拓展9-3 平面向量及其应用高频题型专攻-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

拓展9-3 平面向量及其应用高频题型专攻 一、向量的线性运算 六、向量的夹角 二、向量共线问题 七、投影向量 三、三点共线问题 八、平面向量的实际应用 四、向量的数量积运算 九、平面向量范围与最值问题 五、向量的模 一、向量的线性运算 【例1】在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【答案】 【详解】如下图所示： 在中，是上一点，且，则， 所以，，故. 故答案为：. 【例2】如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 【变式1-1】如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    【答案】 【详解】连接，显然在上，且， 故， 又，故.    故答案为： 【变式1-2】（多选）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 【变式1-3】在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【详解】因为是直线上一点，故可设， 所以,， 又，所以， 所以，又，不共线， 所以， 所以，. 故答案为：. 二、向量共线问题 【例3】向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【答案】2 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 【例4】已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】向量，，由，得， 解得或，由能推出或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-1】已知向量且向量方向相反，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量且向量方向相反， 当时，，不满足题意， 当时，，解得，且， 所以，，且， 经检验只有满足题意， 故选：D 【变式2-2】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得. （2）由，得， 由与共线，得，所以. 【变式2-3】设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（    ） A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系 【答案】A 【解析】利用向量的线性运算，求得，由此判断出两者反向平行. 【详解】 故选：A. 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量共线的条件，属于基础题. 三、三点共线问题 【例5】已知、是两个不共线的向量，且向量，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】对于A，因为， 所以，所以三点不共线，故A错误； 对于B，因为 所以， 所以，又是与的公共点， 所以三点共线，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，所以三点不共线，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以三点不共线，故D错误. 故选：B 【例6】如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式3-1】已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 【变式3-2】若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则 . 【答案】 【详解】因为A，B，C三点共线，所以存在使得， 即， 故，将其代入得， ， 即， 由于上式恒成立，，故，解得， 因为为锐角，所以. 故答案为： 【变式3-3】已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，，故，，所以. 因为三点共线，所以，得. 故选：B. 四、向量的数量积运算 【例7】已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 【例8】已知两个单位向量的夹角为，且向量，则 ． 【答案】0 【详解】两个单位向量的夹角为，向量， 所以. 故答案为：0 【变式4-1】在矩形中，，，点是AB中点，点P在BC边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，建立平面直角坐标系. 由易知可得，，，，，， 设，则，，. 所以，，则，所以. 所以，. 故选：A. 【变式4-2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】如图，过点O作于D，可知， 则， 故选：C 【变式4-3】如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 五、向量的模 【例9】已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 所以，则. 故选：B. 【例10】若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，，两两所成的角相等且不共线， 向量，，两两夹角为， ， 则， 故选： 【变式5-1】已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为，所以，又，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 【变式5-2】已知向量的夹角为，则 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 . 【答案】 【详解】由题意可知：，则， 因为点M是AB的中点，点N是DE的中点， 则， 两式相加可得， 则， 即，所以. 故答案为：. 六、向量的夹角 【例11】设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由向量且，得，则， 所以. 故选：B 【例12】已知向量，满足，，，则 ． 【答案】/ 【详解】由，得，， ． 故答案为： 【变式6-1】已知平面向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， ． 故选：D． 【变式6-2】已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 【变式6-3】已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 七、投影向量 【例13】已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 在上的投影向量为. 故选：B． 【例14】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知，，. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若点满足，，求点的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 故向量与夹角的余弦值为． （2）依题意可得，， 由，不妨设， 所以， 因为， 所以，解得， 所以，即， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的坐标为． 【变式7-1】已知，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）与的夹角为， 在方向上的投影向量． （2）与的夹角是锐角， ，且与不能同向共线， 即， 当与同向共线时，设，得. 且． 【变式7-2】已知，，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】在上的投影向量为 , 故答案为： 【变式7-3】已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 八、平面向量的实际应用 【例15】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【答案】A 【详解】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则， ，，与的夹角为150°， 故. 故选：A. 【例16】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与所成的角为， 由题意得，， 则 . 故选:A 【变式8-1】一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【答案】A 【详解】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为. 故选：A 【变式8-2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时， 其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】根据题意，得，，与的夹角为， 所以， 解得， 对于①，因为时，单调递减， 所以越小越省力，越大越费力，故①正确； 对于②：由题意知的取值范围是，故②错误； 对于③：因为，所以当时，， 所以，故③正确； 对于④：因为，所以当时，， 所以，故④错误. 故选：A. 【变式8-3】如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    【答案】 【详解】因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为， 所以作用力与斜面之间所成的角度θ满足， 所以， 记沿斜面向上方向的单位向量为， 则位移，， 故答案为：. 九、平面向量范围与最值问题 【例17】已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【答案】 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 【例18】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【答案】4 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 故答案为：. 【变式9-1】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设正八边形的边长为2， 则， ， 由得， 即，解得， 故； 由投影向量可知，当在线段上时，取的最大值， 最大值为， 当在线段上时，取的最小值， 最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：， 【变式9-2】已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示    由图像可知，与夹角的范围为， 所以, 所以. 故选：D. 【变式9-3】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展9-3 平面向量及其应用高频题型专攻 一、向量的线性运算 六、向量的夹角 二、向量共线问题 七、投影向量 三、三点共线问题 八、平面向量的实际应用 四、向量的数量积运算 九、平面向量范围与最值问题 五、向量的模 一、向量的线性运算 【例1】在中，是上一点，且，用基底表示向量，则 . 【例2】如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【变式1-1】如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    【变式1-2】（多选）如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【变式1-3】在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为 . 二、向量共线问题 【例3】向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【例4】已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知向量且向量方向相反，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【变式2-3】设，，分别是的边，，上的点，且，，，则与之间的关系为（    ） A．反向平行 B．同向平行 C．一定不平行 D．不能判断两个向量的关系 三、三点共线问题 【例5】已知、是两个不共线的向量，且向量，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例6】如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【变式3-1】已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】若A，B，C三点共线，对任意一点O，有（为锐角）成立，则 . 【变式3-3】已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接．交于点，且满足，，，则（    ） A． B． C． D． 四、向量的数量积运算 【例7】已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例8】已知两个单位向量的夹角为，且向量，则 ． 【变式4-1】在矩形中，，，点是AB中点，点P在BC边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，已知，点O是的外心，则（    ） A．16 B． C．8 D． 【变式4-3】如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 五、向量的模 【例9】已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【例10】若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量满足，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式5-2】已知向量的夹角为，则 . 【变式5-3】如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 . 六、向量的夹角 【例11】设，向量且，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知向量，满足，，，则 ． 【变式6-1】已知平面向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 七、投影向量 【例13】已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例14】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知，，. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若点满足，，求点的坐标及向量在向量上的投影向量的坐标. 【变式7-1】已知，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【变式7-2】已知，，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【变式7-3】已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 八、平面向量的实际应用 【例15】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【例16】如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，则游船要从A行到正北方向上位于北岸的码头处，其航行速度的大小（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【变式8-2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，给出以下结论： ①越大越费力，越小越省力；②的范围为； ③当时，；④当时， 其中正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式8-3】如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    九、平面向量范围与最值问题 【例17】已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【例18】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【变式9-1】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形内角和为，若，则的值为 ；若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的取值范围为 ． 【变式9-2】已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$