第一讲·集合(包含分层次配套练习)讲义-2026届高考数学一轮复习

第一讲·集合 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计30分） 1．★★（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．★★（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．★★（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．★★（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 5．★★（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 6．★★★（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 7．★（2024高三·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．★★（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．★★（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题（每小题5分，共计15分） 10．★（2025高三·全国·专题练习），集合，则 . 11．★★（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 12．★★★（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知集合（为虚数单位），则的非空真子集的个数为： . - 2 - 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲·集合 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计30分） 1．★★（2025高三下·全国·专题练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 2．★★（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式化简，即可根据交集的定义求解. 【详解】或， 故， 故选：C 3．★★（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】分别讨论当时的取值，进而可得元素个数. 【详解】当时，可能取值为， 当时，可能取值为， 当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个. 故选：A 4．★★（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 ， 故选：D 5．★★（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】并集的概念及运算、求对数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先由二次不等式和对数不等式的解法得，，进而根据并集的运算可得. 【详解】因为， 因为，所以，故， 所以， 故选：A 6．★★★（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、交集的概念及运算 【分析】根据对数函数的定义域得出集合B，再应用集合交集的定义计算即可. 【详解】由题意得解得即 所以，故． 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 7．★（2024高三·全国·专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义、判断两个集合的包含关系 【分析】根据题意，由事件之间的基本关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 故选：BC 8．★★（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、子集的概念 【分析】解分式不等式，得到，利用子集，交集，并集和补集的概念对四个选项一一判断，得到答案, 【详解】A选项，等价于，解得， ， 所以不是的子集，A错误； B选项，，B正确； C选项，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 9．★★（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】讨论，求集合B，在结合集合关系在各选项的条件下列不等式求的范围，由此可判断各选项. 【详解】. 当时，； 当时，； 当时，. 对于选项A，若，则，，故正确. 对于选项B，若，则，故，故正确. 对于选项C，若，则，故，故错误. 对于选项D，若，则，故错误. 故选：AB. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 10．★（2025高三·全国·专题练习），集合，则 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合的相等含义，易得，又由推得，即可代入求值. 【详解】由题意知，所以，则，又，所以，. 故. 故答案为：2. 11．★★（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据和对进行分类，结合列出不等式进而可得. 【详解】当时，，显然. 当时，因为， 当时，在数轴上表示出两个集合，如图， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为： 12．★★★（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知集合（为虚数单位），则的非空真子集的个数为： . 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的乘方、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据复数的乘方运算、加法运算、模长运算化简即可得集合中的元素，再利用集合中元素个数确定非空真子集的个数即可. 【详解】，故， 由于，所以：. 又，令，则. 所以， 则得非空真子集，，，，，，共个. 故答案为：6. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲·集合 【知识导学】 一、集合的含义 集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 二、集合的表示 1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。 2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 3. 图示法：用韦恩图或数轴来表示集合。 三、集合中元素的特性 1. 确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的。 2. 互异性：集合中的元素是互不相同的。即集合中的元素是不重复出现的。 3. 无序性：集合中的元素没有次序。只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 四、常用数集及其记法 1. 自然数集：全体自然数组成的集合，记作N。 2. 正整数集：全体正整数组成的集合，记作N+（或N*）。 3. 整数集：全体整数组成的集合，记作Z。 4. 有理数集：全体有理数组成的集合，记作Q。 5. 实数集：全体实数组成的集合，记作R。 五、集合间的基本关系与基本运算主要包括以下几种： 1，包含关系（子集关系） 如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B。如果A是B的子集且A不等于B，那么A称为B的真子集，记作A⫋B。包含关系具有传递性，即如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。此外，任何集合都是其自身的子集，即A⊆A，同时空集是任何集合的子集，即∅⊆A。 2，相等关系 如果两个集合A和B互相是对方的子集，即A⊆B且B⊆A，那么集合A和B相等，记作A=B。相等关系具有自反性、对称性和传递性，即A=A，A=B则B=A，以及A=B且B=C则A=C。 3，不相交关系（互斥关系） 如果两个集合A和B没有公共元素，即它们的交集为空集，记作A∩B=∅，那么集合A和B是不相交的或互斥的。 4，并集关系 集合A和B的并集是包含所有属于A或B的元素的集合，记作A∪B。 5，交集关系 集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。 6，补集关系 给定一个全集U，集合A的补集是U中不属于A的所有元素的集合，记作。 六、其他常用结论 1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 【题型聚焦】 【题型一·集合的含义，表示，运算与集合间的基本关系】 【例题1】★★（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 【例题2】★★（24-25高一下·湖北·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先求得，，进而可得. 【详解】集合， ， 则.故选：A. 【例题3】★★（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】联立方程求出，根据交集可直接得到答案. 【详解】，解得，或，所以.故选：B. 【例题4】★★(多选)（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C．B的子集有8个 D．U中的元素个数为5 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】由题意可得，根据元素与集合的关系判断A；根据集合间的交集运算判断B；由集合的子集计算公式判断C；求出全集，判断D. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为B中的元素个数为4，所以的子集有个，故C错误； 由，，得， 所以U中的元素个数为5，故D正确. 故选：ABD. 【例题5】★★（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、对数的运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数的运算及指数函数的性质化简集合，利用集合的交集运算得到结果. 【详解】∵集合， 集合， ∴.∴集合子集个数是.故选：B. 【例题6】★★★(多选)（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求出函数的定义域，值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，C正确； 对于D，集合A的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，故D正确. 故选：BCD. 【题型二·利用集合的含义与运算求解参数】 【例题7】★★（2024·广西南宁·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由指数函数的性质求出集合，再由交集的结果求解即可； 【详解】由，所以， 因为，所以，即， 故选：D. 【例题8】★★（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式化简,即可根据，对集合讨论求解. 【详解】由 ，则, 故若，则，不等式无解，此时,符合题意， 当时，， 结合，则，解得，综上可得，故选：A 【例题9】★★（2025高三·全国·专题练习）已知集合A＝，，若RA=RA，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】通过解不等式化简集合，利用集合间的关系可求实数a的取值范围. 【详解】实数a的取值范围是. 【题型三·集合新定义】 【例题10】★★★（24-25高三上·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、组合数的计算 【分析】由题意可知，集合有4个元素且包含于集合，求出没有特殊要求的集合的个数，再求出不符合“存在，使得”条件的集合的个数，从而得到本题答案. 【详解】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个， 设，使得，则这样的集合有，，，共计5个， ∴若集合存在，使得时的个数有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛，本题是一个有特殊要求的排列组合，正面考虑情况比较复杂，那么可以用对立事件的方式来解答. 【例题11】★★★(多选)（24-25高三上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得B 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、根据补集运算确定集合或参数、集合新定义 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，D错误． 故选：AB． 【例题12】★★★（2025高三·北京·专题练习）对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据集合的新定义及点坐标的性质，结合集合的交运算、包含关系判断各项的正误. 【详解】由表示数集中的数表示横坐标，数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，A错； 若，因为点集中来自集合的横坐标值一定在集合中，且纵坐标值都来自集合，则，B正确； ， ， 则，C正确； 集合表示横坐标为0的点集，即为轴所在直线，D正确. 故选：A 【例题13】★★★(多选)（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲·集合 【知识导学】 一、集合的含义 集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 二、集合的表示 1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。 2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 3. 图示法：用韦恩图或数轴来表示集合。 三、集合中元素的特性 1. 确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的。 2. 互异性：集合中的元素是互不相同的。即集合中的元素是不重复出现的。 3. 无序性：集合中的元素没有次序。只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 四、常用数集及其记法 1. 自然数集：全体自然数组成的集合，记作N。 2. 正整数集：全体正整数组成的集合，记作N+（或N*）。 3. 整数集：全体整数组成的集合，记作Z。 4. 有理数集：全体有理数组成的集合，记作Q。 5. 实数集：全体实数组成的集合，记作R。 五、集合间的基本关系与基本运算主要包括以下几种： 1，包含关系（子集关系） 如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B。如果A是B的子集且A不等于B，那么A称为B的真子集，记作A⫋B。包含关系具有传递性，即如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C。此外，任何集合都是其自身的子集，即A⊆A，同时空集是任何集合的子集，即∅⊆A。 2，相等关系 如果两个集合A和B互相是对方的子集，即A⊆B且B⊆A，那么集合A和B相等，记作A=B。相等关系具有自反性、对称性和传递性，即A=A，A=B则B=A，以及A=B且B=C则A=C。 3，不相交关系（互斥关系） 如果两个集合A和B没有公共元素，即它们的交集为空集，记作A∩B=∅，那么集合A和B是不相交的或互斥的。 4，并集关系 集合A和B的并集是包含所有属于A或B的元素的集合，记作A∪B。 5，交集关系 集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。 6，补集关系 给定一个全集U，集合A的补集是U中不属于A的所有元素的集合，记作。 六、其他常用结论 1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 【题型聚焦】 【题型一·集合的含义，表示，运算与集合间的基本关系】 【例题1】★★（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】★★（24-25高一下·湖北·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】★★（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例题4】★★(多选)（24-25高三上·江苏苏州·阶段练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C．B的子集有8个 D．U中的元素个数为5 【例题5】★★（24-25高三上·贵州黔西·阶段练习）已知集合，集合，则集合子集个数是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【例题6】★★★(多选)（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型二·利用集合的含义与运算求解参数】 【例题7】★★（2024·广西南宁·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题8】★★（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型三·集合新定义】 【例题10】★★★（24-25高三上·北京石景山·期末）已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【例题11】★★★(多选)（24-25高三上·湖南永州·期中）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得B 【例题12】★★★（2025高三·北京·专题练习）对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 【例题13】★★★(多选)（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 1 学科网（北京）股份有限公司 $$