精品解析：河北省保定市定兴县等5地2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期12月教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 笔、墨、纸、砚是中国独有的书法书画用具，如图，这是一方端砚及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（ ） A. 2400平方米 B. 2800平方米 C. 3000平方米 D. 3200平方米 6. “明月团团高树影”出自辛弃疾的《清平乐·谢叔良惠木犀》，其释义：天上的一轮明月皎洁明亮，月光下高大的桂树投下了团团影子．在下列四幅图中，表示同一时刻、同一地点的两棵树在月光下影子的可能是（ ） A. B. C. D. 7. 小慧购买了一些盲盒后，得到如图所示的若干张印有不同型号的歼敌机的卡片，卡片除正面图案外其余均相同．若将卡片背面朝上，从中任意抽取一张，则抽取的卡片正面图案是歼的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（ ） A. B. C. D. 10. 圭表是通过测定日影长度来确定节气的仪器，如图，这是某地冬至阳光经过点A照射到圭表的情景，其中是表的影长，，，若测得此时米，则光线的长为（ ） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 若二次函数的图象与二次函数的图象开口大小相同，且与y轴的交点为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 1或 12. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点B重合，当时，点P的坐标为（ ） A. 或 B. 或， C. 或， D. 或， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，，，则______． 14. 已知在反比例函数的图象的每个分支上，y的值随着x的增大而减小，则k的取值范围是______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个正根为______． 16. 如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）将该二次函数的表达式化为的形式． （2）写出该二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）当a为何值时，方程有两个相等的实数根． （2）在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 19. 如图，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m，n，k的值． （2）若P是y轴正半轴上的一点，连接，直线与y轴交于点Q，当时，求的面积． 21. 河北名楼—清远楼位于河北省张家口市的宣化古城．如图，小明在清远楼对面的斜坡的坡底C处用测角仪测得点A的仰角为，在坡顶D处用测角仪测得点A的仰角为，已知斜坡，斜坡的长为24米，测角仪的高度忽略不计． （1）求的值． （2）求清远楼的高． 22. 如图，这是小明设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨，互相垂直．现小明计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨，（不计耗损），且要求．设的长为，四边形的面积为． （1）用含x的代数式表示______，并求出自变量x的取值范围． （2）求y与x的函数表达式． （3）当x取何值时，y的值最大？最大值为多少？ 23. 如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，连接，求证：． （3）若，求的值． 24. 如图，抛物线． （1）试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． （2）若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期12月教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，杜老师在黑板上画出了二次函数的图象，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟悉抛物线的开口方向和的关系是解题的关键．由题意得，，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故选：B． 2. 笔、墨、纸、砚是中国独有的书法书画用具，如图，这是一方端砚及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法是正确解答的关键．画出这个方端砚的俯视图即可． 【详解】解：这个方端砚的左视图为： 故选：C． 3. 小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出，即，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：B 4. 反比例函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，如图： ， 故选：B． 5. 为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（ ） A. 2400平方米 B. 2800平方米 C. 3000平方米 D. 3200平方米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和判定，菱形的性质是解题的关键；根据矩形的性质可证四边形是矩形，四边形是矩形， 可得米， 米，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图： 四边形是矩形，矩形荒地的长为80米，宽为60米， 米，米，， 菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 米， 菱形花圃的面积为平方米， 故选：． 6. “明月团团高树影”出自辛弃疾的《清平乐·谢叔良惠木犀》，其释义：天上的一轮明月皎洁明亮，月光下高大的桂树投下了团团影子．在下列四幅图中，表示同一时刻、同一地点的两棵树在月光下影子的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A、影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B、影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 小慧购买了一些盲盒后，得到如图所示的若干张印有不同型号的歼敌机的卡片，卡片除正面图案外其余均相同．若将卡片背面朝上，从中任意抽取一张，则抽取的卡片正面图案是歼的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由题意可得：抽取的卡片正面图案是歼的概率是， 故选：A． 8. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查学生对特殊的三角函数值以及三角形的内角和的掌握，由，，且，知，；接下来由特殊的三角函数值得出，，至此利用三角形内角和定理即可得出答案，关键是求出与的值． 【详解】解：，，且， ，， ，， ，， ． 故选：C． 9. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程． 解方程：． 解：， ， ∴__△_ ∴=（△）， 或， ． 若以上解答过程正确，则“△”“△”应分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解方程：． 解：， ， ， ∴， ∴=， 或， ，． 故选：A 10. 圭表是通过测定日影长度来确定节气的仪器，如图，这是某地冬至阳光经过点A照射到圭表的情景，其中是表的影长，，，若测得此时米，则光线的长为（ ） A. 3米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟记余弦函数是解题的关键；根据余弦函数求解即可． 【详解】解：， ， 在中， ， 米， 故选：． 11. 若二次函数的图象与二次函数的图象开口大小相同，且与y轴的交点为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，根据二次函数的图象与二次函数的图象开口大小相同，得到，然后把点代入求出对应的的值，从而可得到抛物线解析式，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象与二次函数的图象开口大小相同， ， 二次函数经过点， ， 则的值为1或 故选：D． 12. 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，点P在y轴右侧的抛物线上，且不与点B重合，当时，点P的坐标为（ ） A. 或 B. 或， C. 或， D. 或， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与面积的综合问题，先根据抛物线与y轴交点求出c的值， 再求出二次函数于x的交点坐标，设，根据已知条件可得出，解绝对值方程进而可求出点P的坐标． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴抛物线为， 另，则， 解得：，， 则，， ∴， 设， ∵， ∴ 即， 解得：（舍去），，，（舍去）， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选：C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】∵在中，，， ∴，即 ∴． 故答案为：3． 14. 已知在反比例函数的图象的每个分支上，y的值随着x的增大而减小，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，图象在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当时，图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y的值随着x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 15. 二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个正根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由抛物线和轴交点和对称轴知，，解得：，即抛物线和轴的另外一个交点为：，即可求解． 【详解】解：由抛物线和轴交点和对称轴知，， 解得：， 即抛物线和轴的另外一个交点为：， 则关于x的一元二次方程的一个正根为， 故答案为：． 16. 如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，过点P作交于点F，由勾股定理求出，然后得到，，证明出四边形是矩形，得到，设点D到的距离为h，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作交于点F， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 设点D到的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴点D到的距离为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数． （1）将该二次函数的表达式化为的形式． （2）写出该二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】（1）； （2）开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键： （1）利用配方法将一般式转化为顶点式即可； （2）根据顶点式的性质，进行作答即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 由（1）知，该抛物线表达式是 ，则该二次函数的图象的开口方向向上， ∴对称轴是直线，顶点坐标是． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）当a为何值时，方程有两个相等的实数根． （2）在（1）的条件下，求方程的两个相等的实数根． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系． （1）求出根的判别式，令根的判别式等于0，解出即可； （2）将a值代入，再解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴当时，方程有两个相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴方程为， ∴， 解得． 19. 如图，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）由平行线的性质得，结合可证明； （2）根据相似三角形的性质列式求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m，n，k的值． （2）若P是y轴正半轴上的一点，连接，直线与y轴交于点Q，当时，求的面积． 【答案】（1）； （2）16． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点，代入一次函数，求出的值，再把点代入，求出的值，即可作答． （2）先求出，得，再运用列式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：将点代入， 得； 将点代入， 得； 将点代入， 得． 【小问2详解】 解：当时，， ∴点， ∴， ∴， ． 21. 河北名楼—清远楼位于河北省张家口市的宣化古城．如图，小明在清远楼对面的斜坡的坡底C处用测角仪测得点A的仰角为，在坡顶D处用测角仪测得点A的仰角为，已知斜坡，斜坡的长为24米，测角仪的高度忽略不计． （1）求的值． （2）求清远楼的高． 【答案】（1）； （2）清远楼的高为36米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）作，先由平行线的性质结合三角形内角和定理求出，再由正切的定义即可得解； （2）先解直角三角形求出米，再求出的长即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵千米， ∴， 解得米． 在中，， （米）． 答：清远楼的高为36米． 22. 如图，这是小明设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨，互相垂直．现小明计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨，（不计耗损），且要求．设的长为，四边形的面积为． （1）用含x的代数式表示______，并求出自变量x的取值范围． （2）求y与x的函数表达式． （3）当x取何值时，y的值最大？最大值为多少？ 【答案】（1），； （2）； （3），最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、列代数式、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意表示出的长，结合列出不等式，解不等式即可得解； （2）根据计算即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：． ． ， ， ∴x的取值范围是． 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴y与x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：， ， ∴当时，y的值最大，最大值为． 23. 如图1，在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）如图2，连接，求证：． （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ． ， ， ， ， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，熟练掌握菱形的判定及性质定理是解本题的关键． （1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）根据四边形是菱形得到，得到，再利用等腰三角形的性质得到，即可解答； （3）求得，得到，再通过角度计算得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ． ， ， ， ， ∴． 24. 如图，抛物线． （1）试说明：无论为何值，抛物线必经过某个定点． （2）若抛物线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，且满足． ①求的值． ②抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：法一：当时，， ∴无论为何值，抛物线必经过定点． 法二：由，可得， ， 解得：， ∴无论为何值，抛物线必经过定点； （2）①；②存在，点P的坐标是或． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数图像和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）法一：把代入，即可求解；法二：将整理成，计算求解即可； （2）①由题意，可知，，求得，进而求解点的坐标，进而求解的值；②连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点，把代入，求得点的坐标，进而求得直线的表达式，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由题意，可知，， ∴， ∴，解得（舍去），， ∴点的坐标是． 把点代入，得，解得． ②∵，抛物线的表达式是． 如图，连接，在轴上取点，使得，过点作，交抛物线于点， 则， ∵， 点的坐标是， 点的坐标是． 把代入，得， 点的坐标是． 设直线的表达式是，则， 解得， ∴直线的表达式是． 设直线的表达式是， 把点代入， 得， ∴直线的表达式是． 联立方程组，得， 解得，， ∴抛物线上存在点，使得，点的坐标是或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $