第三讲·一元二次不等式(包含分层次配套练习)讲义-2026届高考数学一轮复习

第三讲·一元二次不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计20分） 1．★（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．★（24-25高一上·广东广州·期末）已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．★★（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．★★（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 5．★★（24-25高三上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 6．★★（24-25高三上·河南南阳·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C．函数在定义域内单调递增 D．的最小值为3 7．★★★（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为，或 D．若为常数，且，则的最小值为 三、填空题（每小题5分，共计15分） 8．★★（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 9．★★★（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 10． ★★★（24-25高三上·江苏南京）已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 四、解答题（每小题13分，共计26分） 11．★★（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值. 12．★★★（24-25高三上·上海）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲·一元二次不等式 【知识导学】 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系：一元二次不等式可以通过转化为一元二次方程或二次函数的形式进行求解。这三者之间存在紧密的联系，可以通过图像法等方法相互转化和求解。 【题型聚焦】 【题型一·解不含参数与含参数的一元二次不等式】 【例题1】★（24-25高三上·山西·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】★（24-25高三上·云南楚雄·期末）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】★★（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【例题4】★★（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题5】★★（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 【题型二·由一元二次不等式的解确定参数】 【例题6】★（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【例题7】★★（多选）（24-25高二下·山西临汾·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【例题8】★★（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【题型三·一元二次不等式恒成立与能成立】 【例题9】★（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 ． 【例题10】★★（24-25高三上·山东·阶段练习）已知二次函数，其中为常数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【例题11】★★（23-24高一上·四川凉山·期中）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题12】★★★（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题13】★★★★（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）若存在实数使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲·一元二次不等式 【知识导学】 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系：一元二次不等式可以通过转化为一元二次方程或二次函数的形式进行求解。这三者之间存在紧密的联系，可以通过图像法等方法相互转化和求解。 【题型聚焦】 【题型一·解不含参数与含参数的一元二次不等式】 【例题1】★（24-25高三上·山西·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，得到，根据并集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 又，所以. 故选：B. 【例题2】★（24-25高三上·云南楚雄·期末）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式，根据元素与集合的关系可确定的取值范围. 【详解】由，解得，则. 因为，所以，解得，故的取值范围为.故选：A. 【例题3】★★（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集. 【详解】当时，，所以不等式的解集为.故选：D. 【例题4】★★（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B. 【例题5】★★（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或；时，不等式解为. 【题型二·由一元二次不等式的解确定参数】 【例题6】★（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系，结合韦达定理可得，即可利用一元二次的解的特征求解. 【详解】由于一元二次不等式的解集为，故是方程的两个实数根，故，解得， 故为，故，解得， 故解集为，故答案为： 【例题7】★★（多选）（24-25高二下·山西临汾·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】分析可知，且的根为，利用韦达定理求，即可判断ABC；代入不等式运算求解即可判断D. 【详解】因为不等式的解集为或， 可知，且的根为，故A正确； 则，可得， 则，，B正确；C正确； 因为，即，且， 则0，解得， 所以的解集为，D错误． 故选：ABC． 【例题8】★★（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型三·一元二次不等式恒成立与能成立】 【例题9】★（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是．故答案为：. 【例题10】★★（24-25高三上·山东·阶段练习）已知二次函数，其中为常数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据函数在区间上单调递增，由求解； （2）根据恒成立，由求解. 【详解】（1）解：因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. （2）因为恒成立， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 【例题11】★★（23-24高一上·四川凉山·期中）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】利用指数函数单调性及不等式恒成立，将问题化为在上恒成立，即可求参数范围. 【详解】由题设，即，则对任意恒成立， 所以在上恒成立，只需， 对于，其在上单调递增，则，所以.故选：C 【例题12】★★（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据集合的包含关系求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是.故选：A 【例题13】★★★（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）若存在实数使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对数函数单调性的应用 【分析】先确定满足条件，在，分，，讨论确定的范围，由此可得结论. 【详解】若，当时， 当时，不等式成立， 当时，不等式成立， 当时，不等式成立，所以满足条件， 若， 当时，不等式对任意的成立， 当时，不等式可化为， 又抛物线的对称轴方程为，由已知，且， 当时，不等式可化为， 由已知结合条件，且可得，，且， 所以的取值范围是，综上：；故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026届高考数学一轮复习配套练习册 翼天数学汪老师13755144551 第三讲·一元二次不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（每小题5分，共计20分） 1．★（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）一元二次不等式的解集为的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案. 【详解】由的解集为空，结合对应二次函数性质有. 故选：B 2．★（24-25高一上·广东广州·期末）已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据幂函数解析式结合题意可得，代入解一元二次不等式即可. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 因为，即， 整理可得，解得， 所以不等式的解集为.故选：B. 3．★★（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 4．★★（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 5．★★（24-25高三上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 6．★★（24-25高三上·河南南阳）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．不等式的解集为 C．函数在定义域内单调递增 D．的最小值为3 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、判断一般幂函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得，再代入不等式，化简求解即可判断A、B；根据幂函数的性质判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个根，且， 由韦达定理得，所以， 则，A正确； 所以不等式，又， 则，解得， 所以不等式的解集是，B正确； 由，函数在定义域内单调递减，C错误； 由于，则， ， 当且仅当，即（舍）或时，等号成立, 故的最小值为3，D正确.故选：ABD 7．★★★（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为，或 D．若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确.故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 8．★★（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 9．★★★（24-25高三上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【详解】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或.故答案为：或 10．★★★（24-25高三上·江苏南京·期中）已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】根据开口方向的不同分为三种情况讨论，运用基本不等式对集合进行分析. 【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为或， 此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为，而， 则集合至少含有共个元素. 综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得. 故答案为： 四、解答题（每小题13分，共计26分） 11．★★（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值. 【答案】(1)答案见解析(2)时，的最小值为4. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）将原不等式转化，分、和三种情况即可求解； （2）根据求出关于和的关系式，根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式可化为，， 即：， ①当，即时，解不等式得， ②当，即时，解不等式得， ③当，即时，解不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为； （2）由（1）和可知，即：，因为，， 所以， 当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为4. 12．★★（24-25高三上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2(2)：(3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$