精品解析：河南省南阳市南召县2024-2025学年 八年级下学期数学开学练习

2025年春期八年级开学摸底练习 数学 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A B. C D. 4. 如图，点A，B，C在同一条直线上，且，当，时，的长为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 大课间活动在我县各校蓬勃开展，某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在100—120(含100和120)这一组的频率是（ ） A. 0.7 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 6. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A B. C. D. 7. 将长、宽分别为、的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知∠A＝∠C＝90°，AB和CD相交于点E．现要添加一个条件，使得则下列条件中不符合要求的是（ ） A ∠ADE＝∠CBE B. AD＝BC C. AE＝CE D. ∠EDB＝∠EBD 9. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 10. 如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是（ ） A. 6 B. 5 C. D. 4 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 单项式与的积为________． 12. 如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是______． 13. 计算：______． 14. 南召县历史悠久，文化底蕴丰厚，物产丰富，是国家命名的“中国辛夷之乡”“柞蚕之乡”，某学校想知道同学们对家乡文化的了解情况，就对八年级的学生进行了一次调查测试，下面是王芳根据测试做的两个不完整的统计图．(A等级：特别了解；B等级：十分了解；C等级：一般了解；D等级：不大了解；E等级：不了解)，则不大了解的人数为_____． 15. 如图，将长方形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，与交于点E，若，则的长为______． 三、解答题(10+9+9+9+9+9+10+10=75分) 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，．给出下列三个条件：①，②，③． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为 ，你判定的依据是 (填“”或“”或“”或“”)； （2）请用（1）中所选条件证明． 18. 南召县五朵山景区登上央视新闻直播间之后，知名度得到了显著提高，为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了200名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 满意程度 频数(人) 频率 非常满意 100 0.5 满意 60 0.3 一般 a c 不满意 b 0.05 合计 200 1 （1） ， ， ； （2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角的度数； （3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．(答案合理即可) 19. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长． 20. 如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母(保留作图痕迹，不写作法)． ①作的平分线； ②连接，并延长交于点G； ③过点A作的垂线，垂足为F． （2）直接写出：与位置关系与数量关系 ． 21. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 22. 如图，已知， （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，当时， ①求证：； ②过点D作，垂足为E．若，求点D到的距离； 23. 如图，是经过顶点C的一条直线，，E，F分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且E，F在射线CD上． ①如图1，若，证明 ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出关于，三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期八年级开学摸底练习 数学 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 利用实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．∵，∴，故符合题意； 故选：D． 2. 计算：（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算法则，正确运用运算法则运算是关键． 先用积的乘方运算法则得，再利用幂的乘方运算得结果为． 【详解】， ∴选项A、B、C错误，选项D正确． 故选D． 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定，即可求解． 【详解】解：A． ，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B． ，是因式分解，故该选项正确，符合题意； C． ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D． ，是整式乘法，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在同一条直线上，且，当，时，的长为（ ）． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等，正确找出三角形的对应边是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，（全等三角形的对应边相等） 又∵，， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 5. 大课间活动在我县各校蓬勃开展，某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据(单位次)：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在100—120(含100和120)这一组的频率是（ ） A. 0.7 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，根据频率频数总数计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：跳绳次数在100—120(含100和120)的数据有100，102，111，117，共个， ∴跳绳次数在100—120(含100和120)这一组的频率是， 故选：C． 6. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图的痕迹，可得，进而判断，在根据平行的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，有，即A项正确， ∴，即D项正确， ∴，即B项正确， 而与的大小关系无法确定， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行线的判定与性质等知识，掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 7. 将长、宽分别为、的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论． 【详解】解：由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个矩形的面积； ∴， 即：； 故选D． 【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形的面积．正确的识图，确定两个正方形的边长，是解题的关键． 8. 如图，已知∠A＝∠C＝90°，AB和CD相交于点E．现要添加一个条件，使得则下列条件中不符合要求的是（ ） A. ∠ADE＝∠CBE B. AD＝BC C. AE＝CE D. ∠EDB＝∠EBD 【答案】A 【解析】 【分析】根据∠EDB=∠EBD推出DE=BE，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．∠A=∠C=90°，∠AED=∠CEB，∠ADE=∠CBE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ADE≌△CBE，故本选项符合题意； B．∠A=∠C=90°，∠AED=∠CEB，AD=CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ADE≌△CBE，故本选项不符合题意； C．∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AED=∠CEB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ADE≌△CBE，故本选项不符合题意； D．∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE， ∠A=∠C=90°，∠AED=∠CEB，DE=BE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ADE≌△CBE，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 9. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，，是边上的高， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b的值是（ ） A. 6 B. 5 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、完全平方式等知识点，正确根据图形的关系求得和ab的值是解答本题的关键． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 单项式与的积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由单项式乘以单项式的法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查是单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键． 12. 如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，因为，所以，再根据点对应的数，求出点对应的实数．本题考查了二次根式的加减法，实数与数轴，数轴上两个点，对应的实数分别为，则线段．特别的，当点在点的右侧时，． 【详解】解：∵点，对应的实数分别为，． ． 由题图可知，． ． 设点对应的数为． ． 解得． ∴点对应的数为． 故答案为：． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 南召县历史悠久，文化底蕴丰厚，物产丰富，是国家命名的“中国辛夷之乡”“柞蚕之乡”，某学校想知道同学们对家乡文化的了解情况，就对八年级的学生进行了一次调查测试，下面是王芳根据测试做的两个不完整的统计图．(A等级：特别了解；B等级：十分了解；C等级：一般了解；D等级：不大了解；E等级：不了解)，则不大了解的人数为_____． 【答案】350 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，先求出总人数，即可得出不大了解的人数，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：总人数为：（人）， 故不大了解的人数为（人）， 故答案为：． 15. 如图，将长方形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，与交于点E，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等角对等边，由题意可得，，，，由折叠的性质可得，，，，证明，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案：． 三、解答题(10+9+9+9+9+9+10+10=75分) 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根，再计算加减即可得解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，．给出下列三个条件：①，②，③． （1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得．你选取的条件序号为 ，你判定的依据是 (填“”或“”或“”或“”)； （2）请用（1）中所选条件证明． 【答案】（1）②，或③， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）已知一边一角相等，可以利用，或证明三角形全等，添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定方法进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，利用可以证明； 当时，利用可以证明； 故答案为：②，或③，； 【小问2详解】 当选择②时：在和中， ， ∴； 当选择③时：在和中， ， ∴ 18. 南召县五朵山景区登上央视新闻直播间之后，知名度得到了显著提高，为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了200名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 满意程度 频数(人) 频率 非常满意 100 0.5 满意 60 0.3 一般 a c 不满意 b 0.05 合计 200 1 （1） ， ， ； （2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角的度数； （3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议．(答案合理即可) 【答案】（1）30，10，0.15 （2） （3）由图表可以看出绝大多数游客还是相当满意的，景区可以多一些对细节的规划，在服务方面更加注重，做到尽善尽美，推出一些特色的服务项目，给游客不一样的体验 【解析】 【分析】本题考查了频数、频率表，扇形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频数与频率的关系即可求解； （2）由一般满意的频率乘以即可得解； （3）根据图表得出结论即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴，， 【小问2详解】 解：由题意可得：； 【小问3详解】 解：由图表可以看出绝大多数游客还是相当满意，景区可以多一些对细节的规划，在服务方面更加注重，做到尽善尽美，推出一些特色的服务项目，给游客不一样的体验． 19. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离为，求底部边缘A处与E之间的距离的长． 【答案】底部边缘A处与E之间的距离的长为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：中，， ∴， 在中，， ∴， 答：底部边缘A处与E之间的距离的长为． 20. 如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点． （1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母(保留作图痕迹，不写作法)． ①作的平分线； ②连接，并延长交于点G； ③过点A作的垂线，垂足为F． （2）直接写出：与的位置关系与数量关系 ． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、作图—基本作图、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用基本作图的方法结合题意作图即可； （2）由等腰三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质结合角平分线的定义可得，即可得出，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解： ， ． 22. 如图，已知， （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，当时， ①求证：； ②过点D作，垂足为E．若，求点D到的距离； 【答案】（1）48 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质． （1）根据等腰三角形的性质得，，由此即可得出的度数； （2）①设，则，根据等腰三角形的性质得，，，，进而得，由此即可得出结论； ②过点D作于F，根据平行线的性质得，则是的平分线，然后再根据角平分线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：48； 【小问2详解】 ①证明：设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：过点D作于F，如图所示：   ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，，， ∴， ∴点D到的距离是． 23. 如图，是经过顶点C的一条直线，，E，F分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且E，F在射线CD上． ①如图1，若，证明 ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出关于，三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由． 【答案】（1）①见解析；②时，①中的结论仍然成立，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）可证，进一步得证，得；②时，①中的结论仍然成立，求证，得证，于是； （2），可证，进一步求证，得，于是． 【小问1详解】 ①∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②时，①中的结论仍然成立， 理由如下：， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$