精品解析：河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高二下学期开学测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期开学测试 数学试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法及加法法则，结合复数的模公式即可求解. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义进行求解. 【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数. 故选：C. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量垂直数量积为零求出，计算出. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 4. 若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的减法以及向量共线定理即可求解. 【详解】由题意知，， 因为，，三点共线，故， 即，解得，， 故选：B. 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 6. 某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班,选课结束后,有4名同学要求改修数学,但每班至多可再接收2名同学,那么不同的分配方案有 A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，②其中一个班不接收、另两个班各接收2名，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】分两种情况讨论： ①其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31•C42•A22=36种，②其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31•C42=18种； 因此，满足题意的不同的分配方案有36+18=54种．故选B. 【点睛】本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于根据题意，将问题转化为排列、组合问题.分别计算各类情况下分配方案的个数，再相加. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 8. 已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知四边形为菱形，从而求得，，再进行计算即可. 【详解】如图，连接交轴于. 根据题意易知点，关于轴对称，所以四边形为菱形，且， 故，且. 双曲线的渐近线方程为，令，得. 在中，，解得， 所以. 故选：. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 以下命题正确的是（ ） A. 直线：与直线：垂直的充要条件是 B. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4 C. 方程表示椭圆的充要条件是 D. 直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两直线垂直列出方程，即可判断A，由圆的弦长公式代入计算，即可判断B，由椭圆标准方程的形式，即可判断C，由直线过定点，然后分别求得，，即可判断D. 【详解】对于，，所以，解得，故A正确； 对于B，点在圆内，当时，取最小值， ，，所以的最小值是，故B正确； 对于C，方程表示椭圆的充要条件是，解得且，故C错误； 对于D，由直线可得，所以直线过定点， 又，，画图可知的取值范围是，故D正确； 故选：ABD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有3个根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象可求出函数的最小正周期，进而可求出，再利用待定系数法求出，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可. 【详解】由图可知函数最小正周期，故A正确； ，所以，则， 又， 所以，所以， 又，所以，故B错误； 所以， 由，得， 所以在区间上单调递减，故C正确； 令，得或， 所以或， 又，所以或或或， 所以方程在区间内有4个根，故D错误. 故选：AC. 11. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ） A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是双曲线的一支，正确； 对选项B：设圆心为，半径为，则，，故， 圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为， 圆心轨迹是抛物线，正确； 对选项D：设圆心为，半径为，则，，故， 在两圆外，圆心轨迹是两条射线，错误； 故选：ABC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的二项展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以项的系数为. 故答案为：. 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将的分子分母同除以可求得,然后将展开可求得答案. 【详解】由题意得,则,解得,则. . 故答案为:7. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 14. 若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设在底面的投影为，确定球心位置，求，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧面积. 【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上， 由题设，球体半径，则， 所以，，， 中边上的高为， 故正四棱锥的侧面积为. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知等比数列，， （1）求数列的通项公式 （2）证明：对任意，，，成等差数列 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设等比数列的通项公式为，根据已知条件列方程，解出即可; （2）等差中项法判定数列成等差数列. 【详解】（1）∵ ∴ , ∴ , ∴ ， ∴ （2）∵, ∴ ∴ ∴，，成等差数列 【点睛】等差数列的判定与证明方法——等差中项法: 成立是等差数列 .本题中需注意是等差数列的第一项 ，是第二项， 是第三项，数列的项具有有序性，变换顺序后，新的数列不一定是等差数列． 16. 设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间是； 单调递减区间是 （Ⅱ） 面积的最大值为 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； （Ⅱ）首先由 结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值. 试题解析： 解：（Ⅰ）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是 （Ⅱ）由 得 由题意知为锐角，所以 由余弦定理： 可得： 即： 当且仅当时等号成立. 因此 所以面积的最大值为 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，，，点E在线段AB上，且，F为BC的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先根据直四棱柱的结构特征证明，再利用线面平行的判定定理证明平面，再通过证明四边形ADCE为平行四边形得到，进而利用线面平行的判定定理得到平面，最后利用面面平行的判定定理与性质即可得出结论； （2）先根据直线与平面ABCD所成角的大小为45°求出，再建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用向量的夹角公式即可得出结论． 【小问1详解】 由题意可得，又平面，平面， ∴平面． 连接CE，∵且，∴四边形ADCE为平行四边形，则， 又平面，平面，∴平面． 又且，平面， ∴平面平面． 又平面，∴平面． 【小问2详解】 连接DE，由题意可得为等边三角形，故， 由平面ABCD可得为直线与平面ABCD所成的角，故，则． 以D为坐标原点，DC，所在直线分别为y，z轴，过D且垂直于平面的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 则， 由图可知二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为． 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并求的值； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线的方程； （2）设直线方程为，设点的坐标，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，由求解参数即可. 【小问1详解】 抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 19. 已知函数，其中． （1）当时，讨论关于的方程的实根个数； （2）当时，证明：对于任意的实数，都有． 【答案】（1）当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）要证，即证， 由于，故只需证， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，由(1)知在上单调递增， 故，故在上单调递增， 所以，从而命题得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合图象确定正确答案. （2）将要证明的不等式进行转化，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立. 【小问1详解】 当时， 方程解的个数，转化为与有交点的个数， 的定义域为， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， 当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期开学测试 数学试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ） A. 16 B. 19 C. 20 D. 22 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4. 若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 6. 某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班,选课结束后,有4名同学要求改修数学,但每班至多可再接收2名同学,那么不同的分配方案有 A. 72种 B. 54种 C. 36种 D. 18种 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 以下命题正确的是（ ） A. 直线：与直线：垂直的充要条件是 B. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4 C. 方程表示椭圆的充要条件是 D. 直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有3个根 11. 已知圆，圆，圆，圆，直线，则（ ） A. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支 B. 与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆 C. 过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线 D. 与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的二项展开式中，项的系数为______. 13. 若，则________. 14. 若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知等比数列，， （1）求数列的通项公式 （2）证明：对任意，，，成等差数列 16. 设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 17. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，，，点E在线段AB上，且，F为BC的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角的余弦值． 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并求的值； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 19. 已知函数，其中． （1）当时，讨论关于的方程的实根个数； （2）当时，证明：对于任意的实数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $