精品解析：山东省滨州市阳信县城区集团校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期第三次质量检测 初三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象在第二、四象限 B. 在每个象限内y随x的增大而增大 C. 若x＞1，则﹣3＜y＜0 D. 若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2 3. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ） A. 6 B. C. 10 D. 12 4. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数y＝kx＋b和反比例函数（m＜0）的图象交于点A（-3，y1），B（1，y2），则不等式kx2＋bx－m＜0的解集是（ ） A. x＞1或x＜-3 B. 0＜x＜1或x＜-3 C. -3＜x＜0或x＞1 D. -3＜x＜0或0＜x＜1 8. 如图，在矩形ABCD中，，，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 10.5 D. 12 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算：cos245°＋ tan30°sin60°=____________． 10. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 11. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 12. 如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____． 13. 已知点，，是反比例函数的图象上的三个点，若，则，，的大小关系是________（用“>”号连接）． 14. 如图，在中，点是上一点，，，，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，反比例函数（，）的图象与线段AB交于点C，且．若的面积为12，则k的值为______． 16. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 18. 某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数．部分实验数据如表： 时间x（分钟） … 10 15 … 含药量y（微克） … 30 20 … （1）分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式． （2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？ 19. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． （1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 21. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°． （1）求点到的距离（结果保留一位小数）； （2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，） 22. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 24. 如图，在中，，，点在的延长线上，点在边上，连接并延长与交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第三次质量检测 初三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键． 根据反比例函数的定义，进行判断作答即可． 【详解】解：是正比例函数，A错误，故不符合要求； 是反比例函数，B正确，故符合要求； 不是反比例函数，C错误，故不符合要求； 不是反比例函数，D错误，故不符合要求； 故选：B． 2. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象在第二、四象限 B. 在每个象限内y随x的增大而增大 C. 若x＞1，则﹣3＜y＜0 D. 若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＜y2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的性质结合图象上点的坐标特点分析得出答案． 【详解】解：A．y＝﹣，由﹣3＜0，则双曲线的两支分别位于第二、第四象限，故此选项不合题意； B．y＝﹣，由﹣3＜0，则在每一象限内y随x的增大而增大，故此选项不合题意； C．y＝﹣，若x＞1，则﹣3＜y＜0，故此选项不合题意； D．y＝﹣，若点A （﹣1，y1）和点B （3，y2） 在这个函数图象上，则y1＞y2，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ） A. 6 B. C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】∵tanA=，BC=8， ∴AC= =6． 点评：本题主要考查了正切函数定义的应用，已知直角三角形的一个锐角，及其中一条直角边，就可以求出另外的直角边． 4. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 5. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的定义可知，位似比为，将点的横坐标分别乘以或即可求解． 【详解】解：将点的横坐标分别乘以或， ∴的坐标是或， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似，掌握位似的性质是解题的关键． 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵与是以点为位似中心的位似图形，∴，故A正确； B．∵与是以点为位似中心的位似图形，∴，∴，故B正确； C．∵与是以点为位似中心的位似图形，∴，故C正确； D．∵与是以点为位似中心的位似图形，∴，故D不正确． 故选D． 7. 若一次函数y＝kx＋b和反比例函数（m＜0）的图象交于点A（-3，y1），B（1，y2），则不等式kx2＋bx－m＜0的解集是（ ） A. x＞1或x＜-3 B. 0＜x＜1或x＜-3 C. -3＜x＜0或x＞1 D. -3＜x＜0或0＜x＜1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出函数图象，即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数图象，如图， 由图得，当一次函数y＝kx＋b的图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象的下方时， 则有：-3＜x＜0或x＞1； 当x>0时，不等式kx2＋bx－m＜0的解集即为的解集为x>1， 当x<0时，不等式kx2＋bx－m＜0的解集即为的解集为x<-3， 所以，不等式kx2＋bx－m＜0的解集为x＜-3或x＞1， 故选：A． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 8. 如图，在矩形ABCD中，，，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 10.5 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM=EF：BC=1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解． 【详解】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵EF=AD=3， ∴EF=BC， ∵AD∥BC，NG⊥AD， ∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC， ∴GN：GM=EF：BC=1：2， 又∵MN=AB=3， ∴GN=1，GM=2， ∴S△BCG=×6×2=6， ∴S△EFG=×3×1=，S矩形ABCD=6×3=18， ∴S阴影=18-6-=10.5． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 计算：cos245°＋ tan30°sin60°=____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的混合运算，牢记特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 10. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 11. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决． 【详解】解：（米）， ∴AB∥DC． （米）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键． 12. 如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上， ∴a==5， ∵PH⊥x轴于H， ∴PH=5，OH=12， ∴tan∠POH=， 故答案为． 13. 已知点，，是反比例函数的图象上的三个点，若，则，，的大小关系是________（用“>”号连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值的大小，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限均有随的增大而减小；当时，图象在二、四象限均有随的增大而增大．先判断，燃弧根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数图象在二、四象限，在每个象限随的增大而增大， ∵， ∴， 即：． 故答案为：． 14. 如图，在中，点是上一点，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据两角相等的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解： ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，反比例函数（，）的图象与线段AB交于点C，且．若的面积为12，则k的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连结，如图，根据三角形面积公式，由得到，可计算出，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵轴于点B，， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． 故答案为8． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． 16. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 18. 某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数．部分实验数据如表： 时间x（分钟） … 10 15 … 含药量y（微克） … 30 20 … （1）分别求当和时，y与x之间满足的函数关系式． （2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？ 【答案】（1）当时，；当时，；（2）99分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意及图表数据列式求解即可求解． （2）将y=3代入，分别得出时间，求时间差即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，将代入， 解得，即； 当时，将代入中， 解得，即． （2）当时，， 解得； 当时，，解得， ∴有效时间为（分钟）． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数及反比例函数的解析式及函数的实际应用，解题的关键是理解题意并通过题意获得解决问题所需的相关数据． 19. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）． （1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集． 【答案】（1）y=x+，y=； （2）△AOB的面积为； （3）1<x<3 【解析】 【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可； （2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解； （3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2， ∴双曲线的表达式为： y=， 把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得： y=，解得：， ∴直线的表达式为：y=x+； 【小问2详解】 解：联立 ， 解得，或， ∵点A 的坐标为（1，2）， ∴点B的坐标为（3，）， ∵ =， ∴△AOB的面积为； 【小问3详解】 解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积． 20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴． ∴． ∴． （2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=． ∴DE=CE﹣CD=． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键． 21. 为了响应节能减排的号召，李豪同学决定骑自行车上下学，他将自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方处与坐垫下方处平行于地面水平线，测得cm，，与的夹角分别为45°与60°． （1）求点到的距离（结果保留一位小数）； （2）若点到地面的距离为30cm，坐垫中轴与点的距离为6cm．根据李豪同学身高比例，坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出李豪同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，） 【答案】（1）点到的距离为38.1cm （2）能达到最佳舒适度 【解析】 【分析】（1）过点作，设cm，根据已知角度，解和即可求解； （2）过点作，由对顶角相等得，解求出EN，判断 是否在73cm至74cm之间即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 设cm，在中，， ∴（cm）， ∵cm， ∴cm， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴cm， ∴点到的距离为38.1cm； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得： ， 在中，cm， ∴（cm）， ∴坐垫到地面的距离为：（cm）， ∵坐垫到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适， ∴李豪同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，读懂题意，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 24. 如图，在中，，，点在的延长线上，点在边上，连接并延长与交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明，然后根据两角对应相等的两个三角形相似可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得，再证明，由得，进而可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $