精品解析：重庆第110中学教育集团2024-2025学年九年级下期入学数学定时作业试题

初2022级九年级下期入学定时作业 数学 （考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用黑色签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中最小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断． 【详解】是负数，其他三个数均是非负数，故是最小的数； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键． 2. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各个图形分析判断即可得解，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：设反比例函数表达式为，把代入 ∴， A、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵， ∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； C、∵， ∴点在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 若两个相似三角形面积的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴由相似三角形面积的比为，得对应边的比是， 故选：B 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 先估算的范围，再根据不等式的性质估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图是某班数学兴趣小组用棋子摆成的“上”字，第①个“上”字共用6枚棋子，第②个“上”字共用10枚棋子，第③个“上”字共用14枚棋子，……，以此规律，第⑨个“上”字需用的棋子枚数为（ ） A. 18 B. 28 C. 30 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，由图可得，第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；进一步发现规律：第个“上”字中的棋子个数是；由此求得问题答案，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：第①个“上”字中的棋子个数是； 第②个“上”字中的棋子个数是； 第③个“上”字中的棋子个数是； 所以，第个“上”字中的棋子个数是； 第⑨个“上”字需用的棋子枚数为． 故选：D． 8. 如图，边长为2的正方形 内接于 ，以点D为圆心， 的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积计算，连接 ，阴影部分的面积，据此计算即可，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接 ． 正方形 的边长为2， ，， 阴影部分的面积 ． 故选：C． 9. 如图，在矩形纸片 中，，E是 边的中点，连接 ，F是 边上一点，连接 ，将矩形纸片 沿着 翻折，使得点C落在 上（如图中的点G），则 的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，由勾股定理求出，根据折叠的性质得到，设，则，，由勾股定理，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：在矩形纸片 中，， ，， E是 边的中点， ， 矩形纸片 沿着 翻折，使得点C落在 上（如图中的点G）， ， ， 设，则，， ， ，即， 整理得：， 解得：， ， 故选：D． 10. 对于若干个数，同时挑选任意两个数作差（前数减后数），再将所有可能的这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”． 例如，对1，2，3进行“差绝对值运算”，得． ①对，3，4，6进行“差绝对值运算”的结果是20； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果一共有8种． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键． 【详解】解：①对，3，4，6进行“差绝对值运算”得：， 故①不正确； ②对 ，，5进行“差绝对值运算”得：， 表示的是数轴上点 到和5的距离之和， 的最小值为， ，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确； 对 ， ，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， 当，，，， ， ，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种， 故③不正确； 综上，故有0个正确的． 故选：A． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，分别计算绝对值和零指数幂，然后相加即可． 【详解】解：因为，， 所以； 故答案为 3． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解： 多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 小明和小颖分别从三部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的影片相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设这三部影片分别用A、B、C表示，列表如下： 小明 小颖 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们选择的影片相同的结果数有3种， ∴他们选择的影片相同的概率为， 故答案为：． 14. 如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是 ， 的中点，若，则 的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，先证 为的中位线得，，进而得，，由此可证和全等，从而得，据此可得 的长，熟练掌握三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解： 点 ， 分别是 ， 的中点， 为的中位线， ，， ，， 在和中， ， ， ． 故答案为：6． 15. 已知m为方程的一个根，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求职，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得的值，代入原式即可解答，解题关键是运用整体代入思想进行解题． 【详解】解： 根据题意得， ． 故答案为：． 16. 若关于 的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 17. 如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点．连接 交 于点 ，点 是 上一点，连接 ， ，过点 作交 的延长线于点 ．若 ，，，则 的长度是________； 的长度是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接 ，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵ 是 的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接 ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 18. 若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是______；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为______． 【答案】 ①. 190 ②. 5510 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，二次函数的应用，根据被3整除数的规律确定n的取值是解题的关键．设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是，个位数是n，列出的代数式，当，时，最小，根据二次函数的性质求解即可；同理，中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，N的各位数字之和是，由N能被3整除，可知或或；再由N能被7整除，进一步确定m的值即可． 【详解】解：设的十位数是，个位数是，则的十位数是，个位数是， 则， 当时，， 此时，， 为正整数， 当时，最小，最小值为； 同理，中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N， 的各位数字之和是． 各个数位上的数字之和能被 整除， 或或 当时，， ，能被 整除， ； 当时，， ，能被 整除， ， ； 当时，， ，能被 整除， ， ； 综上所述：满足条件的 有和和， ， M的最大值为， 故答案为：190；． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶ （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在平行四边形 中，点是对角线 的中点．用尺规过点作 的垂线，分别交于点，连接 ， ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形 ，点分别在上，经过对角线 的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴① ，， ∵点是 的中点， ∴② ， ∴， ∴③ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形 是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ． 【答案】（1）见详解 （2）①；②；③；④过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据尺规作图-作垂线的方法，过点作 的垂线，分别交于点，连接 ， 即可； （2）首先根据平行四边形的性质，可得 ，易得，，再证明，即可证明，由全等三角形的性质可得，结合易得四边形是平行四边形，然后根据“对角线相关垂直的平行四边形为菱形”即可证明结论；然后结合题意，写出若四边形 是矩形是的猜想结论即可． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 已知：平行四边形 ，点分别在上，经过对角线 的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴，， ∵点是 的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形 是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 21. 为丰富学生课余生活，培养学生生活实践能力，某校在4月初举办了研学活动，全体七八年级学生参与了此次活动．活动结束后学校随机从七八年级各抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查．（满意度得分用x表示，共分为四组：非常满意，满意，基本满意，不满意）七年级的满意度得分数据： 58，86，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，63，88，67，89，88，80，91，83． 八年级包含“满意”的所有得分数据：72，78，75，73，78，84，80，78，84． 年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比 七年级 81 84 a 八年级 81 b 78 （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对本次研学活动更加满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知七八年级共有学生1200人，请估计七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数大约是多少？ 【答案】（1） （2）七年级学生对本次研学活动更加满意（答案不唯一），理由如下： 七、八年级的满意度得分数据中平均数相等，七年级中位数大于八年级中位数， 七年级学生对本次研学活动更加满意； （3）540 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求出值，再求出八年级包含“满意”的人数所占的百分比，即可求出m的值； （2） 从平均数及中位数的角度分析即可（答案不唯一）； （3）用七、八年级的学生总数乘以七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：七年级的满意度得分数据中：77出现的次数最多， 众数为77， ， （人），（人） （人） 八年级“非常满意”所占的百分比为：， ， 将八年级的满意度得分数据从小到大排列，第10个数据和第11个数据分别是80，84， 中位数为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 七、八年级的满意度得分为“非常满意”的人数分别为10和8， （人） 答：七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数为540人． 【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，众数，统计表，扇形统计图等，熟练掌握中位数，众数的意义和求法，统计表和扇形统计图的互补性，用样本数据估计总体，是解答本题的关键． 22. 某服装销售商用元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的倍，每件的进价多了元． （1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？ （2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？ 【答案】（1）第一次购进了这种服装件，每件进价元 （2）销售价定为元/件 【解析】 【分析】（1）设每件进价 元，根据题意，列出方程，解出方程，即可； （2）设销售价为 元/件，根据题意，列出方程，解出方程，即可． 【小问1详解】 设每件进价 元 ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∵， ∴第一次购金了这种服装件， 答：第一次购进了这种服装件，每件进价元． 【小问2详解】 设销售价为 元/件， ∴每天销售量为， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴． ∴销售价定为元/件． 【点睛】本题考查一元二次方程和分式方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程和分式方程的应用． 23. 如图，在 中， ， ，点 为 上一点，，过点 作交 于点 ．点 ， 的距离为， 的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时 的取值范围． 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从 港出发，分别向 ， 两港运送物资，最后到达 港正东方向的 港装运新的物资．甲货轮沿 港的东南方向航行海里后到达 港，再沿北偏东方向航行一定距离到达 港．乙货轮沿 港的北偏东方向航行一定距离到达 港，再沿南偏东方向航行一定距离到达 港．（参考数据：，，） （1）求 ， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 、 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 港？请通过计算说明． 【答案】（1） ， 两港之间的距离海里； （2）甲货轮先到达 港． 【解析】 【分析】（ ）过 作于点 ，由题意可知：，，求出，即可求解； （）通过三角函数求出甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，然后比较即可； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【小问1详解】 如图，过 作于点 ， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴ ， 两港之间的距离海里； 【小问2详解】 由（ ）得：，，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，（海里）， ∴甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里）， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达 港． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线 下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，P的坐标为 （3）G的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A、B坐标代入解析式求解即可； （2）解：设，过A作于G，先求出点C的坐标，然后求出，证明，，可得，求出，则，待定系数法求出直线 解析式为，进而求出直线 解析式可设为，可求出，，然后利二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的函数解析式，当G在x轴上方时，设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，可证明，利用同角的三角函数值相等，可求，利用待定系数法求出直线 解析式为，然后求直线 与平移后抛物线的交点G坐标即可；当点G在x轴下方时， 作H关于直线 的对称点Q，连接，过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，可证，求出，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， 过A作于G， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线 解析式为 ， ∴， 解得， ∴直线 解析式为， ∵， ∴直线 解析式可设为， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，P的坐标为； 【小问3详解】 解：， ∵原抛物线沿射线 方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 当G在x轴上方时， 设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线 解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 当点G在x轴下方时， 作H关于直线 的对称点Q，连接， ∴，， 过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 综上，G的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 26. 在 中， ，D是平面内一点，连接 ．将 绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到 ，且满足，连接． （1）如图1， ，D是 边上一点，求的度数； （2）如图2，D是平面内一点，F是 的中点，连接 ．猜想 与 存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； （3）在（2）的条件下，若，在直线 上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），证明如下： 延长到M，使得，连接， A是 的中点， F是 的中点， 是的中位线， ， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，由， ，得到，进而推出 ，结合 ，证明，得到，由即可得出结果； （2）延长到M，使得，连接，推出，证明，得到，即可得出结论； （3）证明为等边三角形，再证明，得到 ，由 ，当为菱形的边时，推出点M与点C重合，进而得到，即，根据，推出， 点是 的中点，根据，同理，当为菱形对角线时，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 解：旋转的性质得到，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 当为菱形的边时， 四边形是锐角为的菱形， ，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点M与点C重合， ， ， ， ， ， ， ； 当为菱形的对角线时，点M在点处， 四边形是锐角为的菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 综上，． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，求正切值，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2022级九年级下期入学定时作业 数学 （考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用黑色签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中最小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 若两个相似三角形面积的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图是某班数学兴趣小组用棋子摆成的“上”字，第①个“上”字共用6枚棋子，第②个“上”字共用10枚棋子，第③个“上”字共用14枚棋子，……，以此规律，第⑨个“上”字需用的棋子枚数为（ ） A. 18 B. 28 C. 30 D. 38 8. 如图，边长为2的正方形 内接于 ，以点D为圆心， 的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形纸片 中，，E是 边的中点，连接 ，F是 边上一点，连接 ，将矩形纸片 沿着 翻折，使得点C落在 上（如图中的点G），则 的长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 对于若干个数，同时挑选任意两个数作差（前数减后数），再将所有可能的这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”． 例如，对1，2，3进行“差绝对值运算”，得． ①对，3，4，6进行“差绝对值运算”的结果是20； ②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果一共有8种． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 小明和小颖分别从三部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___． 14. 如图，点A，B，C，D在同一直线上，，，点C，F分别是 ， 的中点，若，则 的长为______． 15. 已知m为方程的一个根，则代数式的值为_____． 16. 若关于 的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是________． 17. 如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点．连接 交 于点 ，点 是 上一点，连接 ， ，过点 作交 的延长线于点 ．若 ，，，则 的长度是________； 的长度是________． 18. 若一个正整数M能分解成，其中p与q都是两位数，且p与q的个位数字相同，十位数字相加等于10，则称M为“方加数”，并把M分解成的过程，称为“方加分解”．例如：因为，13与93的个位数字相同，十位数字相加等于10，所以262是“方加数”，则最小的“方加数”是______；把一个四位“方加数”M进行方加分解，即中，将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位上的数字之和能被3整除，则满足条件的M的最大值为______． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10题，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，这条垂线与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在平行四边形 中，点是对角线 的中点．用尺规过点作 的垂线，分别交于点，连接 ， ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形 ，点分别在上，经过对角线 的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴① ，， ∵点是 的中点， ∴② ， ∴， ∴③ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形 是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ． 21. 为丰富学生课余生活，培养学生生活实践能力，某校在4月初举办了研学活动，全体七八年级学生参与了此次活动．活动结束后学校随机从七八年级各抽取了20名学生对研学活动进行满意度调查．（满意度得分用x表示，共分为四组：非常满意，满意，基本满意，不满意）七年级的满意度得分数据： 58，86，67，77，90，86，77，90，78，100，85，77，63，88，67，89，88，80，91，83． 八年级包含“满意”的所有得分数据：72，78，75，73，78，84，80，78，84． 年级 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占的百分比 七年级 81 84 a 八年级 81 b 78 （1） ______， ______， ______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对本次研学活动更加满意？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知七八年级共有学生1200人，请估计七八年级对本次研学活动“非常满意”的学生人数大约是多少？ 22. 某服装销售商用元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的倍，每件的进价多了元． （1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？ （2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件元销售，每天平均能卖出件，销售价每降低元，则多卖出件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为元，销售价应为多少？ 23. 如图，在 中， ， ，点 为 上一点，，过点 作交 于点 ．点 ， 的距离为， 的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从 港出发，分别向 ， 两港运送物资，最后到达 港正东方向的 港装运新的物资．甲货轮沿 港的东南方向航行海里后到达 港，再沿北偏东方向航行一定距离到达 港．乙货轮沿 港的北偏东方向航行一定距离到达 港，再沿南偏东方向航行一定距离到达 港．（参考数据：，，） （1）求 ， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 、 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 港？请通过计算说明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线 下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线 方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 26. 在 中， ，D是平面内一点，连接 ．将 绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到 ，且满足，连接． （1）如图1， ，D是 边上一点，求的度数； （2）如图2，D是平面内一点，F是 的中点，连接 ．猜想 与 存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； （3）在（2）的条件下，若，在直线 上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $