精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年江苏省淮安市九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，即可求解． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 2. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 4. △ABC∽△A′B′C′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数等于（ ） A. 55° B. 100° C. 25° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】∵∠A=55°，∠B=100° ∴∠C=180°-∠A-∠B=25° ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠C=∠C′=25° 故选C． 【点睛】三角形的内角和定理是初中数学平面图形知识里的重点，是中考中的常见知识点，学生需熟练掌握并会灵活运用． 5. 若，则下列式子中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ， 故A选项不符合题意； B、， ， 故B选项不符合题意； C、， ， ， 故C符合题意； D、， ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 6. 将抛物线的图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移法则左加右减，上加下减是关键． 直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减进而得出答案． 【详解】解：将抛物线的图象向上平移3个单位后， 所得抛物线的表达式是． 故选：C． 7. 如图，在中，，则值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图为二次函数的图象，则下列说法正确的个数是（　　） ①二次函数的最大值为；②；③；④当时，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值及抛物线与x轴的交点，根据所给二次函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的对称性及增减性对所给说法依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为抛物线与x轴的交点坐标为和， 所以抛物线对称轴为直线． 又因为抛物线开口向下， 所以当时，函数取得最大值为．故①正确． 因为抛物线经过点， 所以．故②错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以．故③错误． 当时，抛物线在x轴上方，即， 所以当时，．故④正确． 综上，正确的结论是①④，共2个， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 10. 若与的相似比为，且两个三角形的周长之和为，则较大三角形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，结合相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：因为与的相似比为， 所以设的周长是，则的周长是， 则， 解得：， 那么较大三角形的周长是， 故答案为：． 11. 已知二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴没有公共点， ∴关于x的一元二次方程没有实数解， ∴， 解得， 即m的取值范围为． 故答案：． 12. 如图，点在第一象限，射线与x轴所夹的锐角为α， ，则t的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点A作x轴的垂线，垂足为B，根据题意可得，则，代入计算即可得出答案． 【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，．则建筑物的高为_____m． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用， 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴建筑物的高为， 故答案为：6． 14. 在中，，，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D是抛物线 y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________ ． 【答案】15 【解析】 【详解】解：∵D是抛物线上一点， ∴设 ∵顶点C的坐标为(4,3)， ∵四边形OABC是菱形， 轴， 有最大值，最大值为15， 故答案为15. 三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答时需写出必要的文字说明、过程或步骤） 17. 计算和解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 ∴，． 18. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可． 【小问1详解】 解：设，则，， ∵，所以，解得， ∴，，． 【小问2详解】 ∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 19. 如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长． 【答案】（1）见解析．（2）9． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】解（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC； （2）解：∵△ADB∽△ABC， ∴=， ∵AB＝6，AD＝4， ∴＝， ∴AC＝9． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 20. 已知抛物线y＝x2﹣2（a+1）x+a2+2a． （1）求证：不论a取何实数，该抛物线与x轴都有两个交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴的交点为C，当a＝1时，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明见解析，（2）3． 【解析】 【分析】（1）当y=0时，判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根即可； （2）求出解析式和A、B、C三点坐标，利用面积公式即可求． 【详解】解：当y=0时，0＝x2﹣2（a+1）x+a2+2a． =4＞0， ∴不论a取何实数，该抛物线与x轴都有两个交点； （2）当a＝1时，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3 当y=0时，x2﹣4x+3=0， 解得，x1=1，x2=3， 设A点坐标为（1,0），B点坐标为（3,0）， 当x=0时，y=3,C点坐标为（0,3） S△ABC=． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点个数和求与坐标轴交点坐标，解题关键是熟练运用一元二次方程知识解决问题． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）利用直尺（不带刻度）和圆规作出AB的垂直平分线直线MN，交CB于点D（不写做法，保留作图痕迹）． （2）连接AD，若AC＝6，BC＝8，则tan∠DAB＝______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线MN交BC于点D即可． （2）利用线段的垂直平分线的性质，可知DA＝DB，推出∠DAB＝∠B，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，直线MN即为所求作． 【小问2详解】 解：∵MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B， ∴tan∠DAB＝tan∠B＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（其他问题），利用三角形的内角和定理得出是解题的关键． 由三角形内角和定理可得，然后根据即可求出、两点之间的距离． 【详解】解：，， ， ， 在中， ，米， （米）， 、两点之间的距离约为米． 23. 如图：在中，，是的平分线，点O在上，经过B、D两点，交于点E． （1）试说明：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得出，进而，又，即，得到，根据切线的判定方法即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再根据相似三角形的判定和性质列方程求解即可． 本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵是的平分线，即， ∴， ∴， ∵， 即 ∴ ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 设半径为x，即，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即半径为． 24. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是出售价x（元/件）的一次函数，其出售价、销售量的对应值如下表： 出售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y与x的函数关系式： ； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）60元/件或90元/件 （3）销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：设， 把代入中得： ， 解得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：， ， 解得：， ∴该天的售价为60元/件或90元/件； 【小问3详解】 由题意得： ， ∵， ∴当时，W最大， ∴当销售单价定为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大． 25. 【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，，，，且，求旅游景区的最大面积． 【答案】（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【解析】 【分析】（1）设，，，根据“对补四边形”的性质即可求得答案； （2）猜想1：；过点C分别作于E，于F，可证得，可得； 猜想2：；过点A作，垂足为E，作，垂足为F．可证得，得出，，再运用角平分线判定即可证得结论； （3）连接，将绕点A旋转，使与重合，得，过点A作于点N，设，且，则，，，，利用解直角三角形可得： ， ，，，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”， ∴或， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分， 故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：； 证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB， ∴，， ∵四边形是“对补四边形”， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择猜想2：； 证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴平分； 【解决问题】（3）解：如图，连接，将绕点A旋转，使与重合，得，过点A作于点N， 设，且，则，，，， ∵， ∴， ∴C、D、M三点共线， ∵，， ∴CN=MN， 在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴旅游景区的最大面积是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，二次函数的性质，新定义等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1） ， ； （2）若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求实数m的取值范围； （3）抛物线上一点，直线与y轴交于点E，动点M在线段上，当时，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数、等腰直角三角形性质，确定、均为等腰直角三角形是本题解题的关键． （1）把，两点代入，解方程组即可得到结论； （2）由（1）知，函数的对称轴为：，则和关于对称轴对称，故其函数值相等，即可求解； （3）确定、均为等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）知抛物线，函数的对称轴为：， 则和关于对称轴对称，故其函数值相等， 又，时，均有， 结合函数图象可得， 解得； 【小问3详解】 如图，连接、，过点D作于点G， 而点B、C、D的坐标分别为：、、， 则，，，， 故、均为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， 则， 将点B、D坐标代入一次函数表达式：并解得： 直线BD的表达式为：，故点， 设点， 过点M作于点F， 则，， ， 解得：， 故点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省淮安市九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列每个选项两个图形，不是相似图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. △ABC∽△A′B′C′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数等于（ ） A. 55° B. 100° C. 25° D. 30° 5. 若，则下列式子中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的值是（　　） A. B. C. D. 8. 如图为二次函数的图象，则下列说法正确的个数是（　　） ①二次函数的最大值为；②；③；④当时，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 已知：，则______． 10. 若与的相似比为，且两个三角形的周长之和为，则较大三角形的周长为_______． 11. 已知二次函数图象与轴没有公共点，则的取值范围为_______． 12. 如图，点在第一象限，射线与x轴所夹的锐角为α， ，则t的值是_____． 13. 如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，．则建筑物的高为_____m． 14. 在中，，，则的长为_____． 15. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为（4，3），D是抛物线 y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD 面积的最大值为__________ ． 三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答时需写出必要的文字说明、过程或步骤） 17. 计算和解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 19. 如图，△ABC中，D边AC上，∠ABD＝∠C． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长． 20. 已知抛物线y＝x2﹣2（a+1）x+a2+2a． （1）求证：不论a取何实数，该抛物线与x轴都有两个交点； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，与y轴的交点为C，当a＝1时，求△ABC的面积． 21. 如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）利用直尺（不带刻度）和圆规作出AB的垂直平分线直线MN，交CB于点D（不写做法，保留作图痕迹）． （2）连接AD，若AC＝6，BC＝8，则tan∠DAB＝______． 22. 如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 23. 如图：在中，，是的平分线，点O在上，经过B、D两点，交于点E． （1）试说明：是的切线； （2）若，，求的半径． 24. 某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是出售价x（元/件）的一次函数，其出售价、销售量的对应值如下表： 出售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）直接写出y与x的函数关系式： ； （2）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （3）设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 25. 【问题背景】 如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】 该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】 （2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【解决问题】 （3）某乡村准备开发一个红色旅游景区，如图4，在四边形中，，，，，且，求旅游景区最大面积． 26. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1） ， ； （2）若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求实数m的取值范围； （3）抛物线上一点，直线与y轴交于点E，动点M在线段上，当时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $