精品解析：湖南省娄底市新化县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年九年级上学期12月月考试题 数学 考生注意： 1． 本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2． 请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，据此即可求解． 【详解】A、函数中，y是x的反比例函数，符合题意； B、函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意； C、函数中，y不是x的反比例函数，不符合题意； D、函数中，y是x的一次函数，不符合题意． 故选：A． 2. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；先移项，然后直接开平方法即可求解. 【详解】解：， 即， ， ，． 故选：A． 3. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ，，， ，故D选项正确； ， ，，，故A、C选项正确， ，故B选项结论错误， 故选：B． 4. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 滑梯斜面的坡度， ， ， ， 故选：C． 5. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9环，两人射击成绩的折线统计图如图所示，方差分别为，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据甲、乙两人射击成绩的波动情况、方差的定义即可得． 【详解】解：由折线统计图可知，乙射击成绩比甲射击成绩更为分散、稳定性更差， 则由方差的定义得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了方差，掌握理解方差的定义是解题关键． 6. 大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故选：B． 7. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的正弦值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 由勾股定理可得，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：由图可得： ， ， 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(　　) A. (2，4) B. (－1，－2) C. (－2，－4) D. (－2，－1) 【答案】C 【解析】 【详解】根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2， 故点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(－2，－4)， 故选C. 9. 图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该盒子的高为，根据题意可知折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为，列出方程即可． 【详解】解：设该盒子的高为，根据题意可得． 故选：D． 10. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴解得：，负值舍去， ∴，， ∴矩形的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知反比例函数，当时，函数y随x的增大而_____________； 【答案】减小 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，函数y随x的增大而减小． 故答案为：减小 12. 在中，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的正切值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键． 由已知条件可知，为的一个锐角，、为直角边，为斜边，则由勾股定理可得，再根据锐角三角函数的定义得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 为的一个锐角，、为直角边，为斜边， 如图所示， 由勾股定理可得： ， ， 故答案为：． 13. 如图，四边形四边形，则的度数为______． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．利用相似多边形对应角相等、对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ∴，，， 故答案为：． 14. 为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为____． 【答案】3150名． 【解析】 【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：， ∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400×=3150(名) ． 故答案为：3150名． 【点睛】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键． 15. 已知是方程的一个根，则______，另一个根为______． 【答案】 ①. 7 ②. 6 【解析】 【分析】可将该方程的已知根代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出a值和方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为x1， 又∵x=1是方程x2-ax+6=0的一个根， 解得x1=6，a=7． 故答案为：7，6． 【点睛】此题也可先将x=1代入方程中求出a的值，再利用根与系数的关系求方程的另一根． 16. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数中最小的数. 例如：， 结合上述材料，可求得___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义题型，本质上是特殊角的三角函数值及比较实数大小，掌握特殊角得三角函数值是解决问题的关键． 根据定义，计算三角函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 17. 设，是关于的一元二次方程：的两实根，当时，的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系和根的判别式，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得：，，，再将利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：，是关于的一元二次方程：的两实根， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 故答案为：． 18. 如图，如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，…分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则 _____________________． （用含n的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，…分别为边，，，，的中点，即可求得的面积，又由，即可得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，…分别为边，，，，的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 （本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、正弦、绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、正弦、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解： ． 20. 反比例函数与一次函数的图象都过． （1）求A点坐标； （2）若点在反比例函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）m的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）直接把点A坐标代入一次函数解析式中求出a的值即可得到答案； （2）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 将点代入得：， ∴反比例函数解析式为． 把代入得：． ∴m的值为． 21. 如图，在中，，，，点在上，且． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由得出，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）设，则，，由勾股定理可得，求出的值，最后再由余弦的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， 由勾股定理可得； 【小问2详解】 解：设， ，， 由（1）知， 在中，由勾股定理， ， 解得， ，， ． 22. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=cm，AF=cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 【答案】（1）DE=6；（2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，列出比例式，进而即可求解； （2）根据勾股定理求出AE的长，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵△ADF∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE=6； （2）∵四边形ABCD为平行四边形，∠EAD=∠AEB=90°， ∴在Rt△EAD中，， ∴AE=3（cm）， ∴S□ABCD=BC·AE． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握上述性质和定理，是解题的关键． 23. 巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b （1）根据以上信息可以求出：a＝　　，b＝　　，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）9，10， 补充统计图如下： （2） 七年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． （3）约480人 【解析】 【分析】本题考查了统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计算公式是解题关键． （1） 用（人），根据中位数的定义第13个数据是中位数，在B组中，可以确定a值，根据所占百分比最大的数据是众数，计算b；后完成统计图的补充即可． （2）根据方差越小，越稳定解答． （3）用总人数乘以优秀率即可得到人数． 【小问1详解】 根据题意，得C组的人数为：（人）， 根据中位数的定义第13个数据是中位数，恰好在B组中， 故（分）； ∵A组所占的百分比最大， ∴众数A组中， 故（分）， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有480人． 24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）4.2米；（2）14米 【解析】 【分析】（1）可得，在中由即可求AG； （2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，， ∴，，． 在中，，， ∵，，． ∴（米） 答：屋顶到横梁的距离约是4.2米． （2）过点作于点，设， 在中，，， ∵，∴， 在中，，， ∵，∴． ∵， ∴， ∵，， 解得． ∴（米） 答：房屋的高约是14米． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 25. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； （2）关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解法求出方程的两个根，根据衍生点的定义，写出M的坐标即可； （2）先求出点的坐标，得到点所在的直线，进而得到当点所在的直线时，两点距离最近，进行求解即可． 本题考查解一元二次方程，一次函数与几何的综合应用，掌握衍生点的定义，是关键． 【小问1详解】 解：∵， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， 解得：， ∴， ∴点在直线上， 如图：当直线时，M距原点最近， ∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与对称轴的交点为，， ∴为等腰直角三角形， ∴当时，为的中点， ∴； ∴． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． AI 【答案】（1）1；（2）； （3）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，， 又∵， ， ， ， ， ， ； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质计算即可； （3）过点作交的延长线于点，证明，列出比例式，证明结论； （4）过点作于点，连接交于点，与相交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ∴，即， （2）设与交于点，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ∴， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， （3）略 （4）∵将沿翻折，点落在点处得， ∴， ∴垂直平分， 过点作于点，连接交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，即，设，则， ， ， 或（线段长的负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级上学期12月月考试题 数学 考生注意： 1． 本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2． 请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的两个根是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，交于点，若，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9环，两人射击成绩的折线统计图如图所示，方差分别为，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 大约在2400年前，墨子与其弟子做了历史上第1个小孔成像的实验，如图1．并在《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(　　) A. (2，4) B. (－1，－2) C. (－2，－4) D. (－2，－1) 9. 图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知反比例函数，当时，函数y随x的增大而_____________； 12. 在中，，，，则的值为______． 13. 如图，四边形四边形，则的度数为______． 14. 为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为____． 15. 已知是方程的一个根，则______，另一个根为______． 16. 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数中最小的数. 例如：， 结合上述材料，可求得___________． 17. 设，是关于的一元二次方程：的两实根，当时，的值为______ 18. 如图，如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，…分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则 _____________________． （用含n的式子表示） 三、解答题 （本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： 20. 反比例函数与一次函数的图象都过． （1）求A点坐标； （2）若点在反比例函数的图象上，求m的值． 21. 如图，在中，，，，点在上，且． （1）求的长； （2）求的值． 22. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在线段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=cm，AF=cm． （1）求DE的长； （2）求▱ABCD的面积． 23. 巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b （1）根据以上信息可以求出：a＝　　，b＝　　，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 25. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； （2）关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为_____； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，且，求的值． AI 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $