与半径的平方成正比，半径扩大 3 倍，体积应扩大 3 的平方倍，即 9 倍，而不是 3 倍。 【正确解答】：原来体积是 3.14×r×r×h ， 半径扩大 3 倍后体积是 3.14×(3×r)×(3×r)×h = 9×(3.14×r×r×h)， 所以体积扩大 9 倍。 重难点培优 圆柱体积与高、半径的比例关系 给出圆柱半径或高的倍数变化、分数变化等条件，推导体积的变化情况，考查对圆柱体积公式V = πr²h中各变量关系的深度理解。 圆柱的底面半径和高同时扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的　 　倍，体积扩大为原来的　 　倍。 【答案】4；8 【解答】解：2×2=4； 2×2×2=8。 故答案为：4；8。 【分析】圆柱的侧面积=π×半径×2×高，圆柱的体积=π×半径2×高，圆柱的底面半径和高同时扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的4倍，体积扩大到原来的23倍。 1．一个圆柱底面半径扩大2倍，高不变，侧面积扩大　 　倍，体积扩大　 　倍。 【答案】4；8 【解答】解：侧面积扩大22=4倍，体积扩大23=8倍。 故答案为：4；8。 【分析】圆柱的半径扩大几倍，侧面积就扩大几2倍，体积扩大几3倍。 2．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，这个圆柱的侧面积就扩大到原来的　 　倍 ，底面积扩大到原来的　 　倍，体积扩大到原来的　 　倍。 【答案】2；4；4 【解答】解：侧面积S＝2πrh， S1＝2π2rh=2（2πrh）=2S， 底面积S＝πr2，S1＝π（2r）2=4πr2=4S， 体积V＝Sh，V1＝S1h=4Sh=4V； 故答案为：2；4；4。 【分析】根据圆柱体的侧面积公式：S＝2πrh，以及圆的面积公式：S＝πr2，圆柱体的体积公式：V＝Sh，据此求解。 圆柱切割后体积计算 将圆柱进行不规则切割，如斜切、按特定比例切割，要求学生根据切割后的剩余部分或切去部分的条件，计算圆柱原本的体积或切割后各部分体积。 把长60厘米的圆柱体木料按3：2截成了一长一短两段，表面积总和增加了30平方厘米。截成的较长一个圆柱体木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：底面积30÷2=15（平方厘米） 较长圆柱的长为：60×=60×=36（厘米） 圆柱的体积15×36=540（立方厘米） 答：较长的圆柱的体积是540立方厘米。 【分析】圆柱体截成两个圆柱后，表面积是增加了两个圆柱的底面的面积，由此可以求出圆柱的底面积；利用比的意义求出较长的圆柱的长，再利用圆柱的体积公式即可解答。 1.把一根长2 m的圆柱形木料沿横截面截掉2dm，它的表面积减少了12.56 dm2，原来这根木料的体积是多少立方分米？ 提示：先要根据减少的表面积求出底面半径，再求出体积。 【答案】解：2m=20dm 12.56÷2÷3.14÷2=1(dm) 3.14×12×20=62.8(dm3) 答：原来这根木料的体积是62.8dm3。 2．把一根高6分米的圆柱形木料，沿直径对半切成两个半圆柱，表面积增加了48平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？ 【答案】解：直径：48÷2÷6 ＝24÷6 ＝4（分米）， 半径：4÷2＝2（分米）， 体积：3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方分米）； 答：原来这个圆柱的体积是75.36立方分米。 【分析】表面积增加2个长方形的面积，长方形的长等于圆柱的高，长方形的宽等于圆柱的底面直径；用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，可得宽（底面直径）＝长方形的面积÷长（圆柱的高）；最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆柱的体积。 3．把一个圆柱沿底面直径和高切成形状大小完全相同的两部分，结果表面积之和比原来增加112cm2，已知圆柱的高是8cm，这个圆柱的体积是多少平方厘米？ 【答案】解：3.14×(112÷2÷8÷2)2×8=3.14×3.52×8=3.14×98=307.72(立方厘米) 答：圆柱的体积307.72立方厘米. 【分析】切开后增加了两个长方形的面，长方形的面的长是底面直径，宽是圆柱的高；用增加的面积除以2就是一个长方形的面积，再除以8即可求出底面直径；然后用底面积乘高求出圆柱的体积. 排水法求体积 将物体浸没在圆柱形容器的水中，根据水面上升或下降的高度，结合圆柱底面积，利用排水法原理（物体体积等于排开液体的体积）来计算物体体积或者圆柱形容器的相关数据。 如图，一个圆柱形容器里有10cm深的水，内底面积是100cm2，放入一个棱长为6cm的正方体后，水面上升了多少厘米？(水不溢出) 【答案】解：6×6×6÷100 =216÷100 =2.16(cm) 答：水面上升了2.16cm。 【分析】正方体的棱长×棱长×棱长=正方体的体积，正方体的体积÷圆柱的内底面积=水面上升的高度。 1．一个底面周长是50.24分米的圆柱体玻璃缸中有6分米深的水，如果把一段底面半径6分米的圆钢没入水中，水面就上升到8分米，求这段圆钢的高。 【答案】解：圆柱底面半径：50.24÷3.14÷2 =16÷2 =8(分米)； 圆钢的体积：3.14×82×(8-6) =3.14×64×2 =401.92(立方分米)； 圆钢的高：401.92÷(3.14×62) =401.92÷113.04 ≈3.56(分米) 答：这段圆钢的高约是3.56分米。 【分析】要想求圆钢的高需要先求出圆钢的体积，再用圆钢的体积除以圆钢的底面积即可；圆钢的体积=水面上升部分水的体积=圆柱的底面积×水面上升高度；据此解答。 2．一个长8dm、宽5dm、高4dm的水槽，里面装有100升水。在这个水槽中放入一底面积为10dm，高2dm的圆柱形物体，水将上升到几分米? 【答案】解：100÷（8×5）=2.5（dm） 10×2÷（8×5）=0.5（dm） 2.5+0.5=3（dm） 答：水将上升到3分米。 【分析】先根据长方体的高＝长方体的体积÷（长×宽），求出水槽中水的高度；根据圆柱的体积＝底面积×高，算出圆柱的体积，再用圆柱形物体的体积除以长方体水槽的底面求出水槽中水面增加的高度；最后用水槽中水的高度加上水槽中水面增加的高度，即可求出水将上升到几分米。 流水场景下的圆柱体积问题 以水管流水为情境，给出水管的圆柱内径、水流速度、流水时间等条件，要求学生计算流出水的体积或者根据水的体积反推相关数据。 自来水管内直径是2cm，水管内水流速度是8cm/s，一位同学到水池边洗手，走时忘了关水龙头，4分钟浪费　 　升水。 【答案】6.0288 【解答】[3.14×（2÷2）2]×[8×（4×60）] =3.14×[8×240] =3.14×1920 =6028.8（立方厘米） =6028.8mL =6.0288L。 故答案为：6.0288。 【分析】浪费的水的体积（特殊的圆柱体体积）=水管的底面积[π×（直径÷2）的平方]×4分钟流水的长度（水流的速度×4分钟化成的秒数），代入数值计算即可。 1．去年冬天，学校的一根内直径2厘米的自来水管被冻裂，导致大量水流失。据了解水管内的水流速度约为每秒8厘米。算算看，如果1小时不修好水管，将会浪费水多少升？ 【答案】解：2厘米=0.2分米， 8厘米=0.8分米， 1小时=3600秒， 3.14×（0.2÷2）2×0.8×3600 =3.14×0.01×0.8×3600 =0.0314×0.8×3600 =0.02512×3600 =90.432（立方分米） =90.432（升） 答：如果1小时不修好水管，将会浪费水90.432升。 【分析】根据1分米=10厘米，1小时=3600秒，先把单位化统一，圆柱的容积=底面积×高，由此求出1秒可以流失的水的体积，然后乘3600秒，可以求出1小时浪费的水的体积，据此列式解答。 2．有一个水池，长12米，宽8米，深4.71米．现用一台抽水机从河里往水池里抽水。抽水机排水管直径2分米，排水管内水流速度为每秒钟2米。大约几小时能灌满水池？ 【答案】解：12×8×4.71÷ ÷3600＝2（小时） 解：大约2小时能灌满水池. 【分析】根据题意可知，先求出这个长方体水池的容积，用公式：V=abh，据此列式计算，然后用水池的容积÷（水管的横截面积×每秒的流速）=需要的时间，最后把秒化成时，除以进率3600，据此列式解答. 圆柱高增加减少问题 给出圆柱高增加或减少的数值，以及由此引起的体积变化或表面积变化等条件，让学生通过圆柱体积公式和表面积公式S侧 = 2πrh，两个底面积S底 = 2πr2，表面积S = S侧+ S底 的变化关系来计算圆柱原来的高、半径或体积等。 一个圆柱体（如图），如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积原来是多少立方厘米？ 【答案】解：3＋12=15（厘米） 94.2÷3÷3.14÷2 =31.4÷3.14÷2 =10÷2 =5（厘米） 3.14×52×15 =78.5×15 =1177.5（立方厘米） 答：这个圆柱体积原来是1177.5立方厘米。 【分析】这个圆柱原来的体积=π×半径2×高；其中，半径=减少的表面积÷减少的高÷π÷2。 1．小明用橡皮泥做了一个圆柱，他发现如果圆柱的底面直径增加2 cm，高不变，它的侧面积就增加了62.8 cm2 ；如果它的高增加3 cm，底面直径不变，它的侧面积就增加18.84cm2。这个圆柱原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：62.8÷(3.14×2) =62.8÷6.28 = 10( cm) 18.84÷3÷3.14÷2 =6.28÷3.14÷2 =2÷2 = 1( cm) 3.14×12×10 =3.14×10 =31.4(cm3) 答：这个圆柱原来的体积是31.4立方厘米。 【分析】侧面积等于底面周长乘高，3.14×2×高=62.8，高等于10cm。π×半径×2×3=18.84，半径等于1cm。所以体积=π×半径2×高。 2．一个高10厘米的圆柱，如果把它的高增加3厘米，那么它的表面积将增加94.2平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2 =10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×10 ＝78.5×10 ＝785（立方厘米） 答：原来圆柱的体积是785立方厘米。 【分析】原来圆柱的底面周长=增加的表面积÷增加的高，原来圆柱的底面半径=原来圆柱的底面周长÷π÷2，原来圆柱的体积=π×半径2×高。 结合展开图解决圆柱体积问题 给出圆柱的展开图，利用展开图中长方形的长（等于底面圆的周长）、宽（等于圆柱的高h）与圆柱底面周长、高的关系，以及圆的半径与周长的关系，通过已知展开图中的数据来计算圆柱体积。 下图是一个圆柱的平面展开图，根据图中的数据计算圆柱的体积. 【答案】解：3.14× ×(12－4)=3.14×4×8=100.48(立方厘米)答：圆柱的体积是100.48立方厘米. 【分析】圆柱的体积=底面积×高，由此用圆柱的底面积乘高求出圆柱的体积即可.注意圆柱的底面直径是4厘米，高是(12-4)厘米. 1.如图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个储水桶（接头处忽略不计），求这个储水桶的容积。 【答案】解：16.56÷（3.14＋1） =15.56÷4.14 =4（分米） 4÷2=2（分米） 3.14×22×（4×2） =12.56×8 =100.48（立方分米） 答：这个储水桶的容积是100.48立方分米。 【分析】储水桶是一个圆柱体，圆柱体的底面直径与底面周长之和是16.56分米，得出直径=16.56÷（3.14＋1）=4分米；这个储水桶的容积=底面积×高；其中，底面积=π×半径2， 半径=直径÷2，高=直径×2。 2.从一张铁皮上剪下图中的涂色部分（如图），正好可以做成一个底面直径是4分米的圆柱形油桶。 （1）这个油桶的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计） （2）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）解：4÷2=2（分米） 3.14×22×4 =3.14×4×4 =50.24（立方分米） 答：这个油桶的容积是50.24立方分米。 （2）解：提问：这个圆柱的底面积是多少平方分米？ 3.14×（4÷2）2 =3.14×4 =12.56（平方分米） 答：这个圆柱的底面积是12.56平方分米。 【分析】（1）从图中可以看出，做成的圆柱形油桶的底面直径和高都是4分米； 根据圆柱的容积公式：V=πr2h，把数据代入公式解答； （2）提出合理问题并解答即可。 复杂切割与拼接问题（多步几何推理） 涉及圆柱多次切割或拼接的复杂情况，切割或拼接后表面积增加的部分与圆柱的底面积、直径、高存在多种关联。需要进行多步的几何推理，综合运用圆柱的相关知识，分析各部分之间的数量关系，从而求解体积等相关量。 把一个圆柱平均切成4块（如图一），表面积增加96cm2，切成3段（如图二），表面积增加50.24cm2。这个圆柱的体积是多少立方厘米? 【答案】解：（3-1）×2 =2×2 =4（个） 50.24÷4=12.56（平方厘米） 12.56÷3.14=4（平方厘米） 4÷2=2（厘米） 4×2=8（个） 96÷8÷2 =12÷2 =6（厘米） 3.14×4×6 =12.56×6 =75.36（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是75.36立方厘米。 【分析】 这个圆柱的体积=π×半径2×高；其中，半径2=图二增加的表面积÷增加面的个数÷π=4，则半径=4÷2=2；高=图一增加的表面积÷增加面的个数÷2。 1.把一块橡皮泥揉成圆柱形，平均切成三块(如图1)，表面积增加了50.24 cm2；平均切成四块(如图2)，表面积增加了48 cm2。圆柱形橡皮泥的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：50.24÷4=12.56(cm2 ) 12.56÷3.14=4 因为22=4，所以r=2cm。 圆柱的高：48÷4=12(cm2) 12÷(2×2)= 3(cm) 3.14×22×3 =12.56×3 =37.68(cm3 ) 答：圆柱形橡皮泥的体积是37.68立方厘米。 【分析】切成三块，增加的表面积是四个圆柱的底面积，所以圆柱的底面积=平均分成三块增加的表面积÷4，根据πr2=圆柱的底面积，可以得到圆柱的底面半径； 切成四块，增加的表面积是四个沿圆柱体底面直径切开得到的长方形的面积，所以一个长方形的面积=平均分成四块增加的表面积÷4，那么圆柱的高=一个长方形的面积÷（半径×2），所以圆柱形橡皮泥的体积=πr2h，据此代入数值作答即可。 2.有一根圆柱形木料，如果按图①所示切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示切成3块，表面积会增加314 cm2。这根木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：600÷4= 150(cm2) 314÷4= 78.5(cm2) 78.5÷3.14=25(cm2) 5×5=25( cm2) 150÷(5×2) =150÷10 = 15(cm) 78.5×15=1177.5(cm3) 答：这根木料的体积是1177.5立方厘米。 【分析】 如果按图①所示切成完全相同的4块，表面积增加的部分为四个截面长方形的面积，即为直径乘高再乘4，所以直径乘高=150，半径乘高=75，如果按图 ② 所示切成完全相同的4块，表面积增加的部分为四个底面的面积，所以一个底面面积为78.5，半径的平方为25，则半径为5，高为15。体积等于3.14×5×5×15=1177.5立方厘米。 容器倒置求相关体积问题 给出装有部分液体的瓶子，正放和倒置时液体和空余部分的相关数据，通过分析液体体积不变但形状改变的特点，结合圆柱体积公式求解瓶子的容积或液体体积。 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，容积是480毫升，现在瓶中装有一些饮料，瓶子正放时饮料的高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为4厘米(如右图).瓶内现有饮料多少毫升？ 【答案】解：20＋4=24(厘米) (毫升)答：瓶内现有饮料400毫升. 【分析】根据两种摆法方法判断，这个圆柱形饮料瓶中的容积相当于高(20+4)厘米的圆柱的容积，用20除以(20+4)即可求出瓶内饮料占总容积的几分之几，然后用总容积乘饮料占的分率即可求出饮料的体积. 1．一个底面内半径是2cm的瓶子里，水的高度是10cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，如图所示，无水部分是圆柱形，这个瓶子的容积是多少? 【答案】解：3.14×22×（18-12＋10） =12.56×16 =200.96（立方厘米） 200.96立方厘米=200.96毫升 答：这个瓶子的容积是200.96毫升。 【分析】这个瓶子的容积=π×半径2×（瓶子的高-倒放时水面的高度＋正放时水面的高度） 。 2.有一种饮料瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，底面内直径为10厘米。现在瓶中装有一些饮料，正放时，底面饮料高度为10厘米，盖好瓶盖倒过来(如图)，量得空余部分的高是2.5厘米，这个瓶子的容积是多少毫升? 【答案】解：(10÷2)2×3.14×(2.5＋10) =25×3.14×（2.5+10） =25×3.14×12.5 =78.5×12.5 =981.25（立方厘米） ＝981.25(毫升) 答：这个瓶子的容积是981.25毫升。 【分析】观察图可知，饮料的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，这个瓶子的容积=左图中的圆柱形饮料的体积+右图中圆柱空余部分的体积。 圆柱浸没物体水面变化深度计算问题 以圆柱形容器为背景，重点考查物体浸没在圆柱形容器的水中时，通过对水面上升、下降或溢出等变化情况的分析，结合圆柱的底面积、物体的形状特征等条件，深度运用圆柱体积公式及相关数学原理，精确计算物体的体积、高度或其他相关量。 一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米，现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？ 【答案】解：3.14×10×10×15÷（3.14×10×10-8×8） =314×15÷（314-64） =4710÷250 =18.84（厘米） 18.84-15=3.84（厘米） 答：水面上升了3.84厘米。 【分析】圆柱形玻璃杯内原来水的体积÷圆柱和长方体的底面积之差=放入铁块后玻璃杯内水面的高度；放入铁块后玻璃杯内水面的高度-原来水面的高度=水面上升的高度。 1.在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为3厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升8厘米。把这段钢材竖着拉出水面6厘米，水面下降4厘米，这段钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】解：3.14×32 ×6÷4×8 =3.14×54÷4×8 =169.56÷4×8 =339.12（立方厘米） 答：这段钢材的体积是339.12立方厘米。 【分析】用钢材的底面积乘6厘米求出拉出水面部分钢材的体积。用这部分钢材的体积除以水面下降的高度即可求出储水桶的底面积，用底面积乘原来水面上升的高度即可求出钢材的体积。 2.六（1）班进行了一次测量铁球体积的实验，步骤如下： ⑴取一个底面直径是12厘米的圆柱形容器。注入部分水（如图①）； ⑵放入1号球，浸没在水中，水面上升4厘米（如图②）； ⑶再放入2号球，这时有部分水溢出（如图③）； ⑷取出2号球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 1号、2号两个铁球的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】解：3.14×（12÷2）2×4 ＝3.14×36×4 ＝452.16（立方厘米） 3.14×（12÷2）2×6 ＝3.14×36×6 ＝678.24（立方厘米） 答：1号铁球的体积是452.16立方厘米，2号铁球的体积是678.24立方厘米。 【分析】1号铁球的体积=π×半径2×高，半径=直径÷2，高=上升水的高度；2号铁球的体积=π×半径2×高，高=取出2号球后水面距离容器口的高度。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$