精品解析：辽宁省鞍山市海城市西部集团2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025海城市九年级（上）第三次质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键． 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合，根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 故选：C． 2. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把3代入方程求解可得k的值． 【详解】解：关于的方程的一个根是， ， ， 故选：B． 3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 直接利用二次函数图形得出a、b的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，， A、一次函数图象，得，，故A错误； B、一次函数图象，得，，故B错误； C、一次函数图象，得，，故C正确； D、一次函数图象，得，，故D错误； 故选：C． 4. 如图，将线段绕点旋转得到线段，已知，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据旋转的性质可得，，然后利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 根据题意可知，，，， ． 故选：B． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆． D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选D． 【点睛】圆的认识． 6. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 7. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ） A. 与x轴相离，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 【答案】A 【解析】 【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：点到x轴为4，大于半径3， 点到y轴的距离为3，等于半径3， 故该圆与x轴相离，与y轴相切， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 8. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接，， 为正五边形， ， ； 故选：B 9. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10， 则底面周长为，， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，． 故选：D． 10. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，找出全部情况的总数和符合条件的个数是解题的关键． 根据概率的求法计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有个小球，其中红球有个， ∴摸出一个球是红球的概率是．   故选：Ａ ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ____________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．利用一元二次方程的定义及根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 12. 已知点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可． 【详解】解：抛物线经过点，， 此两点关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 13. 如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，利用中心对称的性质得出，，再利用勾股定理得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长． 【详解】解：作于H，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率．利用列表法或画树状图法求解即可． 【详解】解：分别记三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》为，，，画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中他们选择的影片相同有3种等可能的情况， （他们选择的影片相同）． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ，或， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ，． 17. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，垂足为，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质．由旋转可得：，，进而得到，由可得，推出，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ， ， ， ， ． 18. 某校一年级开设人数相同的四个班级，分别是1班，2班，3班，4班，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到1班”的概率是________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名新生分到相邻两个班级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种，求出甲恰好被分在1班的概率即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在班号相邻的两个班级的情况数，求出甲、乙被分在班号相邻的两个班级的概率即可． 【小问1详解】 解：∵所有等可能的情况数有4种，甲恰好被分在1班的情况有1种， ∴甲恰好被分在1班的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 所有等可能的情况有16种，其中甲、乙被分到相邻两个班级的情况数有6种，分别为，， 则（甲、乙被分在相邻两个班级）． 19. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元． （1）求A，B两种品牌足球的单价． （2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？ 【答案】（1）A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元 （2）学校最少需要花费2120元 【解析】 【分析】（1）根据购买6个品牌的足球和4个品牌的足球共需960元；购买5个品牌的足球和2个品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到的取值范围，再依次代入计算可得结果． 【小问1详解】 解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：种品牌的足球单价为80元，种品牌的足球单价为120元； 【小问2详解】 若购品牌的足球个，则购买品牌的足球个， 则共需要元， 购买品牌的足球不少于3个且不多于7个， 购买品牌的足球有3个或4个或5个或6个或7个， 分别代入可得：当购买品牌的足球7个时，式子取得最小值，原式， 答：学校最少需要花费2120元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的代数式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． （1）直接写出不等式的解集：　 　． （2）求反比例函数和一次函数的表达式； （3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 【答案】（1）或 （2）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，求得一次函数在双曲线上方的的取值范围，即可求解； （2）将，两点代入中，解得，，将和代入中，待定系数法求解析式即可求解； （3）设与轴交于点，连接，由题意可知，点与点关于原点对称，则，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或； 故答案为：或； 【小问2详解】 将，两点代入中，得， 解得，， 反比例函数的表达式为； 将和代入中 得， 解得， 一次函数的表达式为：； 【小问3详解】 设与轴交于点，连接， 由题意可知，点与点关于原点对称， ． 在中，当时，， ， 垂直轴于点， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求解析式，求三角形面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，以为直径的交边于点D（点D不与点A重合），交边于点E，过点E作，垂足为F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于点E，是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）由圆的内接四边形的性质可得，可得，然后通过证明，可得，可求，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ∵是直径， ， ，， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ∴的半径． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． 22. 如图，在矩形中，点O为对角线中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于G、H两点． （1）求证：； （2）已知，； ①当点H在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形时矩形， ∴， ∴， 由对称的性质得：， ∴， ∴； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，推出，根据对称的性质可得，推出，即可证明； （2）由点O为中点，可得，设，，则，，证明，得到： ①证明，得到，设，，则，，即可求解； ②分两种情况讨论：当时，过点H作于T，当时，过点H作于R，根据矩形的判定与性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点O为中点，， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 由1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当为等腰三角形时， 由①知，，， ∴， 分以下三种情况讨论： 当时，如图1，过点H作于T， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图2，过点H作于R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， 解得：，，不合题意，舍去， ∴此种情况不成立； 当，且H在延长线上时，如图3，过H作交延长线于点K， 有得， ， 解得（舍去），， 此时； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 23. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接，当时，求点E的坐标； （3）在(2)的条件下，在y轴上任取一点，过P，A，B三点作新抛物线． ①当新抛物线顶点在线段上时，求m的值． ②当新抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）①由待定系数法求出抛物线表达式，当时，，即可求解； ②根据图象知，当或时，新抛物线与线段只有一个公共点；求出新抛物线的表达式为：，联立上式和并整理得：，则，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：过点E作轴于点H，由抛物线的表达式知，点，则点， 则， 则， 则， 则点； 【小问3详解】 解：①令，则或3， 则点A、B的坐标分别为：、，则抛物线的对称轴为直线， 由点D、E的坐标得，设直线的表达式为：，则， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，， 则顶点的坐标为：； 设新抛物线的表达式为：， 把代入上式得：， 解得：， 当时，， 即； ②根据图象知，当或时，新抛物线与线段只有一个公共点； 设新抛物线的表达式为：． 将点A、P的坐标代入抛物线表达式得：， 即，， 则新抛物线的表达式为：， 联立上式和并整理得：， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 综上，m的取值范围为：或或． 【点睛】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025海城市九年级（上）第三次质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 4. 如图，将线段绕点旋转得到线段，已知，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 6. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ） A. 与x轴相离，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 8. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ） A. B. C. D. 10. 不透明袋子中有个红球和个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，恰好是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ____________________． 12. 已知点，是抛物线上的两点，则此抛物线的对称轴为________． 13. 如图，，，，与关于点C成中心对称，则的长是___________． 14. 如图，是的直径，弦交于点P，，则的长为___． 15. 春节期间，小明和小亮分别从三部影片《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《第二十条》中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，垂足为，求的度数． 18. 某校一年级开设人数相同的四个班级，分别是1班，2班，3班，4班，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到1班”的概率是________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名新生分到相邻两个班级的概率． 19. 为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元． （1）求A，B两种品牌足球的单价． （2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． （1）直接写出不等式的解集：　 　． （2）求反比例函数和一次函数的表达式； （3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 21. 如图，在中，，以为直径的交边于点D（点D不与点A重合），交边于点E，过点E作，垂足为F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 22. 如图，在矩形中，点O为对角线中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F；四边形与关于所在直线对称，射线分别与线段、射线交于G、H两点． （1）求证：； （2）已知，； ①当点H在线段上时，求的值； ②当为等腰三角形时，求的长． 23. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点C与点D关于原点成中心对称，点E是y轴右侧抛物线上一点，连接，当时，求点E的坐标； （3）在(2)的条件下，在y轴上任取一点，过P，A，B三点作新抛物线． ①当新抛物线顶点在线段上时，求m的值． ②当新抛物线与线段只有一个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $