专题10 圆（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题10 圆 课标要求 考点 考向 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等弦、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； 3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； 5.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等； 6.了解三角形的内心与外心； 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系； 垂径定理 考向一 根据垂径定理求弦长或半径 圆周角定理及推论 考向一 圆周角和圆心角的关系 考向二 圆内接四边形 切点与切线 考向一 切点的性质 考向二 切线的性质 圆综合 考向一 圆与解三角形综合 考向二 圆与四边形综合 考点一 垂径定理 ►考向一 根据垂径定理求弦长或半径 知识提要 ·垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ ·垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 技巧方法 ·根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题方法：连接圆心与弦的端点，构造直角三角形 案例：→ → → ①先根据垂径定理做辅助线构造直角三角形； ②再运用勾股定理和方程思想，设未知量，直接求弦心距或弦长 1．（2023·陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 【答案】A 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 考点二 圆周角定理及推论 ►考向一 圆周角和圆心角的关系 知识提要 ·定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等。 几何表述： 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴，AB=AB，OM=OM 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 ·圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 如图，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，∠BAC=∠DOC =∠BOC（外角+对称性） ·推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.（左图） ·推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 2．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（2022·陕西）如图，内接于⊙，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB． 【详解】连接OB，如图， ∵∠C=46°， ∴∠AOB=2∠C=92°， ∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键． 考向二 圆内接四边形 知识提要 ·圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 ∠A+∠BCD=180°，∠B+∠ADC=180°，∠DCE=∠A 4．（2020·陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A．55° B．65° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接CD， ∵∠A＝50°， ∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键． 考点三 切点与切线 ►考向一 切点的性质 解题技巧：求一点到圆上点距离的最值 ①根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；②圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r 5．（2021·陕西）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意易得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC，交于点E，然后可得AE的长即为点A到上的点的距离为最大，由题意易得，则有△OFC是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质可得，最后问题可求解． 【详解】解：由题意得当与BC、CD相切时，切点分别为F、G，点A到上的点的距离取得最大，如图所示： 连接AC，OF，AC交于点E，此时AE的长即为点A到上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴△OFC是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点A到上的点的距离的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 考向二 切线的性质 知识提要 ·圆的切线垂直于经过切点的半径。几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l ·过圆上一点的切线作法：①连接ＯＰ；②过点Ｐ作直线ｌ⊥ＯＰ；则直线ｌ即为所作 技巧方法 1.和切线有关的辅助线的作法：连接圆心与切点，得到直角，再利用两角的互余关系进行角度等量代换 2.构造相似三角形利用对应边成比例求线段长，在直角三角形中用锐角三角函数或勾股定理求线段长 6．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 考点四 圆综合 解题技巧 ·与圆周角有关的辅助线作法 1.根据同弧或等弧所对的圆周角相等，连接圆上两点，构造相等的圆周角； 案例1. 如图，若，可连接→得 2.根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，连接圆心和圆上一点，转化角度关系； 3.根据直径所对的圆周角是直角，连接直径的一个端点和圆上一点，构造直角三角形；连接圆上两点，得到圆的直径。 案例2. 若，可连接→得是的直径 ·圆中的相似模型 1.相交弦：根据同弧所对的圆周角相等，可证 2.∠DCE=∠A： ①圆内接四边形的外角等于其内对角；②弦切角∠DCE等于其弧所对的圆周角 例：①；②若AD⊥EF，可证 ►考向一 圆与解三角形综合(利用相似或锐角三角函数解决问题) 7．（2023·陕西·中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，   则， ， ， ． ； （2）如图，， 为的直径， ． ， ， ， ， 又， ． ， ，， 连接，则，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（2022·陕西）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 9．（2021·陕西）如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）取的中点M，连接、，由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，由（1）知，则有，然后由相似三角形的性质可得，则，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点M，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质是解题的关键． 考向二 圆与四边形综合 10．（2020·陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC； （2）若AB＝12，求线段EC的长． 【答案】（1）详见解析；（2）12+4． 【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论； （2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝8，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝4，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解． 【详解】证明：（1）连接OC， ∵CE与⊙O相切于点C， ∴∠OCE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOC+∠OCE＝180°， ∴∴AD∥EC； （2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F， ∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠D＝∠ACB＝60°， ∴sin∠ADB＝， ∴AD＝＝8， ∴OA＝OC＝4， ∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°， ∴四边形OAFC是矩形， 又∵OA＝OC， ∴四边形OAFC是正方形， ∴CF＝AF＝4， ∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°， ∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵tan∠EAF＝， ∴EF＝AF＝12， ∴CE＝CF+EF＝12+4． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定和性质，锐角三角函数，灵活运用知识点是解题关键． 1．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、切线的性质和判定的综合应用、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角． 连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得 ． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接，设的半径为，根据垂径定理可得三点共线，进而可得，，在中，由勾股定理得解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，设的半径为， ∵为的中点且， ∴三点共线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即该车轮的半径等于． 故选：D． 4．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键． 如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ，垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 故选：A 6．（2024·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，点在圆上，若，，若的半径为，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角之间的关系，勾股定理，由圆周角定理可得，即可由得到，再利用勾股定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，过点作，交于点，交于点，交于点，易得四边形、四边形均为矩形，由垂径定理可得，在中，由勾股定理可解得的长度，进而可计算的长度，然后计算圆盘离桌面最近的距离即可． 【详解】解：连接、，过点作，交于点，交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即圆盘离桌面最近的距离是． 故选：C． 8．（2024·陕西渭南·二模）如图，是的直径，点是上一点，为上一点，连接并延长交的延长线于点，若是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，连接，圆周角定理得到，斜边上的中线，得到，进而推出为等边三角形，推出，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 9．如图，已知内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、圆周角定理 【分析】此题考查平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．先求出，，得出，然后再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：C． 10．（2024·陕西西安·一模）如图，和都经过A，B两点，且点N在上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），的延长线交于点P，连接．若，，则长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的外心，等边三角形的判定和性质，三角函数，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质和解直角三角形；由圆周角定理可得，由可证为等边三角形，则M为等边的外心，进而可得， ，再用解直角三角形即可求出． 【详解】解：连接，过点M作于D，如图所示： ∵和都经过A，B两点，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接于， ∴点M为等边的外心， ∴平分，垂直平分， ∴， ， ， ， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【答案】12.5 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点， ∴垂直平分，则圆心在上，则分米， 连接， 设半径分米，分米， 在中，，即：， 解得：， 即：半径为12.5分米， 故答案为：12.5． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、圆周角的概念辨析、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是掌握点为内部的一个动点，点会随点的运动而运动，当点、、三点构成时，，当点、、三点共线时，即点在线段上时，，则，根据点的运动轨迹，则点在以点为弦，圆心为点，以点，点组成圆心角的圆弧上运动，当点与点重合，点与点或点重合时，有最大值，；当点与点重合时，有最小值，；得到，即可． 【详解】由题意得，点为内部的一个动点，点会随点的运动而运动， 当点、、三点构成时，， 当点、、三点共线时，即点在线段上时，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在以点为弦，圆心为点，以点，点组成圆心角的圆弧上运动 ∴当点与点重合，点与点或点重合时，有最大值，； 当点与点重合时，有最小值，； ∴， 由可得：． 故答案为：． 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点E，P是边的中点，O，G是上的两动点，以点O为圆心，长为半径作交于点F，连接交于点H，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】利用菱形的性质求线段长、90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，勾股定理，轴对称的性质等知识，判断出点H在以为直径的上是解答本题的关键． 连接，可得，则点H在以为直径的上，由菱形的性质得，当点G，H落在上时，的值最小，由勾股定理求出，进而求出，在中，求出即可求解． 【详解】解：连接，如下图． 是的直径， ， 点H在以为直径的上． 作的中点，连接，由菱形的性质得．连接，当点G，H落在上时，的值最小，此时．过点作于点 ∵四边形是菱形， ， ，． ∵ ∴在中， 的最小值是． 故答案为：． 14．（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，是弧上的一个动点，弧的圆心角为，连接，则的最小值是 ．    【答案】/ 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】设弧所在圆的圆心为O，过点O作交于点E，交于点F，连接，，，，首先根据题意得到当点A，P，O三点共线时，有最小值，即的长度，利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设弧所在圆的圆心为O，过点O作交于点E，交于点F，连接，，，，    ∵P是弧上的一个动点， ∵ ∴当点A，P，O三点共线时，有最小值，即的长度 ∵四边形是矩形， ∴ ∵弧的圆心角为， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最短距离，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是得到当点A，P，O三点共线时，有最小值，即的长度． 三、解答题 15．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，． (1)求证：是圆的直径； (2)若圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理；切线的性质，相似三角形的性质与判定； （1）连接，根据题意可得得出是圆的直径，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得出，即可证明是圆的直径． （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 与互余， ， ， ， 是圆的直径． ， ， ， 是圆的直径． （2）解：是圆的直径， 点为圆心， ， ， 是圆的切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点C在以为直径的上，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点G是半径上的点，过点G作的垂线与交于点F，与的延长线交于点E，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明是解决本题的关键． （1）连接，由圆周角定理求，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是圆O的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ，   而是的直径， ， ， ， 是的半径 是的切线； （2）解：设， ， ， ，      ， 在中，， ， ， 又， ， ，                           设， ，， ，                       ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 17．（2024·陕西西安·一模）如图，已知内接于，是的直径，点在上，过作的切线，交的延长线于点，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题、圆周角定理 【分析】（1）连接，交于点，根据切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，从而可得，再利用垂径定理可得，从而可得是的中位线，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，再利用线段的和差关系可得，从而可得，最后利用平行线分线段成比例可得，从而进行计算可得：，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∵经过圆心， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 的长为18． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识点，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的外接圆，于点于点N，连接，且，延长交的外角的平分线于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）利用同位角相等，两直线平行证明； （2）延长交于点F，连接，利用平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分的外角， ．                         ∵，且， ∴， ．                         ， ， ． （2）解：延长交于点F，连接， 由（1）知， ．                         又， ， ．                     ， ，                         ，即， ， ∴的半径为．                     19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点H，延长到点E，连接交于点F，连接、、，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理得出，根据直角三角形的性质以及等量代换求出，从而得出，即可得证； （2）根据垂径定理以及圆周角定理得出，证明，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． (1)求证：为直角三角形． (2)延长与交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． （1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可； （2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到，设，则，再利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：与相切于点， ， ， ． ， ， ， ， ． 即， 为直角三角形； （2）解：，， ． 由（1）知：， ． ， ． 为的直径， ， ， ． ， ， 设，则， ， ， ， ． ． 21．（2024·陕西西安·二模）如图，是的外接圆，，弦交于点E，且． (1)求证：是等边三角形； (2)过点O作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明可得，结合，可得结论； （2）先证明，求解，可得，证明．如图，过B作于点M，求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形； （2）∵， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 如图，过B作于点M， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 22．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是外接圆的切线，D在圆上，延长交于点F，且，连接．    (1)求证：； (2)若外接圆的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】解直角三角形的相关计算、90度的圆周角所对的弦是直径、切线的性质定理、利用垂径定理求值 【分析】（1）设圆的圆心为O，根据为直径，取的中点O，连接交于H，证明四边形为矩形，得出，根据垂径定理得出，即可证明结论； （2）连接，根据圆内接四边形的性质得出，设，得出，，根据得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：设圆的圆心为O， ∵， ∴为直径，取的中点O， 连接DO交AC于H，    ∵切于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵过点O，， ∴ ∴； （2）解：连接，    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 23．如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】垂径定理的推论、已知圆内接四边形求角度、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，然后利用等角的补角相等得到结论； （2）连接并延长交于点，如图，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，设，则，则，解得，接着利用是的中位线得到，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ； （2）解：连接并延长交于点，如图， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 是的中位线， ； 点为的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆 课标要求 考点 考向 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等弦、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； 3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4.了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； 5.*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等； 6.了解三角形的内心与外心； 7.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系； 垂径定理 考向一 根据垂径定理求弦长或半径 圆周角定理及推论 考向一 圆周角和圆心角的关系 考向二 圆内接四边形 切点与切线 考向一 切点的性质 考向二 切线的性质 圆综合 考向一 圆与解三角形综合 考向二 圆与四边形综合 考点一 垂径定理 ►考向一 根据垂径定理求弦长或半径 知识提要 ·垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ ·垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 技巧方法 ·根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题方法：连接圆心与弦的端点，构造直角三角形 案例：→ → → ①先根据垂径定理做辅助线构造直角三角形； ②再运用勾股定理和方程思想，设未知量，直接求弦心距或弦长 1．（2023·陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（   ）    A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm 考点二 圆周角定理及推论 ►考向一 圆周角和圆心角的关系 知识提要 ·定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等。 几何表述： 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴，AB=AB，OM=OM 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 ·圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 如图，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，∠BAC=∠DOC =∠BOC（外角+对称性） ·推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.（左图） ·推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 2．（2024·陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    3．（2022·陕西）如图，内接于⊙，连接，则（    ） A． B． C． D． 考向二 圆内接四边形 知识提要 ·圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 ∠A+∠BCD=180°，∠B+∠ADC=180°，∠DCE=∠A 4．（2020·陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　） A．55° B．65° C．60° D．75° 考点三 切点与切线 ►考向一 切点的性质 解题技巧：求一点到圆上点距离的最值 ①根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；②圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r 5．（2021·陕西）如图，正方形的边长为4，的半径为1．若在正方形内平移（可以与该正方形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为 ． 考向二 切线的性质 知识提要 ·圆的切线垂直于经过切点的半径。几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l ·过圆上一点的切线作法：①连接ＯＰ；②过点Ｐ作直线ｌ⊥ＯＰ；则直线ｌ即为所作 技巧方法 1.和切线有关的辅助线的作法：连接圆心与切点，得到直角，再利用两角的互余关系进行角度等量代换 2.构造相似三角形利用对应边成比例求线段长，在直角三角形中用锐角三角函数或勾股定理求线段长 6．（2024·陕西）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 考点四 圆综合 解题技巧 ·与圆周角有关的辅助线作法 1.根据同弧或等弧所对的圆周角相等，连接圆上两点，构造相等的圆周角； 案例1. 如图，若，可连接→得 2.根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，连接圆心和圆上一点，转化角度关系； 3.根据直径所对的圆周角是直角，连接直径的一个端点和圆上一点，构造直角三角形；连接圆上两点，得到圆的直径。 案例2. 若，可连接→得是的直径 ·圆中的相似模型 1.相交弦：根据同弧所对的圆周角相等，可证2.∠DCE=∠A： ①圆内接四边形的外角等于其内对角；②弦切角∠DCE等于其弧所对的圆周角 例：①；②若AD⊥EF，可证 ►考向一 圆与解三角形综合(利用相似或锐角三角函数解决问题) 7．（2023·陕西·中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 8．（2022·陕西）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 9．（2021·陕西）如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 考向二 圆与四边形综合 10．（2020·陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E． （1）求证：AD∥EC； （2）若AB＝12，求线段EC的长． 1．如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点、，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接、，点在的延长线上，若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·一模）如图，是的外接圆，点在圆上，若，，若的半径为，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西渭南·二模）如图，是的直径，点是上一点，为上一点，连接并延长交的延长线于点，若是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西西安·一模）如图，和都经过A，B两点，且点N在上．点C是优弧上的一点（点C不与A，B重合），的延长线交于点P，连接．若，，则长为（　　） A． B．3 C． D． 二、填空题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点E，P是边的中点，O，G是上的两动点，以点O为圆心，长为半径作交于点F，连接交于点H，连接．若，则的最小值是 ． 14．（2024·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，是弧上的一个动点，弧的圆心角为，连接，则的最小值是 ．    三、解答题 15．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，． (1)求证：是圆的直径； (2)若圆的半径为，，求的长． 16．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点C在以为直径的上，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)点G是半径上的点，过点G作的垂线与交于点F，与的延长线交于点E，若，求的长． 17．（2024·陕西西安·一模）如图，已知内接于，是的直径，点在上，过作的切线，交的延长线于点，若． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的外接圆，于点于点N，连接，且，延长交的外角的平分线于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径．       19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，弦交于点H，延长到点E，连接交于点F，连接、、，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． (1)求证：为直角三角形． (2)延长与交于点，连接，若，求的长． 21．（2024·陕西西安·二模）如图，是的外接圆，，弦交于点E，且． (1)求证：是等边三角形； (2)过点O作于点F，延长交于点G，若，，求的长． 22．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是外接圆的切线，D在圆上，延长交于点F，且，连接．    (1)求证：； (2)若外接圆的半径为5，，求的长． 23．如图，内接于，，，点为上一点，点为的中点，连接并延长与交于点，连接，． (1)求证：． (2)当经过圆心时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$