精品解析：山西省朔州市朔城区多校2024-2025学年九年级上学期阶段评估（二） 数学 试题

山西省2025届九年级阶段评估（二） 数 学 上册全部 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若中最长的弦长，则的半径是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定根的情况 3. 下列耳熟能详的成语故事中，所反映的事件为随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 刻舟求剑 C. 缘木求鱼 D. 水中捞月 4. 将抛物线平移得到抛物线，其平移方法可以是（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 5. 四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正八边形、圆的图形．现在把卡片的正面朝下，洗匀，背面朝上摆放在桌面上，从中随机抽取一张，则抽到的卡片正面中的图形是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，则与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 7. 如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（ ） A. 0.45 B. 0.46 C. 0.47 D. 0.50 9. 如图，是的内切圆，分别与相切于点D，E，F，G是上一点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，这是某人搬推货物的示意图，货物在地面上做翻滚运动．我们可以抽象为矩形按照如图所示的方式在直线l上进行了两次旋转，点B的对应点分别为和．若，，则点B在两次旋转中经过的路径的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为15”是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 12. 如图，一只蚂蚁在正五边形区域内爬行，已知是正五边形的中心，连接，，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为______． 13. 扇子是引风用品，夏令必备之物，中国扇文化有着深厚的文化底蕴，素有“制扇王国”之称．扇通常用竹条，扇面写有书法或绘有山水，如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，的长为．用于贴纸的部分（扇面）的宽为，纸扇的一面贴有山水画的贴纸，则贴纸的面积为______．（结果保留） 14. 如图，在中，，，将此三角形绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别是，，若恰好经过点B，与相交于点P，则的度数是______． 15. 如图1，这是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿方向平移至扇形的位置，如图2，其中是的中点．交于点D，则的长为______．（结果保留） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）若抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 17. 如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，的长为半径作，与相切于点B，的延长线与相交于点D，连接交于点E．求的度数． 18. 从一副新扑克牌中选取三张扑克牌，牌面数字分别是3，4，5，将三张扑克牌充分洗匀，背面朝上放在桌面上． （1）从这三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是奇数的概率是______． （2）小华与小明用这三张扑克牌做游戏，游戏规则：先从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并洗匀，再从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为个位上的数字，若组成的两位数是2的倍数，则小华胜；若组成的两位数是5的倍数，则小明胜．你认为这个游戏对双方公平吗？请判断并用画树状图法或列表法说明理由． 19. 图形 … 点的个数 2 3 4 5 … 线段的条数 1 3 6 10 … （1）根据表格中的规律猜想：由7个点构成的图形中有______条线段，由n个点构成的图形中有______条线段． （2）某校为庆祝国庆节，活跃同学们的文化生活，特举行歌咏比赛，七（6）班荣获年级第一名．比赛结束后，该班每两位同学之间互发一条信息庆祝．经过统计，得知全班同学共发出了1980条信息，问该班共有多少名同学？ 20. 课堂上，老师提出这样一个问题：如图，学校有一块邻墙的空地，现计划利用长为的绳子围起来，开辟一块矩形空地用作劳动实践，其中一边靠墙（墙的长度不限）．试确定三条边长，使得绳子围出的面积最大．小睿想了想，说在绳子的长度一定的情况下，正方形的面积最大呀！你认同小睿的观点吗？如果认同，求出正方形的边长及最大面积；如果不认同，那么当矩形的长与宽分别为多少时，围成的空地的面积最大，最大面积是多少？ 21. 阅读与思考 在学习《正多边形和圆》时，老师用尺规作图法完成了以下作图，猜想并证明，请你认真阅读，并完成相应任务． 如图1，以为直径作，再以D为圆心，的长为半径作，两圆相交于点A，B．依次连接A，B，C，则猜想是等边三边形． 理由：如图1，连接，，． ∵，，∴是等边三边形， ∴，同理可得， ∴， ，， ∴， ∴（依据）， ∴是等边三边形． 如图2，隐去，分别以A，B为圆心，，的长为半径作，． ，分别与相交于点F，E，依次连接A，F，C，E，B，D，则猜想六边形是正六边形． 理由：由图1可知， ∴和都是中60°所对的弧， …… （1）任务一：材料中的“依据”是指______． （2）任务二：结合图2完成剩余的推理部分． （3）任务三：如图3，四边形是的内接正方形，请用尺规作图法，作的内接正八边形．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图1，是的直径，与相切于点D，分别与相交于点E，F．G是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）如图2，E是的中点，连接． ①猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 23. 综合与探究 已知在中，O为边的中点，连接，将绕点O顺时针旋转得到（点F是点C的对应点），连接．     （1）如图1，当且时，与满足的数量关系是______． （2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图3，在（1）的基础上，以为对角线作正方形，边长为2，将绕点O顺时针旋转，得到，连接，当点F恰好落在直线上时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025届九年级阶段评估（二） 数 学 上册全部 说明：共三大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 若中最长的弦长，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径即可得到答案． 【详解】解：中最长的弦是直径，中最长的弦长， 的直径是， 的半径是， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦、直径等知识，熟练掌握圆中最长的弦是直径是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定根的情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3. 下列耳熟能详的成语故事中，所反映的事件为随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 刻舟求剑 C. 缘木求鱼 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，根据随机事件、不可能事件、必然事件的概念逐项分析即可得解，熟练掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故符合题意； B、刻舟求剑是不可能事件，故不符合题意； C、缘木求鱼是不可能事件，故不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； 故选：A． 4. 将抛物线平移得到抛物线，其平移方法可以是（ ） A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线． 故选：D． 5. 四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正八边形、圆的图形．现在把卡片的正面朝下，洗匀，背面朝上摆放在桌面上，从中随机抽取一张，则抽到的卡片正面中的图形是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形、平行四边形、正八边形、圆四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正八边形，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形、平行四边形、正八边形、圆四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正八边形， ∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：． 故选：C． 6. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，则与直线的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系的判定．作于点，根据等腰三角形的性质得出,进而根据勾股定理求得，即可得到圆与直线的位置关系． 【详解】解：如图所示，作于点， ∵， ∴ 在中， ∵的半径是， 与相交， 故选：A． 7. 如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 将一枚图钉（如图样式）随意向上抛起，虽然落定后的结果只有两种：“针尖朝上”或“针尖触地”，但由于其形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测“针尖触地”这一事件发生的概率．数学实践小组通过做抛图钉试验，记录抛掷次数与针尖触地的频数，计算针尖触地的频率，绘制针尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图．据此，“抛掷一枚普通图钉，落定后针尖触地”发生的概率约是（ ） A. 0.45 B. 0.46 C. 0.47 D. 0.50 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下，频率的稳定值即概率值是解题的关键． 根据大量反复试验下，频率的稳定值即概率值，结合概率的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：根据统计图可知，大量反复试验下，频率的稳定在0.46附近， 即抛掷一枚图钉，针尖触地的概率是0.46， 故选：B． 9. 如图，是的内切圆，分别与相切于点D，E，F，G是上一点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和圆内接四边形的性质，分别连接，根据四边形内角和求出，根据圆周角定理求出，从而可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内切圆，分别与相切于点D，E，F， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 又四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 故选：C． 10. 如图，这是某人搬推货物的示意图，货物在地面上做翻滚运动．我们可以抽象为矩形按照如图所示的方式在直线l上进行了两次旋转，点B的对应点分别为和．若，，则点B在两次旋转中经过的路径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、弧长公式，连接、，由勾股定理可得，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴ ∴点B在两次旋转中经过的路径的长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为15”是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【解析】 【分析】本题主要考查了不可能事件，直接利用不可能事件的定义分析得出答案． 【详解】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和最大是12，不可能是13，是不可能事件． 故答案为：不可能． 12. 如图，一只蚂蚁在正五边形区域内爬行，已知是正五边形的中心，连接，，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质，正多边形的性质，几何概型的意义，关键是要找出正五边形面积的大小与阴影部分面积的大小关系，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解，在解题过程中，注意圆内接正方形的对角线长度等于圆的直径这一关系的应用． 【详解】解：如图，连接，，， ∵五边形是正五边形，是其中心， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得证：， ∴ ∴，， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为， 故答案为：． 13. 扇子是引风用品，夏令必备之物，中国扇文化有着深厚的文化底蕴，素有“制扇王国”之称．扇通常用竹条，扇面写有书法或绘有山水，如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条和的夹角为，的长为．用于贴纸的部分（扇面）的宽为，纸扇的一面贴有山水画的贴纸，则贴纸的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积计算，根据题意先求出，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案． 【详解】解：∵长为，贴纸部分的宽为， ∴， ∴贴纸的面积为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，将此三角形绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别是，，若恰好经过点B，与相交于点P，则的度数是______． 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，根据旋转的性质可得： ，从而有 ，，然后由三角形的内角和可求出，进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴，， 在 中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图1，这是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿方向平移至扇形的位置，如图2，其中是的中点．交于点D，则的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，弧长公式，连接，解直角三角形求出，从而得出，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】解：如图：连接， 由题意可得：，， ∵是的中点． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）若抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程和待定系数法求二次函数的解析式，解答本题关键要掌握因式分解法解一元二次方程的步骤和利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式． （1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，依此求解即可． （2）设交点式，然后把代入求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 整理得：， ∴，或， 解得：，； （2）根据题意，设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 17. 如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，的长为半径作，与相切于点B，的延长线与相交于点D，连接交于点E．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、等腰直角三角形性质、平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键． 由平行四边形性质证得，，再通过两直线平行得到，再通过三角形内角180°求得所求角度． 【详解】解：如图，连接． ∵与相切于点B， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 从一副新扑克牌中选取三张扑克牌，牌面数字分别是3，4，5，将三张扑克牌充分洗匀，背面朝上放在桌面上． （1）从这三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是奇数的概率是______． （2）小华与小明用这三张扑克牌做游戏，游戏规则：先从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并洗匀，再从中随机抽取一张牌，将牌面数字作为个位上的数字，若组成的两位数是2的倍数，则小华胜；若组成的两位数是5的倍数，则小明胜．你认为这个游戏对双方公平吗？请判断并用画树状图法或列表法说明理由． 【答案】（1） （2） 这个游戏对双方公平，理由如下： 列表得： 第一次 第二次 3 4 5 3 33 43 53 4 34 44 54 5 35 45 55 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中组成的两位数是2的倍数的情况有种，组成的两位数是5的倍数的情况有种， ∴小华胜的概率为，小明胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：从这三张扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌面数字是奇数的概率是； 【小问2详解】 略 19. 图形 … 点的个数 2 3 4 5 … 线段的条数 1 3 6 10 … （1）根据表格中的规律猜想：由7个点构成的图形中有______条线段，由n个点构成的图形中有______条线段． （2）某校为庆祝国庆节，活跃同学们的文化生活，特举行歌咏比赛，七（6）班荣获年级第一名．比赛结束后，该班每两位同学之间互发一条信息庆祝．经过统计，得知全班同学共发出了1980条信息，问该班共有多少名同学？ 【答案】（1）21， （2）该班有45名学生 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，一元二次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格的数据可得线段的条数与点的个数之间的关系，即可得解； （2）根据（1）中得到的结论即可列出方程，从而求解． 【小问1详解】 解：由表格的数据可得，线段的条数与点的个数之间的关系为：， ∴由7个点构成的图形中有条线段； 【小问2详解】 解：设该班同学有名学生， 由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴该班同学有名学生． 20. 课堂上，老师提出这样一个问题：如图，学校有一块邻墙的空地，现计划利用长为的绳子围起来，开辟一块矩形空地用作劳动实践，其中一边靠墙（墙的长度不限）．试确定三条边长，使得绳子围出的面积最大．小睿想了想，说在绳子的长度一定的情况下，正方形的面积最大呀！你认同小睿的观点吗？如果认同，求出正方形的边长及最大面积；如果不认同，那么当矩形的长与宽分别为多少时，围成的空地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】不认同，当矩形的长与宽分别为，时，围成的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确理解题意、准确列出二次函数关系式是解题的关键．根据题意，小睿说的正方形的边长为，面积为；再设矩形中与墙平行的边的长度为，空地的面积为，则与墙垂直的两条边等长，均为．列出关系式，利用二次函数的性质求出矩形的最大面积，比较即可求解． 【详解】解：不认同． 根据题意，小睿说的正方形的边长为，面积为． 设矩形中与墙平行的边的长度为，空地的面积为， 则与墙垂直的两条边等长，均为． ． ∵， ∴当时，围成的空地面积最大，最大面积为， ∵， ∴小睿的观点不正确． 答：当矩形的长与宽分别为，时，围成的面积最大，最大面积是． 21. 阅读与思考 在学习《正多边形和圆》时，老师用尺规作图法完成了以下作图，猜想并证明，请你认真阅读，并完成相应任务． 如图1，以为直径作，再以D为圆心，的长为半径作，两圆相交于点A，B．依次连接A，B，C，则猜想是等边三边形． 理由：如图1，连接，，． ∵，，∴是等边三边形， ∴，同理可得， ∴， ，， ∴， ∴（依据）， ∴是等边三边形． 如图2，隐去，分别以A，B为圆心，，的长为半径作，． ，分别与相交于点F，E，依次连接A，F，C，E，B，D，则猜想六边形是正六边形． 理由：由图1可知， ∴和都是中60°所对的弧， …… （1）任务一：材料中的“依据”是指______． （2）任务二：结合图2完成剩余的推理部分． （3）任务三：如图3，四边形是的内接正方形，请用尺规作图法，作的内接正八边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）同圆中，相等的圆心角所对的弦相等 （2） 由作，可知和都是中60°所对的弧． ∵CD是的直径， ∴和是180°所对的弧， ∴与都是中60°所对的弧， ∴， ∴． ∵，，，都是中60°所对的弧， ∴， 同理可得， ∴六边形是正六边形． （3） 如图，八边形即所求． 【解析】 【分析】本题考查弦、弧、圆心角的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；熟练掌握弦、弧、圆心角的关系定理是解题关键． （1）根据弦、弧、圆心角的关系即可得答案； （2）根据弦、弧、圆心角的关系得出，即可证明六边形是正六边形； （3）作的垂直平分线，交于，以为半径，、、、为圆心画弧，交于、、、，顺次连接即可得的内接正八边形． 【小问1详解】 解：∵， ∴（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等） 故答案为：同圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图1，是的直径，与相切于点D，分别与相交于点E，F．G是的中点，连接． （1）求证：是的切线． （2）如图2，E是的中点，连接． ①猜想四边形的形状，并说明理由． ②若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接． ∵与相切于点D， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵G是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2） ①四边形是正方形， 理由：∵E是的中点，G是的中点，O是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 由（1）知，， ∴四边形是正方形； ② 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质求得，根据斜边中线的性质求得，利用等边对等角求得，，得到，即可证明是的切线； （2）①利用三角形中位线的性质求得四边形是平行四边形，即可得到四边形是正方形； ②连接．设，利用勾股定理得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②解：如图3，连接． 设， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵四边形是正方形，G是的中点，O是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正方形的判定，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 综合与探究 已知在中，O为边的中点，连接，将绕点O顺时针旋转得到（点F是点C的对应点），连接．     （1）如图1，当且时，与满足的数量关系是______． （2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图3，在（1）的基础上，以为对角线作正方形，边长为2，将绕点O顺时针旋转，得到，连接，当点F恰好落在直线上时，求出线段的长． 【答案】（1） （2） （1）中的结论成立， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）当点F落在线段上时，如图1，连接，过点O作于点G，则，得到，根据等腰直角三角形的性质得到结论；当点F落在的延长线上时，如图，连接，过点O作于点G，则，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点F落在线段上时，如图，连接，过点O作于点G，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点F落在的延长线上时，如图，连接，过点O作于点G，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $