精品解析：山西运城市康杰中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

康杰中学2026—2027学年第一学期 高一年级（开学考试）数学试题 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，得或，再由充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】由，可得或，则可以推出， 推不出，所以是的充分不必要条件， 故选：C. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过移项通分将分式不等式转化为等价整式不等式组，结合分母不为零的条件求解集． 【详解】， 解得． 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为：  ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得：   因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 7. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 8. 若不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. R 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，，是方程的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到． 【详解】由题意可知：，是方程的两个实根， 则，解得，， 则不等式，即为， 即为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 10. 若集合，，则满足的实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据交集结果分别讨论和的情况，结合集合中元素的互异性可求得结果. 【详解】，或； 若，则，此时，，满足题意； 若，则或， 当时，，，满足题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性，不合题意； 综上所述：的取值可能为或. 故选：AB. 11. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算及真子集的概念可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 13. 已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 14. 下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 【答案】 ②③ 【解析】 【分析】由作差法，不等式性质结合题设可得答案. 【详解】对于①，因，则，当且仅当时取等号； 所以，故①不成立； 对于②，因，则；故②成立； 对于③，因，则，又， 则；故③成立； 对于④，，因为，所以， 则，故④不成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集U为R，集合，或求： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集运算的定义求解即得； （2）先求并集，再由补集运算的定义即得． 【小问1详解】 因，或， 则； 【小问2详解】 全集U为R，，或， 则或，故. 16. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得是的子集，据此可得答案； （2）分集合B为空集、非空集两种情况，结合交集为空的条件列不等式求解可得答案. 【小问1详解】 . 若是的充分条件，则，结合为非空集合，可得 ， 解得， 故的取值范围是； 【小问2详解】 对于，当时，，解得，满足； 当时，即，要使交集为空，则或，解得， 结合，得. 综上可得：. 17. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【答案】21420元 【解析】 【分析】设该蓄水池池底的一边长为，总造价为元，则，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是21420元． 18. 设命题，；命题，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据全称量词命题为真命题，结合二次函数的性质，即可求解； （2）首先转化为是真命题，结合二次方程的判别式，列式求解； （3）根据前两问的结果，首先求、都是真命题时的的取值范围，再求其补集，即可求解. 【小问1详解】 若是真命题，则，得； 【小问2详解】 若是假命题，则，是真命题， ，得； 【小问3详解】 由（1）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则 所以若、至多一个为真命题，则. 19. 解下列关于x的不等式 【答案】当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026—2027学年第一学期 高一年级（开学考试）数学试题 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 7. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式的解集为则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. R 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 10. 若集合，，则满足的实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 设正实数m，n满足，则（　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则集合的真子集个数为_________. 13. 已知，且，则的最大值为________． 14. 下列不等式中成立的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集U为R，集合，或求： （1）； （2）. 16. 已知集合，集合． （1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． （2）若，求实数的取值范围； 17. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 18. 设命题，；命题，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，求实数的取值范围； （3）若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 19. 解下列关于x的不等式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $