精品解析：湖南省衡阳市四校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2025年上学期九年级数学开学检测卷 一、单选题（共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果为的是（   ） A B. C. D. 3. 抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 如图，，，，，的周长为，则的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共18分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则_______． 13. 若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，则_____． 14. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为______ 15. 已知的值是10，则代数式的值是_____． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则_____________． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求k的整数值． 20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类概率． 21. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． （1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； （2）将向上平移个单位长度得到，请画出． 22. 如图，在中，，D为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 23. 某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元． （1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？ （2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在梯形中，是梯形对角线，． （1）求证：； （2）以为一边作交边于点，求证：． 25. 如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． （1）直接写出点，，坐标； （2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期九年级数学开学检测卷 一、单选题（共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意， 选项B：，故不符合题意， 选项C：，故不符合题意， 选项D：是最简二次根式，符合题意， 故选：D 2. 下列计算结果为的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 3. 抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质找出二次函数图像的顶点坐标是正确解答此题的关键． 由抛物线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标进而求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线的顶点坐标在第二象限， 故答案为：B． 4. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 5. 已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据，代入求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 故选：A． 6. 如图，，，，，的周长为，则的周长为（ ） A. 20 B. 25 C. 35 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可证，得到相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵的周长为，即，设的周长为， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标变化规律． 根据平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，即可解题． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是．   故选：A ． 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数在直角三角形中的应用，特别是正弦函数的定义和应用．在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边． 【详解】解：，， ． ， ． 故选：B． 9. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键．先计算出点落在白色区域的频率稳定值，再用总面积乘以落入白色部分的频率稳定值即可求解． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右， 点落在白色区域的频率稳定在左右， 估计此二维码中白色区域的面积为． 故选：B． 10. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数图像的开口方向，对称轴，与y轴交点，与x轴交点，对称性增减性，是解答本题的关键． 根据抛物线开口向下，得，对称轴是直线， 得，与y轴的交点在x轴上方，得 ，得，即可判断①；根据，得，即可判断②；当时，，即可判断③；根据点关于对称轴直线对称的点为，得当时，或，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②不正确，不符合题意； ∵当时，， 即， 故③正确，符合题意； ∵点与点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴当时，或， 故④正确，符合题意． 所以正确的有①③④共3个． 故选：B． 二、填空题（共18分） 11. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，根据二次根式有意义的条件得到且，进行求解得出答案即可． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 详解】解：， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 13. 若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为，则，，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为， ∴， 即，， ∴． 故答案为： 14. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握正弦函数定义是解题的关键．设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，利用勾股定理，正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得， 故， 故， 故答案为：． 15. 已知的值是10，则代数式的值是_____． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据可得出，然后整体代入计算即可. 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴, 故答案为：. 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，设，则，易证可得，再根据和等高可得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接，设，则， ∵， ∴， ∴，即，则， ∵和等高， ∴，即，解得：， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵函数图象在第一象限， ∴． 故答案为：16． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算．熟练掌握，，二次根式化简，进行解答，即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 对一元二次方程进行因式分解，令两个因式分别为零，进行计算求解即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得，． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数取值范围； （2）若两个实数根和满足，求k的整数值． 【答案】（1） （2）整数k的值为或0 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的求出求参数，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：，， 由已知得， 所以； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，， 因为， 所以， 解得， 由（1）知， 所以，， 所以，整数k的值为或0． 20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 【答案】（1）50，300 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得； （2）先求出喜欢篮球的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：本次抽取调查学生的总人数为（人）， 估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人）， 故答案为：50，300． 【小问2详解】 解：喜欢篮球的学生人数人（人）， 喜欢绘画的学生所占百分比为， 喜欢舞蹈的学生所占百分比为． 则补全两个统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种， 则两人恰好选择同一类的概率为， 答：两人恰好选择同一类的概率为． 21. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（顶点是网格线的交点）和格点． （1）以点为位似中心在网格内画出的位似图形，使得与的位似比为； （2）将向上平移个单位长度得到，请画出． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（）连接，延长，使得，，，顺次连接即可； （）根据平移的性质即可画出； 本题考查了画位似图形和平移图形，掌握位似图形的性质和平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，延长，使得，，，顺次连接， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示， ∴即为所求． 22. 如图，在中，，D为边上的一点，，． （1）求的长． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理．掌握解直角三角形和勾股定理是解本题的关键． （1）根据，，即可求出的长； （2）由解得，再利用勾股定理求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：在中， ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ． ． 23. 某商场购进单价40元的毛绒玩具．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每个月可销售100个，而当销售单价每降低10元时，平均每个月就多销售20个．其中按物价部门的有关规定，该商品的销售单价不能高于70元，也不能低于40元． （1）当销售单价定为多少元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元？ （2）当单价定价为多少时，销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当销售单价定为60元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到2000元 （2）当销售单价为70元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用； （1）设销售单价为元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每月获得的利润为元，根据题意得出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设销售单价为元，由题意得， 解得，， ∵该商品的销售单价不能高于元， ∴， 答：当销售单价定为元时，该款毛绒玩具每个月的销售利润能达到元； 【小问2详解】 设每月获得的利润为元，由题意得： ∵， ∴当时，随的增大而增大 ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为元时，销售销售这款毛绒玩具每月获得的利润最大． 24. 如图，在梯形中，是梯形对角线，． （1）求证：； （2）以为一边作交边于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 作交边于点 ， 由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 25. 如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段长度最大时，求点的坐标； （3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入，即可求解点的坐标，把代入，即可求解点，的坐标； （2）设直线的解析式为，将代入得，即可求解直线的解析式，根据，坐标，应用二次函数性质即可求解； （3）根据题意求解直线的解析式，进而求出线段的中点坐标，将代入，即可求解； 【小问1详解】 解：在中，令得， 令得， 解得或， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在第二象限的抛物线上，点在直线上， ，，， ， 当时，最大， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，将代入得， ， ， 直线的解析式为， ， 线段的中点坐标为， 平分线段， 线段中点在直线上， 将代入得， 解得：，，（舍去） 直线的解析式为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $