精品解析：湖北省随州市2024-2025学年九年级上学期期末学业水平模拟考试数学试卷

随州市2024-2025学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下是在围棋谱中截取的由黑白棋子摆成的图案，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图案是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 3. 关于的二次函数的图象过原点，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵二次函数的图象过原点， ∴，， ∴， 故选：A． 4. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）． A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为2 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点为常数)中各项参数与函数性质的关系． 根据二次函数顶点式的性质，分析的值确定开口方向，由h，k的值确定对称轴和顶点坐标，进而判断各选项的正误． 【详解】对于二次函数，它是顶点式的形式，其中， 因为，所以该二次函数图象开口向下，A选项错误； 函数图象的对称轴为直线不是直线，B选项错误； 由于该函数图象开口向下，所以函数有最大值，没有最小值，当时，取得最大值2，C选项错误； 二次函数顶点式的顶点坐标为，已知，所以该函数图象的顶点坐标为，D选项正确． 故答案选：D． 5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 6. 如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题以考查反比例函数的性质知识点，利用点在反比例函数图象上这一条件，得出点的横纵坐标与函数表达式之间的关系，进而求出相关数值并比较大小． 【详解】解：设反比例函数的表达式为为常数，． 在反比例函数的图象上， ， 在反比例函数图象上， 解得 则 故选：B． 8. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理．首先根据圆周角定理，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数． 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 9. 如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用菱形的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 根据菱形的性质可知：点A与点C关于原点对称，据此即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ，即点A与点C关于原点对称， 又点A的坐标是， 点C的坐标是， 故选：B． 10. 某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在0.90附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是0.90， 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 设，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先将变形成，并解方程得出a值，然后对所求代数式进行化简，再将a值或含a的代式整体代入即可得解． 【详解】解：， ，， 或（不合题意，舍去）， ． 故答案为： ． 12. 已知是方程的两个根，则的最小值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数关系、完全平方公式，根据题意得到两根的和与积的等式，再结合完全平方公式进行化简，利用非负数的性质求解即可． 【详解】解；∵是方程的两个根， ∴，，且， 则 ， 故答案为：16． 13. 已知，且，则的值为_______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 14. 如图，的内切圆分别与三边相切于点，则的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，， ，，， 设， ∵在中，， ∴， 整理得，， 解得：，（不合题意舍去）， 则， ， ， 故的面积为24， 故答案为：24． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，则的度数为_______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，四边形内角和，涉及到互补的关系，能熟练运用旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质得到对应角相等，然后在四边形中，利用四边形内角和为，求出的度数． 详解】根据旋转可得：， ， ， 在四边形中， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 若关于的一元二次方程有一根为1． （1）求的值； （2）求上述一元二次方程的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系． （1）将已知的方程的根代入原方程，通过解方程求出的值． （2）把求得值代入原方程，确定完整的一元二次方程，再利用韦达定理，根据已知根求出方程的另一个根． 【小问1详解】 把代入方程， 得到． 解得； 【小问2详解】 将代入原方程， 方程变为， 即，这里， 设方程的另一个根为，已知一个根， ，则， 可得， 则一元二次方程的另一个根． 17. 如图，都是的半径，与交于点．若，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用得到，再结合勾股定理求出半径，即可得到的长，在圆的问题中，垂径定理通常和勾股定理一起使用，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由， ． ， ， ， ． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】此题考查了作图——旋转变换，弧长公式，解题关键是掌握旋转的性质和弧长公式． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点、，即可画出图形； （2）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点旋转到点所经过的路径长； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴点旋转到点所经过的路径长为． 19. 某商场举行“抽奖返现”有奖促销活动，顾客购买商品的金额达到100元，即可按以下方案抽奖一次；达到200元，即可抽奖两次；以此类推． 方案：从装有1个红球、1个黄球、1个蓝球（仅颜色不同）的不透明袋中随机摸出1个球．若是红球，则获得奖金5元；若是黄球，则获得奖金3元；若是蓝球，则获得奖金2元；每次兑奖后将摸出的球放回袋中． 某顾客在该商场购买商品的金额为200元，请用列表或画树状图求下列事件的概率： （1）两次抽奖的奖金和等于10元． （2）两次抽奖的奖金和不低于5元． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． （1）利用列表法即可求解； （2）利用列表法即可求解． 【小问1详解】 解：列表为： 共有9种等可能的结果，两次抽奖的奖金和等于10元只有1种情况， ∴两次抽奖的奖金和等于10元的概率是； 【小问2详解】 解：由（1）列表得两次抽奖的奖金和不低于5元 ∴两次抽奖的奖金和不低于5元有8种情况， ∴两次抽奖的奖金和不低于5元的概率是． 20. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 【答案】（1）点的坐标为；的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点； （2）先求出点的坐标，用含k的式子表示出，，，的坐标，进而得出和的长，再列式，最后约分即可． 小问1详解】 解：令，则． 解得：． 点的坐标为； 联立 得， 解得或（舍去，）， 经检验是此方程的解． ． 点的坐标为． 【小问2详解】 解：点为线段的中点， ，． 线段的中点的坐标为； 轴，轴， ，． 点在上， ，解得．即点的坐标为． 设，， ，，， ， ， 则点的坐标为， ，，， ， ， 则点的坐标为， ． 21. 已知为的直径，弦交点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作的切线交的延长线于，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得出，根据等腰三角形性质得出得出，根据圆周角定理得出，求出，最后求出结果即可； （2）根据切线性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，解直角三角形得出． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ， ∵， ， ， ， ∵， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵过点作的切线交的延长线于， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 22. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： （1）求y与x函数关系式； （2）若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ （3）求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 【答案】（1） （2）80元 （3）销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选． （3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为：， 代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴周销售单价定为80元； 【小问3详解】 解：设周销售利润为W，则： =， ∴当时，， ∴销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元． 23. 矩形中，，点分别在边上，． （1）如图1，连接，若，求证：； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得出，根据三角形内角和定理可得出，根据直角三角形两锐角互余可得出，，进而可得出 ，则可得出． （2）由，将绕点顺时针旋转，得，则，再证明，由全等三角的性质得出，设，由勾股定理得出，进而求出，，进而可得出答案． （3）将绕点顺时针旋转，得，证明，由全等三角形的性质得出，作交的延长线于点，再利用勾股定理求出， 设，由 再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 解：如图，， ， 而 则， 又∵是矩形， ∴， ． 【小问2详解】 解：如图，由，将绕点顺时针旋转，得 则 则 又 ， 设，由 ∴． 即． 则（舍去） 【小问3详解】 解：如图，绕点顺时针旋转，得 则 则 又 作交的延长线于点 设，由 得 则（舍去） ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 24. 已知抛物线的顶点为． （1）当时，直接写出抛物线开口方向及抛物线与轴的两个交点的坐标；抛物线的开口方向：_______（填“向上”或“向下”）；与轴的两个交点的坐标（_______，_______），（_______，＿＿）； （2）当取最大值时，求点的坐标； （3）当时，对于抛物线上的点，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）向上；；； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点坐标； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）由配方法可得，可得，再进一步求解即可； （3）由可得，可得，再分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵当时，抛物线为： ∴抛物线的开口方向：向上， 当， 解得：，； ∴轴的两个交点的坐标； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点为， ， ， ， 当的最大值为4时，． ， ； 【小问3详解】 解：当时，由，得 ， 则 即时， （Ⅰ）当，即时， ，即；或，即（不成立，舍去） （Ⅱ）当，即时， 即；或，即（不成立，舍去） 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 随州市2024-2025学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 以下是在围棋谱中截取的由黑白棋子摆成的图案，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 3. 关于的二次函数的图象过原点，则的值为（ ）． A. 1 B. C. D. 0 4. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（）． A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为2 D. 顶点坐标为 5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）． A B. C. D. 8. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ） A 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 设，则的值为_______． 12. 已知是方程的两个根，则的最小值为_______． 13. 已知，且，则的值为_______． 14. 如图，的内切圆分别与三边相切于点，则的面积为_______． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，则的度数为_______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 若关于的一元二次方程有一根为1． （1）求值； （2）求上述一元二次方程的另一个根． 17. 如图，都是的半径，与交于点．若，求的长． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转后得到，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，求点旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 19. 某商场举行“抽奖返现”有奖促销活动，顾客购买商品的金额达到100元，即可按以下方案抽奖一次；达到200元，即可抽奖两次；以此类推． 方案：从装有1个红球、1个黄球、1个蓝球（仅颜色不同）的不透明袋中随机摸出1个球．若是红球，则获得奖金5元；若是黄球，则获得奖金3元；若是蓝球，则获得奖金2元；每次兑奖后将摸出的球放回袋中． 某顾客在该商场购买商品的金额为200元，请用列表或画树状图求下列事件的概率： （1）两次抽奖的奖金和等于10元． （2）两次抽奖的奖金和不低于5元． 20. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的平行线与双曲线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）过线段的中点作轴的平行线与双曲线交于点，与双曲线交于点，求的值． 21. 已知为的直径，弦交点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作的切线交的延长线于，若，，求的长． 22. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： （1）求y与x函数关系式； （2）若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ （3）求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 23. 矩形中，，点分别在边上，． （1）如图1，连接，若，求证：； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，连接，若，求的长． 24. 已知抛物线的顶点为． （1）当时，直接写出抛物线开口方向及抛物线与轴的两个交点的坐标；抛物线的开口方向：_______（填“向上”或“向下”）；与轴的两个交点的坐标（_______，_______），（_______，＿＿）； （2）当取最大值时，求点的坐标； （3）当时，对于抛物线上的点，恒有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $