2025届全国II卷（辽吉黑）高考数学预测卷七

2025届高考预测卷（七） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通分，再将分式的分母实数化求得复数代数式，再求其模即得. 【详解】因， 故. 故选:B． 2．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】因为，， 又，中有2个元素， 所以中的2个元素只能是，则，解得. 故选：A. 3．已知直线，直线，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若直线和直线平行， 则，解得， 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 4．函数，则的部分图象大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在区间上函数值的正负，用排除法得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除A. 故选：C. 5．若平面单位向量，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意确定，得到，再根据进行求解，或在平面直角坐标系中设出，，的坐标，利用坐标运算进行求解． 【详解】解：法一  由，，得， 所以， 所以，故选：A． 法二  由题意可设，，（）， 则，得， 又，则，故， 所以． 故选：A 6．已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一： 先利用平移变换分别得到函数解析式，再根据相位差为求解；法二：利用向左平移和向右平移的单位长度和为函数的周期的整数倍求解. 【详解】法一： 函数（）的图象仅向左平移个单位长度 得到函数的图象， 函数（）的图象仅向右平移个单位长度 得到的图象， 则（），即（），即（）， 由于，所以当时，取得最小值， 故选：C． 法二： 函数的最小正周期为， 依题意有（），则（）， 由于，所以当时取得最小值， 故选：C． 7．已知是抛物线：（）的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一  设，由抛物线的定义知，利用为正三角形，求得，在中，利用勾股定理求得，即可求解； 解法二  根据抛物线定义得为正三角形，在中，由得，即可求解，得解. 【详解】解法一  设，则，由抛物线的定义知，， 因为，所以为正三角形，所以，所以. 设抛物线的准线与轴的交点为，在中，， 即，所以，又，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. 解法二  由抛物线的定义可知，又，所以为正三角形. 设抛物线的准线与轴的交点为，所以. 又，且，所以， 所以在中，，即，所以抛物线的标准方程为. 故选C. 8．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断． 【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意， 当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得． 由切点在切线上，得， 由切点在曲线上，得， 所以，． 如图所示： 故当直线与曲线（且）无公共点时，． 故选：D 【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某超市负责人统计了该超市2016年到2023年的年营业额（单位：万元），得到如图所示的条形图，则下列说法正确的是（    ） A．2016年到2023年的年营业额的极差为2200万元 B．2016年到2019年的年营业额波动幅度比2020年到2023年的年营业额波动幅度大 C．2016年到2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势 D．2016年到2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等 【答案】AC 【分析】选项A：由极差定义求解；选项B：由条形图判断；选项C：由条形图判断；选项D：利用中位数和平均数的定义判断. 【详解】选项A：2016年到2023年的年营业额的最大值为3400万元，最小值为1200万元，所以极差为（万元），故A正确． 选项B：2016年到2019年的年营业额波动幅度比2020年到2023年的年营业额波动幅度小，故B错误． 选项C：2016年到2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势，故C正确． 选项D：将2016年到2023年的年营业额按从小到大的顺序排列如下：1200，2000，2100，2200，2400，2800，3200，3400， 所以2016年到2023年的年营业额的中位数是2200和2400的平均数，即2017年和2018年的年营业额的平均数，故D错误． 故选：AC 10．如图，四棱锥是所有棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．四点共面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】ACD 【分析】对于A，取的中点，先证平面，平面，由平面平面得四点共面，得，可证得即得；对于B，运用反证法思想进行说明，引出矛盾，排除B项，对于C，由A结论，运用线面垂直易得线线垂直，对于D，只需证明两个平面有中两组分别相交的平行线即得. 【详解】 对于选项A：如图，取的中点，连接，，，， 依题意，可得，，， 因平面，则平面，同理平面， 又平面平面，所以四点共面， 易知，，所以四边形是平行四边形， 故，因为，所以，所以四点共面，故A正确； 对于选项B：假设平面，因平面,则，所以是菱形， 这与，矛盾，故B错误； 对于选项C：由A知平面，平面，所以，故C正确； 对于选项D：由A知，又，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面， 又，，平面，所以平面平面，故D正确． 故选：ACD. 11．设，，…，（），，，…，（）为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和．则下列说法正确的是（    ） A．数组和的反序和为30 B．若，，其中（）都是正实数，则 C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3 D．已知正实数满足，为定值，则的最小值为 【答案】AC 【分析】选项A，由反序和的定义可得；选项BCD，根据题意分别确定两组从小到大的正实数组，由排序原理可得不等关系或所求最值. 【详解】选项A，根据反序和的定义可知，数组和的反序和为 ，故A正确； 选项B，设两组正实数均为，则为两组正实数的顺序和，为两组正实数的乱序和，由排序原理知，故B错误； 选项C，不妨设两组正实数为，，和，，，其中， 则，则是两组正实数的乱序和， 是两组正实数的反序和，故，故C正确； 选项D：设两组正实数为，，…，和，，…，，其中， 则，则是两组正实数的乱序和， 是两组正实数的反序和， 故，故D错误． 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分理解排序原理，利用反序和≤乱序和≤顺序和的结论逐一分析和选项，从而得解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为坐标原点，若，，成等差数列，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据，，成等差数列，得到，即求解. 【详解】解：由，，成等差数列， 得，即， 所以，即， 又，得． 故答案为： 13．2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术书法摄影民间文艺作品展览、书画笔会、中秋文艺晚会等内容．假如在美术书法摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，现将这7幅作品挂在同一面墙上，要求美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 【答案】1824 【分析】以美术作品不能挂两端的排列为样本空间，利用间接法求解即可. 【详解】先求美术作品不能挂两端时不同的排列方法，分步计算： 第一步，美术作品先从除两端外的个位置选个位置有序排列有种方法， 第二步，其他件作品个位置全排列有种方法， 故美术作品不能挂两端时不同的排列方法有（种）； 再求美术作品不能挂两端、摄影作品相邻时不同的排列方法，分步计算： 第一步，先将摄影作品捆绑看为组作品，则件作品中件美术作品不挂两端，从个位置中选个位置排列美术作品，有种方法， 第二步，组摄影作品与其他件作品的排列方法有种方法， 第三步，摄影作品组的件作品内部排列有种方法 故美术作品不能挂两端、摄影作品相邻时不同的排列方法有（种）， 则美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻的不同的排列方法有（种）． 故答案为：. 14．已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为的中点，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】解法一  连接，，记，确定为外接圆的圆心，然后利用面面垂直的性质定理证明平面，利用球的性质建立方程求解外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可； 解法二 连接，，利用面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，先求出的外接圆圆心，然后计算出球心的坐标，即可求出球的半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】解法一  连接，，记，则. 连接，，则，故为外接圆的圆心. 取的中点，连接，则，所以点在的外接圆上． 连接，因为为等边三角形，所以，. 由平面平面，知平面平面， 又平面平面，平面，所以平面. 设三棱锥的外接球半径为，则， 故三棱锥的外接球的表面积为.    解法二  连接，，则为正三角形，，故， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    得，，，，，， 由为等边三角形，则的外接圆圆心为. 设三棱锥的外接球的球心为，连接，，， 则平面，又平面，所以. 设，由，可得， 解得，因此球心，故外接球半径， 故三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求几何体外接球的半径，可以根据题意先画出图形，确定球心的位置，进而得到关于球的半径的式子，解题时要注意球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等.在确定球心的位置后可在直角三角形中表示出球的半径，此类问题对空间想象能力和运算求解能力要求较高，难度比较大. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在中，. (1)若，求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一  先利用同角三角函数基本关系求得，再利用正弦定理结合两角和正弦公式化简求解即可； 解法二  结合已知利用余弦定理求得，然后利用同角三角函数基本关系求解即可. （2）利用余弦定理得，然后利用三角形面积公式结合二次函数性质求解即可. 【详解】（1）解法一  因为，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，则. 解法二  设，则， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 所以，所以. （2）由（1）中解法二可知，， 在中，由余弦定理得， 所以 ，当时取等号， 故面积的最大值为. 16．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过作下底面的垂线交下底面于点，过作的平行线，交圆于，，即可求出结果； （2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面和平面，利用面面角的向量法，即可求出结果. 【详解】（1）是的中点，． 要满足平面，需满足， 又平面，平面平面 如图，过作下底面的垂线交下底面于点， 过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹． （2）易知可以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 母线长为，母线与底面所成角为45°，，，，， 取的位置如图所示，连接， ，，即， 则，，，，， 则，，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，． 设平面与平面所成的角为，则 ， ． 17．素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． (1)声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值； （2）先借助分层抽样确定随机变量的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望. 【详解】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率， 则，， 令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故的极大值点． （2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名， 所以的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 ． 18．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，过的左焦点且垂直于一条渐近线的直线分别交两条渐近线于点，（，在轴同侧），且． (1)求双曲线的标准方程； (2)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）在，易得，，根据条件，利用正切的倍角公式求得，进而求得，，即可求出结果； （2）双曲线的两条切线分别为，，分别联立双曲线方程得，，联立两切线方程，求出交点轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出结果. 【详解】（1）设为坐标原点，不妨设，因为双曲线的渐近线方程为，即， 又，在中，，， 易知，所以， 所以，得到， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 故双曲线的标准方程为． （2）圆：上不存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直， 若双曲线的两条切线有交点，则易知两条切线的斜率存在且不为0，设双曲线的两条切线分别为，， 将代入，消得， 由，得， 同理可得． 设两条切线的交点坐标为， 则，得且， 所以，是关于的方程的两根， 整理得， 所以，化简得， 所以两条切线的交点的轨迹为圆， 因为圆的圆心为，半径为， 圆：，即，圆心为，半径为， 连接，则，又，所以两圆相离， 故圆：上不存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直． 【点睛】方法点晴：椭圆（）的两条垂直切线的交点的轨迹是圆；双曲线（）的两条垂直切线的交点的轨迹是圆（）；抛物线（）的两条垂直切线的交点的轨迹是直线． 19．已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令 (1)求数列，的通项公式； (2)若，求证：（）． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）先由题设条件①②③推理得到在区间上单调递减，由求得；再由数列的递推式推理得到等比数列的通项公式，运用迭代法求得的通项； （2）先求出，得到，利用条件③得到，整理推得，然后进行放大，将其变形为，从而，对赋值代入再相加，再利用等比数列求和公式计算即得. 【详解】（1）不妨设，则， ， ， 若，即， 此时有，与题设矛盾， 故， ，在区间上单调递减， ，． 又由， 两边同时除以，化简可得，即， 是以为首项，4为公比的等比数列，． 又，， 当时， ． 又当时，， 故． （2）由（1）可得． 当时，，且， ，， 又， ，即， ， ，即， ， ． 【点睛】思路点睛：解题思路在于，先由受启发，需求函数的最小值，即需判断其单调性.这就需要根据条件①②③推得函数的单调性，其次是两个数列通项公式的求解，需要紧扣已知的两个数列递推式发掘其内在联系才可求出；对于（2），需要通过函数的放缩才能得出结论，继而利用等比数列求和公式证得结论. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考预测卷（七） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，直线，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数，则的部分图象大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．   5．若平面单位向量，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知是抛物线：（）的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某超市负责人统计了该超市2016年到2023年的年营业额（单位：万元），得到如图所示的条形图，则下列说法正确的是（    ） A．2016年到2023年的年营业额的极差为2200万元 B．2016年到2019年的年营业额波动幅度比2020年到2023年的年营业额波动幅度大 C．2016年到2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势 D．2016年到2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等 10．如图，四棱锥是所有棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．四点共面 B．平面 C． D．平面平面 11．设，，…，（），，，…，（）为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和．则下列说法正确的是（    ） A．数组和的反序和为30 B．若，，其中（）都是正实数，则 C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3 D．已知正实数满足，为定值，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，为坐标原点，若，，成等差数列，则的离心率为 ． 13．2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术书法摄影民间文艺作品展览、书画笔会、中秋文艺晚会等内容．假如在美术书法摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，现将这7幅作品挂在同一面墙上，要求美术作品不能挂两端、摄影作品不能相邻，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 14．已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为的中点，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．在中，. (1)若，求； (2)若，求面积的最大值. 16．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点． (1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）； (2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值． 17．素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． (1)声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 18．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，过的左焦点且垂直于一条渐近线的直线分别交两条渐近线于点，（，在轴同侧），且． (1)求双曲线的标准方程； (2)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直，并说明理由． 19．已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令 (1)求数列，的通项公式； (2)若，求证：（） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$