2025届全国II卷（辽吉黑）高考数学预测卷（六）

2025届高考预测卷（六） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解集合，再求即可. 【详解】因为的定义域为，所以， 由得，解得，所以， 故， 故选：B． 2．若复数z满足，则的虚部为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用复数除法运算及i的周期性运算即可. 【详解】因为，所以， 则，故的虚部为1. 故选:C． 3．已知向量与的夹角满足，且，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】直角根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意知，. 故选：A 4．已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一  利用辅助角公式化简函数，然后根据最值点建立方程，利用诱导公式求解即可； 解法二  利用辅助角公式化简函数，然后利用同角关系求得，从而利用两角和公式求解即可. 【详解】解法一 ， 因为在处取得最小值，所以，，即，， 所以. 故选：D 解法二  ， 因为在处取得最小值，所以，则， 所以. 故选：D 5．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高．目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为（    ） A．252 B．162 C．357 D．324 【答案】C 【分析】由题意确定不同的选法，结合组合数的运算即可求解. 【详解】从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，也可以不选， 则不同选法有，，，， 所以不同的选择方案的种数为. 故选：C． 6．单位圆O：上有两个动点，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，进一步设，，，从而将表示成与有关的三角函数，进一步即可求解. 【详解】连接，因为，即，则． 不妨设，，， 则， 故. 故选：D． 7．已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分别判断函数与的对称性与单调性，进而求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，其图象关于点对称，且在，上单调递减， 而， 所以的图象关于点对称，且在，上单调递减． 因为函数为奇函数，其图象关于点对称，且为上的增函数， 所以的图象关于点对称，且为上的增函数． 从而与的图象有两个关于点对称的交点，故两交点的纵坐标之和为2． 故选：B． 8．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，过的直线交于两点，交的渐近线于两点，且，将与的面积分别记为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，，，，，将直线方程和渐近线、双曲线方程联立，利用面积关系得到线段关系结合韦达定理求离心率即可. 【详解】由题意可得，因为，不妨设直线的方程为，    由及双曲线的对称性可知在双曲线的两支上， 不妨设，，，, 由得，由，得，则, 设，，联立整理得， 则，， 所以， 由，可知， 又利用相似可得， 即，整理得， 又， 所以，所以的离心率, 故选:D 【点睛】求双曲线的离心率的方法 （1）公式法：直接求出或找出任意两个量之间的关系，代入公式求解． （2）构造法：由已知条件得到关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元方程求解． （3）其他方法：①通过特殊值或特殊位置求离心率，例如，令，求出相应的值，进而求出离心率；②在焦点三角形中（，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点），设，，，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，a，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分．现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列不会发生变化的是（    ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数 【答案】ACD 【分析】先由下四分位数求出a，再分别计算变化前后的数字特征即可判断. 【详解】由知，这组数据的下四分位数是第2个数据与第3个数据的平均数， 即，得． 原来的8个数据 去掉一个最高分和一个最低分后的6个数据 平均数 极差 中位数 18 18 众数 18 18 故选:ACD． 10．已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（    ） A．若，则三点共线 B．若，则三点共线 C．若，则三点共线 D．若，则三点共线 【答案】BC 【分析】设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，.AB：结合所给的条件即可判断；C：分别求出切线、的方程，由斜率之积为可得即可判断；D：结合抛物线的定义化简计算即可判断. 【详解】设直线的方程为，代入抛物线方程得， 则，，， 所以， . 选项A：若，则，得， 故直线：，不一定经过焦点，三点不一定共线，故A错误. 选项B：若，则，得， 故直线：，经过焦点，三点共线，故B正确. 选项C：设在点处的切线方程为：，即， 与抛物线方程联立得， ，即，解得， 所以：，即， 即切线的方程为，同理切线的方程为， 由，得，得，由B知直线经过焦点，故C正确. 选项D：因为， 则， 整理得，则，故直线：， 不一定经过焦点，三点不一定共线，故D错误. 故选：BC 11．在实数集中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”，记为“”：已知，，，当且仅当“”或“且”．定义两点的“”与“”运算：，．则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则且 C．若，则对任意的点T，都有 D．若，则对任意的点T，都有 【答案】AC 【分析】根据新定义，利用逻辑推理的数学思维，结合选项依次判定即可. 【详解】选项A：因为，，所以， 故由定义可知，故A正确； 选项B：根据定义可知，当时，有， 当时，y与2024之间没有大小关系，故B错误； 选项C：设，，，则由可得，“”或“且”， 由定义得，， 当时，，所以； 当时，有，此时，且，所以，故C正确； 选项D：设，，取， 则有，， 显然不成立，故D错误． 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为，若每箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用独立重复试验概率的求解即得. 【详解】依题意，王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为. 故答案为： 13．已知圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，，，圆台的底面圆周都在球O的表面上，点O在线段上，且，记圆台的体积为，球O的体积为，则 ． 【答案】/ 【分析】画出图形，根据比例关系设参，即设圆台的上、下底面半径分别为r，2r，球O的半径为R，，根据勾股定理列式用分别表示出，再利用圆台体积公式、球的体积公式代入运算，两式相比即可求解. 【详解】 由可设圆台的上、下底面半径分别为r，2r，球O的半径为R，，因为，所以，所以，， 所以，， 所以． 故答案为：. 14．已知数列，的前n项和分别为，，且，，，，则 ；若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，结合等比数列、等差数列的定义可得；将不等式转化为对任意的恒成立，记，利用导数求出即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 所以，， 易知，，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，，则． 解法一  因为对任意的，恒成立， 所以对任意的恒成立，即． 记，易知，所以， 当时，，解得或； 当时，，解得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 因为，，，所以， 即实数的取值范围为． 解法二  因为对任意的，恒成立， 所以对任意的恒成立．记， 则，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在①当时，，②数列与均为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知正项数列满足，______． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，证明：． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选条件①，利用累加法求通项公式；选条件②，根据等差数列的通项公式求通项公式； （2）利用放缩法和裂项相消法求，即可得证. 【详解】（1）方案一：选条件①． 当时， ， 又，符合上式， 因此数列的通项公式为． 方案二：选条件②． 由数列为等差数列，可设， 则，即， 因此． 又数列为等差数列，因此，从而． 又，所以， 因此数列的通项公式为． （2）由（1）知，，因此． 则，， 当时，，因此， 从而． 综上，． 16．2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴，为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，得到如下表格： 认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解 人数/万人 10 30 5 5 (1)为了帮助大家记住“龙行龘龘，欣欣家国”这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则参与者可以获得奖励，求参与者获得奖励的概率； (2)若从参与调查的人员中按照分层随机抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型，结合排列的知识求解即可； （2）先确定X的所有可能取值为0，1，2，再分别求出概率即可得到X的分布列，利用数学期望的计算式进行计算即可. 【详解】（1）将这8个字随机排列，不同的排列方法有种， 相同的字分别相邻的不同情况有种， 故参与者可以获得奖励的概率. （2）根据分层随机抽样可知，A类参与调查的人员抽取4人，B类参与调查的人员抽取12人， C类参与调查的人员抽取2人，D类参与调查的人员抽取2人， X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的数学期. 17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，，．      (1)求证：； (2)若，E为棱PB上一点，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接BD，设BD交AC于点O，由菱形的性质可得，O为AC的中点，然后利用等腰三角形三线合一的性质得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面PBD，从而得到. （2）找到两两垂直的三条线建立空间直角坐标系，利用菱形的性质及勾股定理可求得，，写出相关点和向量的坐标，然后求得两平面的法向量，最后利用向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）连接BD，设BD交AC于点O，则，O为AC的中点，又，则， 又，平面PBD，于是平面PBD，而平面PBD， 所以.    （2）由，O为BD的中点，得，由（1）知，， 则直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由四边形ABCD为菱形，，，得，又，则， 于是，，，，， 设，则，， 由，得，即， 由三点共线，得，即，解得，得， ，，设是平面BCE的法向量， 则，令，得， ，设是平面DCE的法向量， 得，令，得， 因此， 所以二面角的正弦值为． 18．已知函数． (1)讨论的最值； (2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最大值，无最小值 (2) 【分析】（1）由题意，利用导数求解函数的最值即可； （2）根据转化的思想将问题转化为函数的图象与直线恰有2个交点，利用导数讨论函数的性质，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】（1）由题知的定义域为，， ∴当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0， ∴当时，取得最大值，无最小值． （2）解法一 由题知有2个零点， ∴方程，即有2个解． 设，， 则函数与的图象恰有2个交点． ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴， 当x趋近于0时，趋近于a，当x趋近于时，趋近于． 作出函数与的大致图象，如图所示．    结合函数图象知，要使函数与的图象恰有2个交点， 则，∴， 即实数a的取值范围为． 解法二 由题知有2个零点， ∴方程，即恰有2个解． 设，则函数的图象与直线恰有2个交点． ，设， 则， ∴函数即单调递增，∵，∴当时，，单调递减， 当时，，单调递增，∴， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于． 如图，作出直线与的大致图象，    结合函数图象知，要使直线与的图象恰有2个交点，则， 故实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 已知函数的零点情况求参数的取值范围常用的方法和思路 （1）分类讨论法，将所有可能出现的情况进行分类，然后逐个论证，属于完全归纳． （2）分离参数法，分离参数，将原问题转化成函数最值问题加以解决． （3）数形结合法，先对函数解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 19．已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0． (1)求C的标准方程． (2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值36 【分析】（1）根据题意得到，根据的最小值为0及得到，结合C经过点得到，，即可写出C的标准方程； （2）先讨论直线，的斜率不存在的情况，当直线，的斜率存在且不为0时，设出直线，的方程，根据点P到直线，的距离均为及根与系数的关系得到，斜率之间的关系，设，，联立直线与椭圆方程，得到，，结合弦长公式得到结果. 【详解】（1）由题知，， 设，，则，故， 所以 ，当且仅当时取等号． 所以，即，所以． 因为椭圆C经过点，所以， 所以，，所以C的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，：，， 由点P到直线的距离为，可得，分别与联立， 均可求得， 由点P到直线的距离为，可得直线的方程为，， 此时． 当直线的斜率不存在时，同理可得． 设直线的方程为，因为点P到直线的距离为， 所以，平方、整理得． 设直线的方程为，同理可得． 所以，是关于k的方程的两个不相等的实数根， 所以． 设，，则由，得，同理可得． 所以 ． 综上，，为定值．    【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，关键是求解与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数（参数通常为动点的坐标或动直线的斜率等），利用距离公式或弦长公式得到线段长度的函数关系式，再对式子化简，得出结果． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考预测卷（六） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则的虚部为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．已知向量与的夹角满足，且，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B． C． D． 5．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高．目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为（    ） A．252 B．162 C．357 D．324 6．单位圆O：上有两个动点，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，则与的图象交点的纵坐标之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 8．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，过的直线交于两点，交的渐近线于两点，且，将与的面积分别记为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，a，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分．现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列不会发生变化的是（    ） A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数 10．已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（    ） A．若，则三点共线 B．若，则三点共线 C．若，则三点共线 D．若，则三点共线 11．在实数集中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似实数排序的定义，我们定义“点序”，记为“”：已知，，，当且仅当“”或“且”．定义两点的“”与“”运算：，．则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则且 C．若，则对任意的点T，都有 D．若，则对任意的点T，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为，若每箭是否中靶相互独立，则王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为 ． 13．已知圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，，，圆台的底面圆周都在球O的表面上，点O在线段上，且，记圆台的体积为，球O的体积为，则 ． 14．已知数列，的前n项和分别为，，且，，，，则 ；若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在①当时，，②数列与均为等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知正项数列满足，______． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，证明：． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 16．2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴，为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，得到如下表格： 认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解 人数/万人 10 30 5 5 (1)为了帮助大家记住“龙行龘龘，欣欣家国”这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则参与者可以获得奖励，求参与者获得奖励的概率； (2)若从参与调查的人员中按照分层随机抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望. 17．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，，．      (1)求证：； (2)若，E为棱PB上一点，且，求二面角的正弦值． 18．已知函数． (1)讨论的最值； (2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 19．已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0． (1)求C的标准方程． (2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$