专题16.3二次根式的加减【7大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题16.3二次根式的加减 【考点梳理】 · 考点一：同类二次根式 · 考点二：二次根式的加减运算 · 考点三：二次根式的混合运算 · 考点四：分母的有理化 · 考点五：比较二次根式的大小 · 考点六：已知字母的值，化简求值 · 考点七：已知条件式，化简求值 【知识梳理】 知识点一：可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m+n=（m+n） 知识点二、二次根式的加减 ★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 ★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。 知识点三、二次根式的混合运算 ★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 ★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。 技巧归纳总结：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【题型归纳】 题型一：同类二次根式 1．（2025八年级下·全国）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025八年级下·全国）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与3 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．，，因为化成最简二次根式以后被开方数相同，所以是同类二次根式，故本选项符合题意； C．因为和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D．，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 题型二：二次根式的加减运算 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1）（2），先利用二次根式的性质化简二次根式，再合并同类二次根式； 对于（3），先化简二次根式，再合并同类二次根式； 对于（4），先利用二次根式的性质化简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （2）直接化简二次根式，进而合并得出答案； （3）直接化简二次根式，进而合并得出答案． 本题考查了二次根式的化简，加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的加减运算． （1）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （3）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （4）先对二次根式进行化简，再去括号、合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ＝2 ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型三：二次根式的混合运算 7．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． (6)； (7)； (8)． (9)． (10)； 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5) (6)4 (7)17 (8) (9) (10) 【分析】本题考查了二次根式的混合、零次幂的性质、绝对值的性质． （1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值的运算法则计算，再合并即可； （3）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可； （4）先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可； （5）先根据二次根式的乘除法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （6）先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算； （7）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （8）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （9）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式后进行二次根式的除法运算； （10）先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次根式的加减，乘法运算，分式的求值，完全平方公式等知识，将所求式子进行合理的变形，再将已知代入求解是解题的关键． （1）首先分母有理化，再计算出，然后将利用完全平方公式变形代数求解即可； （2）首先计算出，，然后将变形为，再代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ． （2），， ， ， ∴ ． 9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解； （3）先化为最简二次根式和计算二次根式的乘法，再进行加减运算即可； （4）分别按照完全平方公式与平方差公式先计算二次根式的乘法运算，再合并即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型四：分母的有理化 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键．将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 11．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 12．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 根据条件所给的例子，将二次根式分母有理化即可． 【详解】解：． 故选：D． 题型五：比较二次根式的大小 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 14．（20-21八年级下·湖北黄石·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 15．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 题型六：已知字母的值，化简求值 16．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】95 【分析】本题主要考查了分母有理化、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 通过分母有理化可得、，进而得到，然后将原式化为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 17．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）先计算出，把变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 18．（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值： （1）根据二次根式有意义的条件得到，则，进而得到，据此代值计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，据此化简绝对值推出，则． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵有意义， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七：已知条件式，化简求值 20．（23-24八年级下·广西南宁）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)11 【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可． （1）根据分母有理化是要求把原式化简， 再比较即可得到答案； （2）根据分子有理化是要求把原式变形为， 再计算出结果， 再比较大小即可； （3）依次把每一项分母有理化，再合并即可； （4）把进行分母有理化化简，再将其代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， ， 由， ， ． （3）解： ； （4）解：， ∴． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 23．（24-25八年级上·重庆·期末）估算的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，先将原式化简，再进行估算求值．解题的关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．也考查了不等式的性质． 【详解】解：， ∵，即， ∴， ∴， 即的值应在和之间． 故选：B． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，． 故选：D． 25．（2025八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】本题考查了二次根式的加法，也考查了等腰三角形的性质：两腰相等，注意要用三角形的三边关系确定出第三边． 先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 【解答】解：∵， ∴只能是腰长为， ∴等腰三角形的周长． 故选：B． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】解：由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选D． 27．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 28．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 29．（24-25八年级上·重庆·期中）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． ①估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ②通过分母有理化，比较两个二次根式的倒数大小，即可解答； ③先分子分母同时乘以，减少分母的根式个数后再次有理化分母即可； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与b可以利用分母有理化化简，可得出，然后观察方程特点，求得m的值． 【详解】解：①∵a是的小数部分， ∴， ∴，故①错误； ②∵， ， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③ ，故③正确； ④∵ ∴ ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， ， 解得，故⑤错误． 综上所述：②③④正确， 故选：B． 二、填空题 30．（2025八年级下·全国·专题练习）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，先将原式分子分母同时乘以，然后化简求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）比较大小： ① ② 【答案】 【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用作差法和分子有理化比较大小是解决此题的关键． ①利用作差法比较大小即可； ②利用分子有理化即可比较大小． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴ ② ∵ ∴ ∴ 故答案为：；． 33．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式，先根据得出a，b的值，再将变形为，将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是a，小数部分是b， ，， ， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 35．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 三、解答题 36．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先化简，然后合并同类二次根式即可； （）先算除法，再合并即可； 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（2025八年级下·全国·专题练习）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减法，平方差公式，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握分母有理化的方法是解题关键． （1）先化简，再按照分母有理化方法进行即可． （2）按照分母有理化方法进行即可． （3）按照分母有理化方法进行即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴. ∴，即. ∴， ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：___________；___________； (2)计算： ； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)2020 (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用： （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化把a的值化简，根据完全平方公式把原式化简，把化简后的a的值代入计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：原式 ． （3）解：， ∵， ∴原式． 39．（2025八年级下·全国·专题练习）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，，∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值： ___________；___________. 【答案】(1)5； (2)①5；②，2 【分析】本题考查了分母有理化，利用分母有理化是解本题的关键． （1）根据题目中的例子，将题目中的式子分母有理化，然后计算即可求得所求式子的值； （2）①根据题目中的例子，将a的分母有理化，然后即可得到的值和的值，将所求式子变形即可解答本题； ②将所求式子变形，再根据的值，即可解答本题． 【详解】（1）解：原式＝ ＝ ； （2）解：， ①∵， ∴， 两边平方，得， 即， ∴ ； ②∵由①知，，， ∴； ∵， ∴， 除以a得， ∴ ＝ ＝ ， 故答案为：，2． 40．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，；② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 41．（24-25八年级下·全国·单元测试）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： （ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （ⅱ）还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照（ⅰ），化简：； ②参照（ⅱ），化简：； (2)化简： 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化是解决问题的关键． （1）①分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； ②利用二次根式的性质把2化为两数的平方差，然后约分即可； （2）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：原式 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.3二次根式的加减 【考点梳理】 · 考点一：同类二次根式 · 考点二：二次根式的加减运算 · 考点三：二次根式的混合运算 · 考点四：分母的有理化 · 考点五：比较二次根式的大小 · 考点六：已知字母的值，化简求值 · 考点七：已知条件式，化简求值 【知识梳理】 知识点一：可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。 合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m+n=（m+n） 知识点二、二次根式的加减 ★二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 ★二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。 知识点三、二次根式的混合运算 ★二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。 ★在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。 注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。 技巧归纳总结：分母有理化 二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：与；与；与；+与-；a+c与a-c等。 【题型归纳】 题型一：同类二次根式 1．（2025八年级下·全国）下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025八年级下·全国）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与3 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：二次根式的加减运算 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型三：二次根式的混合运算 7．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． (6)； (7)； (8)． (9)． (10)； 8．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 9．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：分母的有理化 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（    ）（n为正整数）． A． B． C． D． 题型五：比较二次根式的大小 13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 14．（20-21八年级下·湖北黄石·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：已知字母的值，化简求值 16．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求代数式的值． 17．（24-25八年级下·全国·期末）设，求下列各式的值： (1)； (2)． 18．（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）已知，求代数式的值． （2）已知实数满足，求的值． 题型七：已知条件式，化简求值 20．（23-24八年级下·广西南宁）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 21．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： (1)比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：； (4)若，求的值． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25八年级上·江西抚州·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·重庆·期末）估算的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 24．（2025八年级下·全国·专题练习）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 25．（2025八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的两边长为和，则此等腰三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）在如图所示的数轴上，两点对应的实数分别是和，点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 28．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 29．（24-25八年级上·重庆·期中）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②比较大小：； ③变形：； ④计算； ⑤已知，，且，则所有可能的整数m的和为． 以上结论正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 二、填空题 30．（2025八年级下·全国·专题练习）化简的结果是 ． 31．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 32．（2025八年级下·全国·专题练习）比较大小： ① ② 33．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值 ． 34．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为 ． 35．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 三、解答题 36．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 37．（2025八年级下·全国）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 38．（2025八年级下·全国·专题练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴. ∴，即. ∴， ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：___________；___________； (2)计算： ； (3)若，求的值. 39．（2025八年级下·全国·专题练习）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，，∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值： ___________；___________. 40．（2025八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 41．（24-25八年级下·全国·单元测试）在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： （ⅰ）． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （ⅱ）还可以用以下方法化简：． (1)请用不同的方法化简． ①参照（ⅰ），化简：； ②参照（ⅱ），化简：； (2)化简： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$