精品解析：广东省深圳市深圳高级中学（集团）东校区2024-2025学年下学期九年级开学考数学试卷

深圳高级中学（集团）东校区开学数学检测 一、选择题（共8小题，共计24分） 1. 如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） ①两边同时除以得； ②整理得，，，，，； ③整理得，配方得，，，，； ④移项得：，或，，． A. ① B. ② C. ④ D. ③④ 5. 在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A B. C. D. 7. 某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A. 当时， B. 光照强度越大，电路中的电流越大 C. 当报警器报警时，光照强度为 D. 烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共3小题，共计15分） 9. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 10. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 11. 如图，将边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是______． 13. 如图，等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 三、解答题（共7小题，共计61分） 14. 计算： 15. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文 化的根脉，小华在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是大、美、江、西，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）， 现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小华从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“大”的概率为 ___________； （2）小华从中随机抽取一张卡片，不放回，小亮再从中随机抽取-张卡片，请用列表法或画树 状图法求两人抽取的卡片恰好组成"江西"词的概率． 16. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 17. 如图，在中，是对角线． （1）请你用无刻度直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点M、N，交于点O（不写作法、保留作图痕迹）； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，则四边形的周长为______． 18. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 19. 请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米． 处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 20. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学（集团）东校区开学数学检测 一、选择题（共8小题，共计24分） 1. 如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 故选C． 2. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得，进而得到，求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ； 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质等相关知识是解决问题的关键． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律先求出平移后的解析式，再根据平移后的解析式求出平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为，即， ∴移后抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 4. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） ①两边同时除以得； ②整理得，，，，，； ③整理得，配方得，，，，； ④移项得：，或，，． A. ① B. ② C. ④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①不能两边同时除以，会漏根；②化为一般式，利用公式法解答；③利用配方法解答；④利用因式分解法解答． 【详解】解：①不能两边同时除以，会漏根，故错误； ②化为一般式，，，，故错误； ③利用配方法解答，整理得，配方得，，故错误； ④利用因式分解法解答，完全正确， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5. 在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际运用，设小城的边长为x步，利用可得比例关系，代入相关数据即可计算． 【详解】解：设小城的边长为x步，根据题意，， 则， ， ， ， ， 故选：B． 6. 函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象． 【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误； 当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数图像与系数的关系． 7. 某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ） 信息框 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． 3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警． A. 当时， B. 光照强度越大，电路中的电流越大 C. 当报警器报警时，光照强度为 D. 烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，运用待定系数法可得反比例函数解析式，由此可判定A，B选项，根据阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警，运用电路中电压、电流、电阻的关系可判定C选项；根据题意判定D选项即可求解． 【详解】解：设，点在反比例函数图象上， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，，故A正确，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，当光照强度越大，电路中电阻的值越小， ∵导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比， ∴光照强度越大，电路中电流越大，故B正确，不符合题意； 当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警， ∴， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； 烟雾浓度越大，越小，则越大，即光敏电阻的阻值越大，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 8. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 二、填空题（共3小题，共计15分） 9. 若，是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可． 【详解】解： 对于，系数为1，为3， ，是一元二次方程的两个根， ． 故答案为：． 10. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴估计箱子里白球的个数为16． 故答案为：16． 11. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，先读数得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 过B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B坐标为， ∵反比例函数，在第一象限内的图象经过点B， ∴． 故答案为：． 13. 如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 如图，过作于，过作于，过作于， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（共7小题，共计61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】原式 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 15. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文 化的根脉，小华在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是大、美、江、西，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）， 现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小华从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“大”的概率为 ___________； （2）小华从中随机抽取一张卡片，不放回，小亮再从中随机抽取-张卡片，请用列表法或画树 状图法求两人抽取的卡片恰好组成"江西"词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率． (1)直接利用概率公式计算即可； (2)通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“江西”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 小问1详解】 解：一共有大、美、江、西，4张卡片，小华从中随机抽取一张卡片， 抽取卡片上的文字是“大”的概率为 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“江西”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“江西”一词）． 16. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，坡度为，， ∴， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则． ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 17. 如图，在中，是对角线． （1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点M、N，交于点O（不写作法、保留作图痕迹）； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，则四边形的周长为______． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，在线段两侧分别得到一个交点，连接两个交点，交于点M、N，交于点O即可； （2）四边形是菱形，连接，根据平行四边形的性质结合，是的垂直平分线，证明，得到，即可证明； （3）证明，求出，再根据四边形是菱形，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：四边形是菱形，理由如下： 连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边形的性质是解题的关键． 18. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【答案】（1）；（2）符合要求；（3）40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围； （2）根据中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，再根据总利润销售利润承包费列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要让利于顾客， ∴． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 19. 请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米． 处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案； 任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值； 任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【详解】解：任务 如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 则点为原点， 由题意得，，， 则点的坐标为， 令抛物线的解析式为， 将点代入中得， ， 解得：， 则抛物线的解析式为． 任务（米）， 将代入得， ，（舍）， （米， （米），（米）， 琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米． 任务3：将代入得， ，（舍）， ， 该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间． 20. 【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ． 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可； （2）根据正方形性质得出即可； （3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可． 详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴, ∴ ∵, ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2， ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵，， ∴ ∵, ∴， ∴ ∴, ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴cm， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $