第21讲 相似三角形及应用（讲练）（思维导图+6个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第21讲 相似三角形及应用 （思维导图+6个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 3 重点考点一 相似三角形的性质与判定 3 重点考点二 相似三角形的常见模型 4 重点考点三 相似三角形的应用 6 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：相似三角形的性质 6 考点2：相似三角形的判定 9 考点3：相似三角形的判定与性质 12 考点4：相似三角形的应用 16 考点5：作图-相似变换 18 考点6：相似形综合题 21 第二部分：解题方法突破题型洞悉 29 题型1：“8”字模型相似三角形 29 题型2：“A”字模型相似三角形 33 题型3：射影定理 37 题型4：一线三等角构成相似三角形 44 题型5：手拉手模型—旋转型相似 48 题型6：三角形中位线定理 54 分层训练 巩固提升 57 基础夯实训练 57 能力拔高训练 65 考点要求 新课标要求 命题预测 相似三角形的性质与判定 · 了解相似三角形的判定定理. · 了解相似三角形判定定理的证明. · 了解相似三角形的性质定理. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 相似三角形的常见模型 · 相似三角形的应用 · 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 重点考点一 相似三角形的性质与判定 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 1. 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等. 重点考点二 相似三角形的常见模型 模型 图形 结论 证明过程（思路） A字模型 ①∆ADE~∆ABC ② 1)已知DE∥BC 则∠ADE=∠ABC 而∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC 2) 已知∠1=∠2 ∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC 共边反A字模型 ①∆ABC~∆ACD ② ③AC2=AB•AD 剪刀反A字模型 ①∆ABC~∆ADE ② 证明过程参照按照2） 8字模型 正8字模型 ①∆AOB~∆COD ② 反8字模型 ①∆AOB~∆DOC ② 3)已知AB∥DC 则∠A=∠C 而∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆COD 4) 已知∠1=∠2 ∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆DOC 一线三垂直 ①∆ABC~∆CDE ② ③当点C为BD中点时， ∆ABC~∆CDE~∆ACE 5)∵∠B=∠D=∠ACE=90° ∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90° 则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE 6)∵ ∆ABC~∆CDE ∴而点C为BD中点 则 又∵∠B=∠ACE=90° ∴∆ABC~∆ACE 则∆ABC~∆CDE~∆ACE 三角形内接矩形 ①∆ABC~∆ADG ② ③若四边形DEFG为正方形 即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值 7)∵四边形DEFG为矩形 ∴DG∥BC 而AN⊥BC ∴∆ABC~∆ADG ∠AMG=∠ANC=90° = 旋转相似模型 ①∆ABD~∆ACE ∵∆ADE~∆ABC ∴∠BAC=∠DAE 而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE ∴∠1=∠2 ∴∆ABD~∆ACE 重点考点三 相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 第一部分：常考考点讲练 考点1：相似三角形的性质 【例1】（2024•武进区校级模拟）如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．三角形中位线定理 C．平行线分线段成比例 D．相似三角形的对应边成比例 解：由题意可知：， ． 故选：． 【变式1】（2024•滨海县校级模拟）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把△按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到△；第二次旋转将△绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为△边长的2倍，得到△，．依次类推，得到△，则点的坐标为 　，　． 解：由题意，，，，，， △的边长为， 余1， 与都在第四象限， ， 【变式2】（2023•无锡）如图，△中，，，，点在上，交于点，的延长线与的延长线相交于点，且△△，则　　． 解：，， ， △△， ，，， ， 设，则， ， 由得， 由得， 设， ， ， ， 即， ， ，， △△， ， ， 同理， ， ， ， ，（负值舍去） ． 故答案为：． 考点2：相似三角形的判定 【例2】（2024•天宁区校级模拟）如图，点、分别在的边、上，要使，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为　　 A． B． C． D． 解：、由，，可以推出，，故本选项不符合题意； 、由，，可以推出，，故本选项不符合题意； 、由，可以推出，，故本选项不符合题意； 、由，推不出，，故本选不符合题意； 故选：． 【变式1】（2017•虎丘区校级自主招生）如图，在梯形中，，，，，如果直线上的点使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，那么这样的点有　6　个． 解：①若点在线段上， 当时， ，解得； 当时， ， ， ， 解得：或6； 综上所述，或1或6． ②若点在线段的延长线上， 当时， ，解得：； 当时， ， ， 解得：； ③ 若点在线段的延长线上， 当时， ， ， 解得：， 综上，满足题意的有6种情况． 【变式2】（2021•无锡）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点，切于点． （1）求证：； （2）若，，求证：． 证明：（1）是的直径， ， 切于点， ， ， 即； （2）由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点3：相似三角形的判定与性质 【例3】（2024•南通）在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判　　 A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 解：将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 当点落在边上时，如图： ，， ， ， ， 为的中点， 故小明的说法是正确的； 连接，， ，， ， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，的长最小， 当的长最小时，， 又， △△，， ， 故小丽的说法正确； 故选：． 【变式1】（2024•盱眙县校级模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的长为 　　． 解：连接、，如图，，， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【变式2】（2024•常州模拟）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距和像的长． 解：（1）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 与没有交点， 此时“不成像”； （2），，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 像距为，像的长为． 考点4：相似三角形的应用 【例4】（2024•镇江）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是　　 A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 解：设返回过程中小杰身高为， 由， 得， 由， 得． 故选：． 【变式1】（2024•玄武区校级模拟）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离、同学到树干的距离，以及露出笔的长度，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：　相似三角形对应高的比等于相似比　．（填写定理内容） 解：如图，设树高为． 根据题意推知，且，， 所以． 所以． 故答案为：相似三角形对应高的比等于相似比． 【变式2】（2015•镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，，两地相距12米，小明从点出发沿方向匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点，，在一条直线上）． （1）请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 解：（1）如图， （2）设小明原来的速度为 ，则 ，， ，， 点，，在一条直线上，， ，， ，， ，即，解得， 经检验为方程的解， 小明原来的速度为． 答：小明原来的速度为． 考点5：作图-相似变换 【例5】（2023•沭阳县二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，、、三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． （1）若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为； （2）的正弦值是 　　． 解：（1）如图，即为所求； （2）作于点． ， ． 故答案为：． 【变式1】（2023•海陵区校级二模）（1）如图1，在△中，，请用无刻度的直尺和圆规在上确定一点，使得△△．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则的长为 　　； （3）在如图2的正方形网格中，△的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：（1）如图，点满足要求， ，， △△． （2）△△． ， ，， ， 故答案为： （3）如图，点即为所求， 如图，取，，连接交于点， ， ，， △△， ， ， ， ， ， 点满足要求． 【变式2】（2018•南京一模）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且． （1）当时，上存在点，使与相似，求的长度． （2）如图②，当时．用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点．（不写作法，保留作图痕迹） （3）对于每一个确定的的值，上存在几个点，使得与相似？ 解：（1）当时， 要使，需，即， 解得或3； 当时， 要使，需，即， 解得； 综上所述或3． （2）延长，作点关于的对称点，连接，交于点； 连接，以为直径作圆交于点、． （3）当且时，有3个； 当时，有2个； 当时，有2个； 当时，有1个． 考点6：相似形综合题 【例6】（2024•沭阳县一模）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在△中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求值． 小明发现，过点作的平行线或过作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在△中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为 　7　． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，若△的面积为2，则△的面积为 　　． 解：（1）如图①，过点作交于，则，， 是的中点， ， ， ， ， 是的一个三等分点，且， ， ， △△， ， ， ， ， 的值为 （2）如图②，取的中点，连结，则， ，于点，，， ，， ，， ， △△， ， ， ， 故答案为：7． （3）如图③，作交于点， 点为的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， △△， ， ， ， ， ， △的面积为2， △的面积， 故答案为：10． 【变式1】（2024•崇川区三模）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，求证：； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． （1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①当点在边上时，如图1，过点作，垂足为，延长交于点， 则， 四边形是矩形， ， ，， ， 为等腰直角三 角形，， ， 在和， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ． ②当点在边上时，如图2，过点作，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， 同理可得， ， 为等腰直角三角形，， ． 综上，的度数为或． （3）解：①当点在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ， 易知，， ， ， ，， ； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾． ②当点在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又， 此时点与点重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ， ， ， ． 综上，． 【变式2】（2024•宝应县三模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若，，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． （1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，（舍去）， ，， 的长为32； （3）解：如图，延长，，交于点， ， 设，，则， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 即， ， 在中， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ，（舍去）， ， 即菱形的边长为 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：“8”字模型相似三角形 【例1】（2024•鼓楼区校级模拟）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的　　 A． B． C． D． 解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， 物体被缩小到原来的， 故选：． 【变式1】（2023•天宁区校级模拟）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么　　． 解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2021•江阴市校级三模）画图（要求：以下操作均只使用无刻度的直尺）． （1）在直角坐标系中我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点．如图1中点、，在图1中第一象限内找出所有的整点（图上标为、，使得点横、纵坐标的平方和等于20． （2）在图中过点作一直线，使它将的面积分成的两部分． （3）如图2，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，、、、均为格点．请在线段上找一点，并连结使得直线将四边形的面积分为两部分． 解：（1）设，则， 而， 点的坐标为或， 如图1，点，即为所求； （2）如图2中，直线（或即为所求． （3）如图3，连接， 则的面积的面积的面积， 四边形的面积的面积的面积， 直线将四边形的面积分为两部分， 的面积，即， ， 连接，交于点，连接，则， 线段即为所求． 题型2：“A”字模型相似三角形 【例2】（2024•镇江一模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为　　 A． B． C． D． 解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， 故选：． 【变式1】（2024•盐城模拟）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下：现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺” 仰放在岸上，从处望向谷底在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺” ，其中尺，尺，从处望向谷底在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知、、 解：，， △△， ， ， ， ，， △△， ， ， ， ， 解得：， 谷的深度为419尺． 【变式2】（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时： ①的值为 　　； ②的度数为 　　度； （2）类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 解：（1）①如图②中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，； ， ； ②， ， ， ， 故答案为：，45； （2），仍然成立，理由如下： 如图③中，设交于点． ，都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，； （3）如图中，当于时， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 如图④中，当时，延长交于． 同理可得，，， ， 综上所述，的长为或． 题型3：射影定理 【例3】（2023•武进区一模）如图，在中，，，．延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）求的长． （1）证明：，，， ， ， ， ， ， ， 即， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， ，，弦， ， ， ， ，即平分， ，即为等腰三角形， ，， ，， ， 在中，， 在中，， ． 【变式1】（2023•丹徒区模拟）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”． （1）如图2，． ①求证：点是点的“和谐点”； ②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹） （2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”． ①若，求出点的坐标； ②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 　　． （1）①证明：，， ， ， ， 点是点的“和谐点”； ②解：以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求，如图： 连接， ，， ， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 也是点的“和谐点”； （2）解：①，， ， ，， ， ， 直线的表达式为：， 设点的坐标为， 点， ， ， ，， ，或，； ②当点与点重合时，的外接圆与线段恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图： 点，， ， 由①知， ，即， ， ； 当的外接圆与线段恰有一个交点时，如图： 此时的外接圆与线段相切，则，且为直径， ， 点的坐标为， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ； 综上，若满足条件的点恰有2个，长的取值范围是， 故答案为：． 【变式2】（2022•亭湖区校级一模）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点，与交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，弦的长为，求的半径长． （1）证明：与相切于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 在中，， ， 的半径长为10． 题型4：一线三等角构成相似三角形 【例4】（2021•海州区校级二模）如图，的三个顶点分别在等边的三条边上，，，，则长度的最小值是 　　． 解：过点作，垂足为， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 的最小值为：． 【变式1】（2021•徐州模拟）如图所示，为正方形的边上一动点，，，垂足分别为，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若的面积为25，，求的面积． （1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为25， 的面积为9． 【变式2】（2022•洪泽区一模）如图，矩形中，，，点是上的动点，连接，将沿着折叠，点落在处，若，则的长度是 　2　． 解：方法一：过点作，垂足为，并延长交于点， 设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 由折叠可得： ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 经检验：是原方程的根， ； 方法二：延长，相交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 四边形的平行四边形， ，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ； 故答案为：2． 题型5：手拉手模型—旋转型相似 【例5】（2023•宿城区二模）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 解：如图，过点作于点，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为　　； ②的度数为　　． （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题： 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ， ， ； 故答案为：①，②； （2）和均为等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ，， ， ， ， ， 故，； （3）点满足， 点在以为圆心，为半径的圆上， ， 点在以为直径的圆上， 如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ，， ，四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， 即， 解得：或． 点到直线的距离为或． 【变式2】．（2024•武进区校级一模）如图，，，以为直径作半圆，是半圆上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则的最小值是 　　． 解：如图：以为直角边构造等腰，连、、． ， ． ， ， 由，，， 得， ， ， ， 故共线时，最小，即最小． ． ． 故答案为：． 题型6：三角形中位线定理 【例6】（2024•姑苏区校级二模）如图，是的中位线，，，则梯形的周长为　12　． 解：是的中位线，， ． 是的中位线， ，， 梯形的周长为． 故答案为：12． 【变式1】（2022•姑苏区模拟）如图，在三角形中，，，分别是、的中点，延长至点，使，连结、、．若，则　5　． 解：连接， 在中，，是的中点， ， ，分别是、的中点， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 故答案为：5． 【变式2】（2024•亭湖区一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，，连接．求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 解：方法一：如图，延长到点，使得，连接， ， 是的中位线， ， ， 是的垂直平分线， ， ； 方法二：如图，延长到点，使得，连接，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 基础夯实训练 1．（2024•溧阳市模拟）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是　　 A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 解：①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、厘米、厘米， 根据题意得： 解得，； ②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为厘米、60厘米、厘米， 根据题意得：， 解得， 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为厘米、厘米、60厘米， 根据题意得：， 解得，． 故选：． 2．（2024•亭湖区校级模拟）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩” 的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为　　 A． B． C． D． 解：由题意知，， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（2024•睢宁县校级模拟）如图，在四边形中，对角线，交于点，若，则图中一定相似的三角形是　　 A． B． C． D． 解：，， ， 故选：． 4．（2024•徐州二模）如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比是　　 A． B． C． D． 解：， ， 又， ， ， ． 故选：． 5．（2024•亭湖区一模）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 　　． 解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， △，即相似比为， ， ，， ， ， 故答案为：． 6．（2024•泉山区校级模拟）如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比为 　　． 解：， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 7．（2021•邗江区一模）一副三角板叠放如图，则与的面积之比为 　　． 解：设， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为． 8．（2024•宿迁模拟）如图，点，，，在一条直线上，与交于点，，， （1）求证：； （2）若，直接写出的值． （1）证明：， ， ， ； （2）解：， ；3， ，， ， ， 令的面积，则的面积， ， ， ， ， 的面积， 四边形的面积．四边形的面积， ． 9．（2024•泗阳县模拟）如图，在中，，是高，平分．分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，．求的长． （1）证明：， ， 为边上的高， ， ， ， 是的平分线， ， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作于． ，， ， ， 由， ， ， ，， 由， ， ， ． 10．（2023•宝应县校级三模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． （1）若，求的长； （2）将桌子放平后，要使距离地面的高为，求两条桌腿需叉开角度． 解：（1）由题意得：， ， ， ， ， 即的长为； （2）解：作于． ，， ， ， ， ， ． 能力拔高训练 11．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，则跷跷板的支撑点到地面的高度是　　 A． B． C． D． 解：如图：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， 如图：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 跷跷板的支撑点到地面的高度是， 故选：． 12．（2023•姑苏区一模）定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线．在中，，若过顶点能画出两条相似线，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 解：如图，当时， 若，则，， 所以过点存在两条相似线． 故选：． 13．（2022•工业园区校级二模）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　 A．2米 B．3米 C．米 D．米 解：由题意知：， 则，， ， ， ， 米， 故选：． 14．（2022•工业园区校级二模）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，是边上一点，连结并延长交于点，连结交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 解：如图，过点作交，于点，， 由题意可知：， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 15．（2024•常州模拟）如图，、、、均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是 　　． 解：连接、，设每个小正方形的边长都为1，如图， 由勾股定理得，， 四边形是平行四边形， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（2024•盐城模拟）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 　0.5　． 解：，， ， ， ． ． 某零件的外径为， 零件的厚度为：， 故答案为：0.5． 17．（2022•宿城区一模）如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是 　　． 解：如图所示，过作交于或交于，则或， 此时； 如图所示，过作交于，则， 此时； 如图所示，过作交于，则， 此时，， 当点与点重合时，，即， ，， 此时，； 综上所述，要有4种不同的剪法，使得过点沿直线剪下一个与相似，则长的取值范围是． 故答案为：． 18．（2024•雨花台区模拟）如图，在四边形中，与相交于点，，，，则　　． 解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 设， 由得，， ，，， ， ． 故答案为：． 19．（2019•兴化市模拟）如图，中，、分别在、上，，，则与四边形的面积之比为　　． 解：， ， ， 与四边形的面积之比是， 故答案为：． 20．（2021•江阴市校级模拟）如图，在中，是的中点，过的直线交于，交的延长线于，，．求： （1）的值； （2）的取值范围． 解：（1）过点作交于， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， ， ． （2）， 交的延长线上， ， ，，得， ， ． 21．（2021•南京模拟）如图，在四边形中，，点为的中点，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． （1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）， ，， ， ， ，， ． 22．（2011•新浦区校级二模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由； （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 解：（1）不存在．（1分） 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为、， 则，（3分） 由①得：③， 把③代入②得：， ，（5分） 所以不存在； （2）不存在．（6分） 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形．（10分） 23．（2024•秦淮区模拟）利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 解：由题意得， ， ， 设“”刻度线到秤纽的距离为厘米， ， ， 厘米， 答：“”刻度线到末刻度线的距离是40厘米． 24．（2019•淮安区模拟）如图．在中．，是上的一点（不与点、重合），．交于点．设的面积为．的面积为． （1）当是的中点时．求的值． （2）若，，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围． （3）根据的取值范围，探索与之间的大小关系．并说明理由． 解：（1）为中点， ， ， ， 的边上的高和的边上的高相等， ， ， ， ， ； （2），， ， ①， ， ， ， ，， ， 的边上的高和的边上的高相等， ②， ①②得： ， ， 的取值范围是； （3）由（2）知的取值范围是， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第21讲 相似三角形及应用 （思维导图+6个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 相似三角形的性质与判定 3 重点考点二 相似三角形的常见模型 4 重点考点三 相似三角形的应用 5 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：相似三角形的性质 6 考点2：相似三角形的判定 7 考点3：相似三角形的判定与性质 8 考点4：相似三角形的应用 9 考点5：作图-相似变换 10 考点6：相似形综合题 11 第二部分：解题方法突破题型洞悉 13 题型1：“8”字模型相似三角形 13 题型2：“A”字模型相似三角形 15 题型3：射影定理 16 题型4：一线三等角构成相似三角形 18 题型5：手拉手模型—旋转型相似 19 题型6：三角形中位线定理 21 分层训练 巩固提升 22 基础夯实训练 22 能力拔高训练 28 考点要求 新课标要求 命题预测 相似三角形的性质与判定 · 了解相似三角形的判定定理. · 了解相似三角形判定定理的证明. · 了解相似三角形的性质定理. 相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，也是难度最大的一个考点.它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察.而且在很多压轴题中，经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段.需要考生在复习的时候给予加倍的重视! 相似三角形的常见模型 · 相似三角形的应用 · 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 重点考点一 相似三角形的性质与判定 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 1. 判断网格中三角形是否相似，先运用勾股定理计算出三边的长度，再看对应边的比例是否相等. 重点考点二 相似三角形的常见模型 模型 图形 结论 证明过程（思路） A字模型 ①∆ADE~∆ABC ② 1)已知DE∥BC 则∠ADE=∠ABC 而∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC 2) 已知∠1=∠2 ∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC 共边反A字模型 ①∆ABC~∆ACD ② ③AC2=AB•AD 剪刀反A字模型 ①∆ABC~∆ADE ② 证明过程参照按照2） 8字模型 正8字模型 ①∆AOB~∆COD ② 反8字模型 ①∆AOB~∆DOC ② 3)已知AB∥DC 则∠A=∠C 而∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆COD 4) 已知∠1=∠2 ∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆DOC 一线三垂直 ①∆ABC~∆CDE ② ③当点C为BD中点时， ∆ABC~∆CDE~∆ACE 5)∵∠B=∠D=∠ACE=90° ∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90° 则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE 6)∵ ∆ABC~∆CDE ∴而点C为BD中点 则 又∵∠B=∠ACE=90° ∴∆ABC~∆ACE 则∆ABC~∆CDE~∆ACE 三角形内接矩形 ①∆ABC~∆ADG ② ③若四边形DEFG为正方形 即= 若假设DG=x 则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值 7)∵四边形DEFG为矩形 ∴DG∥BC 而AN⊥BC ∴∆ABC~∆ADG ∠AMG=∠ANC=90° = 旋转相似模型 ①∆ABD~∆ACE ∵∆ADE~∆ABC ∴∠BAC=∠DAE 而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE ∴∠1=∠2 ∴∆ABD~∆ACE 重点考点三 相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 第一部分：常考考点讲练 考点1：相似三角形的性质 【例1】（2024•武进区校级模拟）如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是　　 A．同位角相等，两直线平行 B．三角形中位线定理 C．平行线分线段成比例 D．相似三角形的对应边成比例 【变式1】（2024•滨海县校级模拟）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把△按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到△；第二次旋转将△绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为△边长的2倍，得到△，．依次类推，得到△，则点的坐标为 　　． 【变式2】（2023•无锡）如图，△中，，，，点在上，交于点，的延长线与的延长线相交于点，且△△，则　　． 考点2：相似三角形的判定 【例2】（2024•天宁区校级模拟）如图，点、分别在的边、上，要使，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2017•虎丘区校级自主招生）如图，在梯形中，，，，，如果直线上的点使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，那么这样的点有　　个． 【变式2】（2021•无锡）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点，切于点． （1）求证：； （2）若，，求证：． 考点3：相似三角形的判定与性质 【例3】（2024•南通）在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判　　 A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【变式1】（2024•盱眙县校级模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的长为 　　． 【变式2】（2024•常州模拟）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距和像的长． 考点4：相似三角形的应用 【例4】（2024•镇江）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是　　 A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【变式1】（2024•玄武区校级模拟）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离、同学到树干的距离，以及露出笔的长度，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：　 　．（填写定理内容） 【变式2】（2015•镇江）某兴趣小组开展课外活动．如图，，两地相距12米，小明从点出发沿方向匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点，，在一条直线上）． （1）请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 考点5：作图-相似变换 【例5】（2023•沭阳县二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，、、三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． （1）若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为； （2）的正弦值是 　　． 【变式1】（2023•海陵区校级二模）（1）如图1，在△中，，请用无刻度的直尺和圆规在上确定一点，使得△△．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，，则的长为 　　； （3）在如图2的正方形网格中，△的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式2】（2018•南京一模）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且． （1）当时，上存在点，使与相似，求的长度． （2）如图②，当时．用直尺和圆规在上作出所有使与相似的点．（不写作法，保留作图痕迹） （3）对于每一个确定的的值，上存在几个点，使得与相似？ 考点6：相似形综合题 【例6】（2024•沭阳县一模）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在△中，点是的中点，点是的一个三等分点，且．连结，交于点，求值． 小明发现，过点作的平行线或过作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在△中，为上一点，，连结，若，交、于点、．若，，，则的长为 　　． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，若△的面积为2，则△的面积为 　　． 【变式1】（2024•崇川区三模）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，求证：； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【变式2】（2024•宝应县三模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线、交于点，为上一点，连结，，，若，，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线、交于点，为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：“8”字模型相似三角形 【例1】（2024•鼓楼区校级模拟）凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•天宁区校级模拟）如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么　　． 【变式2】（2021•江阴市校级三模）画图（要求：以下操作均只使用无刻度的直尺）． （1）在直角坐标系中我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点．如图1中点、，在图1中第一象限内找出所有的整点（图上标为、，使得点横、纵坐标的平方和等于20． （2）在图中过点作一直线，使它将的面积分成的两部分． （3）如图2，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，、、、均为格点．请在线段上找一点，并连结使得直线将四边形的面积分为两部分． 题型2：“A”字模型相似三角形 【例2】（2024•镇江一模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐城模拟）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下：现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺” 仰放在岸上，从处望向谷底在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺” ，其中尺，尺，从处望向谷底在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知、、 【变式2】（2024•沭阳县校级模拟）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图①，已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，，设的延长线交于点，如图②，当点与点重合时： ①的值为 　　； ②的度数为 　　度； （2）类比探究：如图③，小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，直接写出的长． 题型3：射影定理 【例3】（2023•武进区一模）如图，在中，，，．延长至点，使，连接，以为圆心，长为半径作，延长，与交于点，作弦，连接，与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【变式1】（2023•丹徒区模拟）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”． 【变式2】（2022•亭湖区校级一模）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点，与交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，弦的长为，求的半径长． 题型4：一线三等角构成相似三角形 【例4】（2021•海州区校级二模）如图，的三个顶点分别在等边的三条边上，，，，则长度的最小值是 　　． 【变式1】（2021•徐州模拟）如图所示，为正方形的边上一动点，，，垂足分别为，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若的面积为25，，求的面积． 【变式2】（2022•洪泽区一模）如图，矩形中，，，点是上的动点，连接，将沿着折叠，点落在处，若，则的长度是 　　． 题型5：手拉手模型—旋转型相似 【例5】（2023•宿城区二模）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 【变式1】（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①线段，之间的数量关系为　　； ②的度数为　　． （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数； （3）解决问题： 如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离． 【变式2】．（2024•武进区校级一模）如图，，，以为直径作半圆，是半圆上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，则的最小值是 　　． 题型6：三角形中位线定理 【例6】（2024•姑苏区校级二模）如图，是的中位线，，，则梯形的周长为　　． 【变式1】（2022•姑苏区模拟）如图，在三角形中，，，分别是、的中点，延长至点，使，连结、、．若，则　　． 【变式2】（2024•亭湖区一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，，，连接．求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接． 方法二 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 基础夯实训练 1．（2024•溧阳市模拟）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是　　 A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 2．（2024•亭湖区校级模拟）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩” 的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为　　 A． B． C． D． 3．（2024•睢宁县校级模拟）如图，在四边形中，对角线，交于点，若，则图中一定相似的三角形是　　 A． B． C． D． 4．（2024•徐州二模）如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比是　　 A． B． C． D． 5．（2024•亭湖区一模）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 　　． 6．（2024•泉山区校级模拟）如图，在中，点、分别在边、上，且，与四边形的面积的比为 　　． 7．（2021•邗江区一模）一副三角板叠放如图，则与的面积之比为 　　． 8．（2024•宿迁模拟）如图，点，，，在一条直线上，与交于点，，， （1）求证：； （2）若，直接写出的值． 9．（2024•泗阳县模拟）如图，在中，，是高，平分．分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，．求的长． 10．（2023•宝应县校级三模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． （1）若，求的长； （2）将桌子放平后，要使距离地面的高为，求两条桌腿需叉开角度． 能力拔高训练 11．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，则跷跷板的支撑点到地面的高度是　　 A． B． C． D． 12．（2023•姑苏区一模）定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线．在中，，若过顶点能画出两条相似线，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 13．（2022•工业园区校级二模）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　 A．2米 B．3米 C．米 D．米 14．（2022•工业园区校级二模）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，是边上一点，连结并延长交于点，连结交于点．若，则的值为　　 A． B． C． D． 15．（2024•常州模拟）如图，、、、均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是 　　． 16．（2024•盐城模拟）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 　　． 17．（2022•宿城区一模）如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是 　　． 18．（2024•雨花台区模拟）如图，在四边形中，与相交于点，，，，则　　． 19．（2019•兴化市模拟）如图，中，、分别在、上，，，则与四边形的面积之比为　　． 20．（2021•江阴市校级模拟）如图，在中，是的中点，过的直线交于，交的延长线于，，．求： （1）的值； （2）的取值范围． 21．（2021•南京模拟）如图，在四边形中，，点为的中点，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 22．（2011•新浦区校级二模）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题： （1）当矩形的长和宽分别为1，2时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由； （2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 23．（2024•秦淮区模拟）利用初中物理所学习的“杠杆原理”可推得：一根质量均匀分布的长木以为支撑点，点在其左侧，其挂着的重物，到的距离为；点在其右侧，其挂着的重物，到的距离为，． 已知：秤盘质量10克，秤砣质量50克，最大可称重物1000克，零刻度线与末刻度线距离为50厘米．从零刻度线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻度线，试求“”刻度线到末刻度线的距离． 24．（2019•淮安区模拟）如图．在中．，是上的一点（不与点、重合），．交于点．设的面积为．的面积为． （1）当是的中点时．求的值． （2）若，，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围． （3）根据的取值范围，探索与之间的大小关系．并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$