6.3.1平面向量基本定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 学习目标 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 新知引入 我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 新知引入 已知两个力，可以求出它们的合力，反过来，一个力可以分解为两个力。我们可以通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力. 那么向量是否也能类似地进行分解呢？ 探究 如图1，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量. 如图2，在平面内任取一点，作， 将按的方向分解，你有什么发现？ 新知引入 根据向量的平行四边形法则 又由共线可知，存在实数 ，使得 所以 对于给定的向量 ，这样的有序数对(λ1，λ2)是唯一的吗？ 问题1 新知讲解—平面向量基本定理 问题2 若向量 与 或 共线， 还能用 表示吗？ 问题3 当 是零向量时， 还可以表示成 的形式吗？ 平面内任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式. 新知讲解—平面向量基本定理 平面向量基本定理 使 1. 如果 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面的任一向量 一对实数 有且只有 2. 若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 存在性 唯一性 3. 说明： (1).基底是不共线的，且可以有无穷多对 (2).同一向量在选定基底后， 是唯一存在的。 (3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同。 典例分析—基底 【练习】判断正误 (1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　) (2)基底中的向量可以是零向量．(　　) (3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也 是唯一确定的．(　　) (4)已知e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.(　　) √ ⅹ √ √ 典例分析—基底 例1.（1）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. 2 D. （2）若和不能构成平面内的一个基底，则实数的值为________. 典例分析—基底 例1.（3）(多选)如果是平面内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有（ ） A.(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面内的任一向量，使＝的实数λ，μ有无数多对 C.若向量λ1＋μ1与λ2＋μ2共线，则有且只有一个实数m，使λ1＋μ1＝m(λ2＋μ2) D.若存在实数λ，μ使λ＋μ＝0，则λ＝μ＝0 典例分析—用基底表示向量 例1：如图6.3-4， 不共线，且 ，用 表示 . 如图6.3-4 解：因为 所以 思考:观察 ，你有什么发现？ 结论：若 三点共线，点 是平面内任意一点，若 ，则 典例分析—用基底表示向量 例2.如图，在平行四边形中，设对角线 （1）试用基底表示， （2）若求的值. 极化恒等式 典例分析—用基底表示向量 例3.如图，是△的中线，，用向量方法证明△是直角三角形. 思路一：以为基底 思路二：以为基底 由，得. 典例分析—用基底表示向量 例3.如图，是△的中线，，用向量方法证明△是直角三角形. 证明：设 则 因为 所以 因为 所以 因此 于是 是直角三角形。 典例分析—平面向量基本定理的应用 例4.如图，在△中，点是的中点，点是的中点，设 (1)用表示向量； (2)若点在上，且求. . 学以致用—平面向量基本定理的应用 训练1.如图，在△中，，. 设 (1)用表示，； (2)若为△内部一点，且 求证：三点共线； (3)记与的交点为，求与的值. ， 学以致用—平面向量基本定理的应用 训练2.如图，在等腰梯形中，，分别为的中点，与交于点. (1)令，用，表示； (2)求线段的长. 学以致用—平面向量基本定理的应用 训练2.如图，在等腰梯形中，，分别为的中点，与交于点. (1)令，用，表示； (2)求线段的长. 学以致用—平面向量基本定理的应用 A B C D E F 学以致用—平面向量基本定理的应用 A B C D E G F O 学以致用—平面向量基本定理的应用 A B C D E G F O 课堂小结 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数，使 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 基底不唯一，只要不共线即可. $$