精品解析：甘肃省武威市凉州区片区2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

数学测试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 4的倒数是（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：4的倒数是．故选D 2. 若，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据判别式的意义得到，然后解关于的一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 5月31日是世界无烟日，小林为了了解所住小区成年人吸烟的人数，随机调查了100个成年人，结果有16个成年人吸烟．关于此次调查，下列说法错误的是（ ） A. 调查的方式是抽样调查 B. 样本容量是100 C. 小林还需要知道小区里成年人的人数 D. 小林所住小区共有16个成年人吸烟 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查的特征判断调查方式，再根据样本容量的概念得出样本容量，即可作出选择． 【详解】解：A、调查的方式是抽样调查，说法正确，但不符合题意； B、随机调查了100个成年人，样本容量是100，说法正确，但不符合题意； C、只是随机调查了100个成年人，如果想知道这个小区大体上有多少人吸烟，还需知道小区里成年人的人数，说法正确，但不符合题意； D、16个成年人吸烟，只是随机调查了小区里100个成年人里面的吸烟人数，并不能代表所住小区吸烟人总人数，说法错误，但符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了普查和抽样调查、样本容量的概念，熟悉普查和抽样调查的特征及样本容量的概念是解答本题的关键． 5. 利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】如解析图，只需要证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：如图所示，A、B是相邻两等分点，连接， 由题意得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，证明是等边三角形是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 7. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据概率公式即可求解． 【详解】解：硬币有两面，每次抛掷一次出现正面朝上的概率为，与次数无关， 故选：B． 8. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得， 故选：D． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，根据菱形的性质求得是解题的关键．由菱形面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A. 2 cm B. cm C. 1 cm D. 3 cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可． 【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G 由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE ∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线 ∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动 ∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值3 设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm） ∴2a×a÷2=3（cm） ∴a2=3 ∴a=（cm）或a=-（舍） ∵正六边形的每个内角均为120° ∴∠ABG=×120°=60° ∴在Rt△ABG中，=sin60° ∴ ∴AB=2（cm） ∴正六边形的边长为2cm 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 化简：___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分解因式：a4－1=______________ 【答案】（a2＋1）（a＋1）（a－1） 【解析】 【分析】运用平方差公式进行因式分解即可解答. 【详解】解：x4-1=（x²+1）（x²-1）=（x²+1）（x+1）（x-1）； 故答案为（x²+1）（x+1）（x-1）. 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键. 13. 若是方程的一个解，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入一元二次方程的得到，再将代数式中即可解答． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值化简代数式，理解一元二次方程的解是解题的关键． 14. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F，若，，，则图中阴影部分的面积是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形中，对角线、相交于点O，可得，可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，过点C作于点P，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半， 过点C作于点P， ∵，， ∴，，， ∴， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理的应用，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键． 15. 掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次抛掷实心球的成绩是______米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后解出与x轴交点对应的x的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时， 解得：（舍去），， 即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米； 故答案为：10． 16. 如图，已知，，，要使，则需添加__________（只填出一种即可）的条件． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 若，则， ； ，， ，则， 若，则， ； 综上所述，添加或或，， 故答案为：或或（答案不唯一）． 17. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中弧的长为_______cm（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式“”求解即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴这段弯管中的长为， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中， ． 故答案为：． 三、解答题（66分） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． （3）解不等式组： 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先把二次根式化简为最简根式，然后合并即可得出答案 （2）利用分式的运算法则进行化简，再将m的值代入化简之后的式子即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； 【详解】解：（1） ； （2） ， 把代入得 原式． （3） 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 20. 今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年．十年来，我国与151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息．如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P，保留作图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹． 【答案】 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： （1）利用证明即可； （2）利用三角形的内角和定理和全等三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【答案】（1）， （2）出入园8次时，两者花费一样，费用为元 （3）洋洋爸准备了240元，乙消费卡更合适 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式； （2）根据（1）的结论联立方程组解答即可； （3）根据图象和点坐标可得结论． 【小问1详解】 解：（1）设 根据题意得，解得， ∴； 设， 根据题意得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解方程组 ， 解得：， ∴点坐标； 即出入园8次时，两者花费一样，费用为元， 【小问3详解】 洋洋爸准备了240元， 根据图象和（2）的结论可知：当时，乙消费卡更合适． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键， 23. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 24. “垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图： a．线上垃圾分类知识测试频数分布表 成绩分组 频数 3 9 12 8 b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图 c．成绩在这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）小珂居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为______人； （4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？ 【答案】（1）18 （2） 补全的频数分布直方图如图所示： （3）800 （4）可以领到 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出m的值； （2）根据频数分布表中的数据和m的值，可以将频数分布表补充完整； （3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数； （4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 故答案为：18． 【小问2详解】 解：由（1）值m的值为18， 由频数分布表可知这一组的频数为12， 【小问3详解】 解：估计小珂所在的社区良好的人数约为（人）， 故答案为：800； 【小问4详解】 解：由题意可得，87分是第12名， 故居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章． 【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确频率等于频数除以总数． 25. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【答案】 证明∶ 如图，连接． ，经过圆心， 垂直平分． ． 在和中 ． ． 是的切线， ． ．即． 是的切线． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质及判定，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．如图，连接，由“垂径定理”可知，垂直平分，所以，可证明，所以，由切线的性质可知， ，所以．即，由此可得结论． 【详解】略 26. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是___________； （2）变式探究：如图2，中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）问题解决；如图3，正方形的边长为10，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．若设正方形的面积为，．求与的函数关系式． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 是等腰直角三角形，中，，， ，． ， ， ， ， ； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边成比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由相似比求出，再由勾股定理求得，则可列出关系式． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，，在中，，， ，， ． 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ，， 在中，，即， 是正方形的对角线，正方形的面积为， ， ， ，， ． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 27. 如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的最大值； （3）过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到，根据二次函数的性质即可得到的最大值； （3）先求出，得到，根据四边形是矩形，得到，，则，由轴得到，，则，，同理可得，，则，得到，得到点H的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∴当时，的最大值是2； 【小问3详解】 解：过点B的直线交y轴于点C， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵过点D作x轴的垂线，垂足为G， ∴轴 ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴, ∴， ∴点H的坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学测试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 4的倒数是（　　） A. B. 4 C. D. 2. 若，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 0 C. D. 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 5月31日是世界无烟日，小林为了了解所住小区成年人吸烟的人数，随机调查了100个成年人，结果有16个成年人吸烟．关于此次调查，下列说法错误的是（ ） A. 调查的方式是抽样调查 B. 样本容量是100 C. 小林还需要知道小区里成年人的人数 D. 小林所住小区共有16个成年人吸烟 5. 利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷20次，都是反面朝上，则抛掷第21次出现正面朝上的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A. 2 cm B. cm C. 1 cm D. 3 cm 二、填空题（本大题共8小题，共24分） 11. 化简：___________________． 12. 分解因式：a4－1=______________ 13. 若是方程的一个解，则代数式的值是___________． 14. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F，若，，，则图中阴影部分的面积是 ____________________． 15. 掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，这名男生此次抛掷实心球的成绩是______米． 16. 如图，已知，，，要使，则需添加__________（只填出一种即可）的条件． 17. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧点O是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中弧的长为_______cm（结果保留π）． 18. 如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N； ②作直线交于点E，若，，对角线的长为______． 三、解答题（66分） 19. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． （3）解不等式组： 20. 今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年．十年来，我国与151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息．如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P，保留作图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹． 21. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 23. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 24. “垃圾分类新时尚，文明之风我先行”．某地自开展“创卫、创文工作”以来，广大群众积极参与各项工作．新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试．将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图： a．线上垃圾分类知识测试频数分布表 成绩分组 频数 3 9 12 8 b．线上垃圾分类知识测试频数分布直方图 c．成绩在这一组的成绩为80，81，82，83，83，85，86，86，87，88，88，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）小珂居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂所在的社区成绩良好的人数约为______人； （4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章．已知居民A的得分为87分，请说明居民A是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？ 25. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 26. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是___________； （2）变式探究：如图2，中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）问题解决；如图3，正方形的边长为10，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接．若设正方形的面积为，．求与的函数关系式． 27. 如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的最大值； （3）过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $