第四讲·基本不等式(包含分层次配套练习)讲义-2026届高考数学一轮复习

第四讲·基本不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计25分） 1．★★（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、解不含参数的一元一次不等式 【分析】由，代入,求解一元二次不等式即可； 【详解】，当且仅当时取等号， 即，即，因为， 所以，所以的最小值为20，故选：C 2．★★（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质可得，再利用“”的妙用求最小值. 【详解】由等差数列的性质可知：，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又，故当且仅当时，取得最小值.故选：C 3．★★（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得．故的最小值为4．因为恒成立，所以，即，解得，即．故选：D 4．★★（24-25高三上·河北·期末）已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用、正切函数的诱导公式 【分析】根据已知及诱导公式、和角正切公式有，令，再应用基本不等式得，即可求最小值. 【详解】由题意知，， 即， 令，则不等式化为, 当且仅当时取等号，的最小值为4.故选：C 5．★★★（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机变量且则当时的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、正态曲线的性质、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用正态曲线关于直线对称，得出即再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题意知，随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 又所以即所以 因为则所以 当且仅当时取等号，所以的最小值为故选： 二、多选题（每小题6分，共计18分） 6．★★（2025高三下·全国·专题练习）（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由不等式的基本性质与基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】对于A，，则，即，故A正确； 对于B，，则 ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，，由，取，满足条件， 则，故C不正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 7．★★（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】对勾函数求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 8．★★★24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、对数的运算 【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案. 【详解】对于A，，∴，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误： 对于D， ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共计10分） 9．★★（24-25高三上·河北·期末）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】依题意，考虑计算得，利用基本不等式求得的最小值，最后根据指数函数的单调性即得. 【详解】因，则， 由，当且仅当，时等号成立， 即当，时，取得最小值2， 又因是单调增函数，故此时取得最小值为1.故答案为：1. 10．★★（24-25高三上·山东济南·阶段练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用平面向量共线的结论，得到，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解得． 【详解】是线段上一点，三点共线， ，且， ， 当且仅当即时取等号． 的最小值为9．故答案为：9． 四、解答题（每小题15分，共计30分） 11．★★★（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、利用基本不等式证明不等式 【分析】（1）由题意可得，结合不等式分析证明； （2）由等式可得，进而求最值. 【详解】（1）因为正数a，b，c满足， 若，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. （2）因为，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 12．★★★（24-25高一上·山东·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】(1)3 (2)方案①较合算，理由见详解 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【详解】（1）由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； （2）该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲·基本不等式 【知识导学】 一、基本不等式定义： 对于任意两个正实数a、b，其算术平均数（即）总是大于等于它们的几何平均数（即），用公式表示就是： 当且仅当a = b时，等号成立。 二、基本不等式常见的变形形式： 变形一：a² + b² ≥ 2ab，这可以通过完全平方公式(a - b)² ≥ 0展开推导得出，当且仅当a = b时等号成立。 变形二：，这个式子在一些涉及到平方和与平均数比较的问题中经常会用到。 变形三：ab ≤ (a + b)² / 4，它在求某些乘积的最大值等问题上能发挥作用。 三、基本不等式求最值的三要素： “一正”（参与运算的数都是正数）、“二定”（和或者积是定值）、“三相等”（能取到等号的条件）。 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值). (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值). 【题型聚焦】 【题型一·基本不等式的理解】 【例题1】★★（多选）（24-25高一上·湖南长沙·期末）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】A项，通过化简二次函数即可得出函数最小值；B，C，D项，利用基本不等式即可得出结论. 【详解】由题意， A项，，故A正确； B项，在中，，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； C项，，，故，当且仅当即时等号成立，C错误； D项，，，只有当时才有，当且仅当即时等号成立，故D错误.故选：AB. 【例题2】★★（2024·湖南·临澧县第一中学高一期末）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段___________的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________． 【答案】          【详解】 依题意三角形是直角三角形，； 在直角三角形中，. 由射影定理得， 由射影定理得，即， 所以线段的长度是的调和平均数. 在中，，即， 当时，重合，即， 所以.故答案为：； 【点睛】本小题主要考查基本不等式，考查中国古代数学文化. 【题型二·基本不等式的“1”变化】 【例题3】★★（多选）（2025·湖南师大附中高三阶段练习）设正实数x，y满足，则（       ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BC【分析】 利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A， ，，当且仅当即，时等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确； 对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；故选：BC. 【例题4】★★（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以，因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号是成立的， 所以，所以，即， 解得.故答案为： 【题型三·利用基本不等式求最值】 【例题5】★★★（2025·湖南·周南中学高三阶段练习）若正数满足，则的最小值是________． 【答案】 【分析】 由可得可求出的范围，由可得代入所求式子，利用基本不等式即可求最值. 【详解】 由可得，所以， 由得可得，所以， 所以， 当且仅当即，时等号成立， 所以的最小值是， 故答案为：. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【例题6】★★★（2023·长郡中学·模拟预测）若，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，因为， 所以，故选项A正确； 对于选项B，因为， 所以，， 所以， 同理， 所以，故选项B正确； 对于选项C，因为 （当且仅当时取等） 因为，所以等号取不到， 则，故选项C正确； 对于选项D，因为， 所以， 因为，所以，则， 若，则，解得， 因为，故选项D错误， 故选：D. 【例题7】★★★（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以， 又，，所以， 又三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 【例题8】★★★（2022·湖南·岳阳市第一中学高三阶段性检测）已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______． 【答案】．【分析】 根据椭圆定义得出，进而对进行化简，结合基本不等式得出的最小值，并求出的值，进而求出面积. 【详解】由椭圆定义可知，，所以， ，当且仅当，即时取“=”. 又，所以. 所以，由勾股定理可知：，所以.故答案为：. 【例题9】★★★（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】C 【分析】根据已知条件结合均值不等式及不等式等号成立的条件判断ACD，取特例判断B即可得解. 【详解】. 对于A，， 当且仅当时取等号，故错误； 对于，当时，，故错误； 对于， ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时，等号成立， 这与已知不符合，故等号不成立，故错误.故选：C. 【例题10】★★★（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D. 【详解】为正实数，， ，而共线，    ， 当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最小值为4，C正确； 又， 由于为正实数，，则， 则，时取最大值， 当趋近于0时，可无限趋近于0， 故，故无最大值，D错误， 故选：C. 【例题11】★★★【训练3-4】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据两角和的正切公式化简可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 且，整理得， 又因为，当且仅当时，等号成立， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当时取等号.故答案为： 【例题12】★★★★★（2019·湖南省长郡中学高三月考）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 中设，，，即， ，，， ，，，， ，根据直角三角形可得，， ，，， 以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，，，P为直线上的一点， 则存在实数使得, 设，，则，，, ,，则, ,故所求的最小值为, 【点睛】 本题为平面向量的综合题，考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用，属于综合题，解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换，属于较难题. 【题型四·利用基本不等式证明不等式】 【例题13】★★（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，进而得到， 因为，所以. （2）因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 【例题14】★★（24-25高三上·江西南昌·阶段练习） （1）已知.求证：； （2）已知，若.求证：. (请注意要呈现对等号是否成立的证明.) 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】由基本不等式证明不等关系、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法即可求证， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求证. 【详解】（1）因为， 当且仅当时取等号，所以； （2）由，，所以． 所以， 当且仅当即，结合可得时取等号，即． 【题型五·基本不等式的实际应用】 【例题15】★★★（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据题意求出，，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时， 当时， 综上所述，． （2）当时，单调递增，所以； 当时，，由于， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为， 综上所述，当时，取得最大值为3680万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲·基本不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计25分） 1．★★（24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 2．★★（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 3．★★（2025高三·全国·专题练习）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．★★（24-25高三上·河北·期末）已知，，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．★★★★（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机变量且则当时的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 6．★★（2025高三下·全国·专题练习）（多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则有最小值 C．若，则 D．若，则有最大值1 7．★★（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 8．★★★24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共计10分） 9．★★（24-25高三上·河北·期末）若实数，满足，则的最小值为 . 10．★★（24-25高三上·山东济南·阶段练习）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值为 ． 四、解答题（每小题15分，共计30分） 11．★★★（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 12．★★★（24-25高一上·山东·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲·基本不等式 【知识导学】 一、基本不等式定义： 对于任意两个正实数a、b，其算术平均数（即）总是大于等于它们的几何平均数（即），用公式表示就是： 当且仅当a = b时，等号成立。 二、基本不等式常见的变形形式： 变形一：a² + b² ≥ 2ab，这可以通过完全平方公式(a - b)² ≥ 0展开推导得出，当且仅当a = b时等号成立。 变形二：，这个式子在一些涉及到平方和与平均数比较的问题中经常会用到。 变形三：ab ≤ (a + b)² / 4，它在求某些乘积的最大值等问题上能发挥作用。 三、基本不等式求最值的三要素： “一正”（参与运算的数都是正数）、“二定”（和或者积是定值）、“三相等”（能取到等号的条件）。 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值). (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值). 【题型聚焦】 【题型一·基本不等式的理解】 【例题1】★★（多选）（24-25高一上·湖南长沙·期末）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】★★（2024·湖南·临澧县第一中学高一期末）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段___________的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________． 【题型二·基本不等式的“1”变化】 【例题3】★★（多选）（2025·湖南师大附中高三阶段练习）设正实数x，y满足，则（       ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 【例题4】★★（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【题型三·利用基本不等式求最值】 【例题5】★★★（2025·湖南·周南中学高三阶段练习）若正数满足，则的最小值是________． 【例题6】★★★（2023·长郡中学·模拟预测）若，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题7】★★★（2024·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D．9 【例题8】★★★（2022·湖南·岳阳市第一中学高三阶段性检测）已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______． 【例题9】★★★（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为3 【例题10】★★★（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【例题11】★★★【训练3-4】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【例题12】★★★★★（2019·湖南省长郡中学高三月考）在中，已知·=9，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【题型四·利用基本不等式证明不等式】 【例题13】★★（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）证明下列不等式： (1)已知，，，求证：； (2)已知，，均为正实数，且，求证：. 【例题14】★★（24-25高三上·江西南昌·阶段练习） （1）已知.求证：； （2）已知，若.求证：. (请注意要呈现对等号是否成立的证明.) 【题型五·基本不等式的实际应用】 【例题15】★★★（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$