第20讲 图形的相似与位似（讲练）（思维导图+8个考点讲练+5种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第20讲 图形的相似与位似 （思维导图+8个考点讲练+5种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 比例线段的概念与性质 3 重点考点二 相似图形的概念与性质 5 重点考点三 位似图形 6 第一部分：常考考点讲练 7 考点1：比例的性质 7 考点2：比例线段 7 考点3：黄金分割 9 考点4：平行线分线段成比例 11 考点5：相似图形 13 考点6：作图-相似变换 15 考点7：位似变换 18 考点8：作图-位似变换 21 第二部分：解题方法突破题型洞悉 24 题型1：黄金分割 24 题型2：由平行截线求相关线段的长或比值 30 题型3：求两个位似图形的相似比 37 题型4：画已知图形放大或缩小后n倍后的图形 40 题型5：在坐标系中求两个图形的相似比，周长比和面积比 47 分层训练 巩固提升 51 基础夯实训练 51 能力拔高训练 66 考点要求 新课标要求 命题预测 比例线段的概念与性质 · 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； · 通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 在中考中，该模块内容常出现在选择题、填空题，较为简单.本节内容是下一节相似三角形的基础，需要学生在复习时加以重视. 相似图形的概念与性质 · 通过具体实例认识图形的相似. · 了解相似多边形和相似比. 位似图形 · 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 重点考点一 比例线段的概念与性质 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 比例的性质： 1）基本性质： 2）变形： 核心内容： 3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. 5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为： 2）一条线段的黄金分割点有两个. 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 可得等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另外一个单位也可以. 重点考点二 相似图形的概念与性质 相似多边形的的概念： 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重点考点三 位似图形 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 1. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形. 2. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上. 第一部分：常考考点讲练 考点1：比例的性质 【例1】（2023•工业园区校级二模）若，则　　． 解：设，则，， ． 故答案为：． 【变式1】（2020•宝应县三模）若，则　　． 解：， ， 则． 故答案为：． 【变式2】（2024•广陵区一模）已知，则的值为 　5　． 解：， 设，则， ， 故答案为：5． 考点2：比例线段 【例2】（2019•无锡一模）已知，，为的三边，且，则的值为　　 A．1 B．或 C． D．1或 解：根据题意有：，，， ， 、、为的三边， ， ． 故选：． 【变式1】（2022•射阳县校级一模）在比例尺为的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 　31　． 解：大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为， 故答案为：31． 【变式2】（2024•常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 解：由题意得，，， ，，， ，， 与的比是， ， ， 经检验，是方程的解， ，， 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、． 考点3：黄金分割 【例3】（2024•泗阳县一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，，则的值为　　 A．1 B． C． D．10 解：， ， ， ， 同理：，，， ． 故选：． 【变式1】（2023•梁溪区校级模拟）如图，已知点在反比例函数位于第二象限的图象上，点在轴的负半轴上，连接交该图象于点，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：①的度数随着的值的变化而变化；②的面积随着的值的变化而变化；③；④的面积为．其中，正确的有　　 A．① B．①② C．②③ D．②④ 解：过作轴于，过作于，过作轴于，如图： 设，则，， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ，， 在反比例函数位于第二象限的图象上， ， ，即； 解得， ，， ， ，故③正确， 的度数不会随着的值的变化而变化，故①错误； ，，， ， 的面积为，故④错误； 的面积随着的值的变化而变化，故②正确； 正确的有②③， 故选：． 【变式2】（2024•泰兴市三模）已知点是线段的黄金分割点，，，则以为边长的正方形的面积是 　4　． 解：点是线段的黄金分割点，，， ， 以为边长的正方形的面积是， 故答案为：4． 考点4：平行线分线段成比例 【例4】（2024•沭阳县模拟）如图，在△中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为　　 A．2 B．2.5 C．3 D．4 解：过点作交于，如图， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式1】（2024•连云港二模）如图，，若，，则　3　． 解：， ， ， ， ． 故答案为：3． 【变式2】（2023•宜兴市校级模拟）如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，若，，则的周长为 　　． 解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 考点5：相似图形 【例5】（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同， 故选：． 【变式1】（2020•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是　　 A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形 解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， 两个等边三角形一定是相似形， 又直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， 两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：． 【变式2】（2021•锡山区一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，，，点、点分别是边，边上的中点．如果是凸四边形的相似对角线，那么的长等于　　． 解：如图所示： ，，， ， ，， ， ， ， ， ，为中点， ，， ， ， ， ， 在中， ，为中点， ， ． 故答案为：． 考点6：作图-相似变换 【例6】（2021•玄武区一模）如图，在中，是边上一点，在边上求作一点，使得． 甲的作法：过点作，交于点，则点即为所求． 乙的作法：经过点，，作，交于点，则点即为所求． 对于甲、乙的作法，下列判断正确的是　　 A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确 解：乙的作法正确． 理由：，，，四点共圆， ， ， ， ， ． 甲的作法，无法证明，故甲的作法错误． 故选：． 【变式1】（2024•高港区三模）如图，是的外接圆． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点，使得（注每个工具只限用一次）； （2）若，，求的长． 解：（1）如图，的即为所求； （2）， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）． ． 【变式2】．（2023•沭阳县二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，、、三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． （1）若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为； （2）的正弦值是 　　． 解：（1）如图，即为所求； （2）作于点． ， ． 故答案为：． 考点7：位似变换 【例7】（2024•宝应县三模）如图，在平面直角坐标系中， 与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 解：以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系， 则在新坐标系中，点的坐标为， 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点在新坐标系中的坐标为，，即， 则点在原坐标系中的坐标为， 故选：． 【变式1】（2024•淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为 　　． 解：过点作轴于点，过点作于点． 与是以点为位似中心的位似图形， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【变式2】（2020•如皋市一模）如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． （1）证明：，，， 四边形为矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 而， ， 四边形为正方形； （2）解：作于，交于，如图， 的面积， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，即，解得， 即的长为． 考点8：作图-位似变换 【例8】（2024•天宁区校级模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） （1）在图1中，以为边，画出，使，为格点； （2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点； （3）在图3中，在边上找一个点，且满足． 解：（1）如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点． ， ． 【变式1】．（2024•沭阳县校级模拟）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的△，点的坐标是　　； （2）以点为位似中心，在网格内画出△，使△与位似，且位似比为； （3）四边形的面积是　　平方单位． 解：（1）如图所示，画出向下平移4个单位长度得到的△，点的坐标是； （2）如图所示，以为位似中心，画出△，使△与位似，且位似比为， （3）四边形的面积是； 故答案为：（1）；（2）7.5 【变式2】2024•睢宁县校级模拟）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． （1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． （2）在图2中画，使得它与的面积相等，且，在格点上． 解：（1）如图1，△为所作； （2）如图2，平行四边形为所作． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：黄金分割 【例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)理由见解析； (3)理由见解析． 【思路点拨】（）设纸较长边的长为，较短边长为，易求得第一次折痕长为，根据第次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导即可； （）延长相交于点，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明，进而可求得，即可证得结论． 【规范解答】（1）设纸较长边的长为，较短边长为，由题意，得第一次折痕长为， ∵第次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； （2）点是的中点，理由如下：由（）得， 设，， 由折叠使得点和点重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点是的中点； （3）如图，延长相于点，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴是的黄金分割点． 【考点评析】本题考查了矩形与折叠性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质． 【变式1】（2024·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：连接， ∵将的圆周分成五等份， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的黄金分割点， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题 如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题： （1）若，则 （结果保留根号）； （2）　　（填“”、“ ”或“” ． 【初步探究】 （3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由． 【深入探究】 （4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）；（2）；（3）正确，理由见解析；（4）见解析 【思路点拨】（1）利用黄金分割比解答即可； （2）利用黄金分割的性质得到：设，则，，利用矩形的性质，正方形的性质和矩形的面积公式解答即可； （3）连接，，过点作，交于点，交于点，利用黄金分割比的性质和相似三角形的判定与性质得到，再利用平角的定义解答即可； （4）利用线段垂直平分线的性质，勾股定理解答即可得出线段的黄金分割点；再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【规范解答】解：（1）点是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 故答案为：； （2）点是线段的黄金分割点，且， ． 设，则，． ，， ， 故答案为：； （3）小明猜想点在矩形的对角线上，小明的猜想正确，理由： 连接，，过点作，交于点，交于点，如图， 则四边形，四边形，四边形，四边形为矩形， ，，，，， 四边形为正方形， ， ， 点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， ， ． ， ， ， 点，，在同一直线上， 点在矩形的对角线上； （4）①．过点作于点， ②．过点作的垂线，在此垂线上截取， ③．连接，以点为圆心，为半径画弧交于点， ④．以点为圆心，以为半径画弧，交于点，则点为的黄金分割点． ⑤．以点为圆心，以的长为半径画圆交圆于点， ⑥．连接，，则点为所求的点．如图： 【考点评析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，线段的黄金分割，相似三角形的判定与性质，基本作图，矩形的判定与性质，熟练掌握黄金分割的性质是解题的关键． 题型2：由平行截线求相关线段的长或比值 【例2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【规范解答】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点评析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 【变式1】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，点为边上一点，连结，过点作交的延长线于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长到点使，分别连结，，交于点．试探索与的关系； (3)如图3，若，点是直线上的一个动点，连结，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【思路点拨】（1）设，则，利用三角形的内角和定理列出方程求出值，即可求出的度数； （2）延长到，使，连接，，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，进而得出，再利用三角形的中位线定理解答即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，得到点在过点且垂直于的直线上运动；由三角形的三边关系定理得到，从而得到当，，在一条直线上时，，此时的值最小；由题意画出图形后，通过说明四边形是菱形，再利用菱形的对角相等得出，则结论可求． 【规范解答】（1）解：，， ． 设，则， ， ， ， ∵． ， ， ， ， ∴ （2）解：与的关系为， 证明：延长到，使，连接，，如图， ，， ． ，， 垂直平分， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ， ∴， ， ∴， 为的中位线， ， ； （3）解：的度数为．理由： 过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，如图， ，， ， ． 将线段绕点顺时针方向旋转得到线段， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 点在过点且垂直于的直线上运动． 点关于的对称点， ，． ． ， 当，，在一条直线上时，，此时的值最小． 如图，，，在一条直线上， ，， ． ． ，， ， ，关于对称， ， ， ． ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，菱形的判定与性质，充分利用旋转的性质解答是解题的关键． 【变式2】（2024·山东聊城·二模）如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）如图：连接，根据圆周角定理、切线的性质以及平行线的性质可得，进而说明，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，即；再根据平行线等分线段定理可得，设，，根据线段的和差列方程求得k，进而求得，再运用勾股定理可得，最后证明四边形为平行四边形并根据其性质即可解答． 【规范解答】（1）证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴． ∵，，， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线分线段定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质以及平行线等分线段定理是解答本题的关键． 题型3：求两个位似图形的相似比 【例3】（2024·湖南长沙·三模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，由位似图形的性质可知四边形是正方形，得到，即得是四边形的外接圆直径，又由正方形的面积为，可得，利用勾股定理可得，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是四边形的外接圆直径， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，与关于点位似，其中，，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【规范解答】∵，， ∴，， ∵与关于点位似，且相似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2021·贵州黔西·中考真题）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ． 【答案】 【思路点拨】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得． 【规范解答】解：， ， 与是位似图形， 与的相似比为， ， 即与的面积比为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 题型4：画已知图形放大或缩小后n倍后的图形 【例4】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在方格纸中. (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出B点坐标； (2)以原点为位O似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形； (3)计算的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3)16 【思路点拨】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形时先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和关键点；然后根据位似比，确定位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． (1)直接利用A，C点坐标得出原点位置进而得出答案； (2)利用位似图形的性质即可得出； (3)直接利用(2)中图形求出三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求的直角坐标系；； （2）如图：即为所求； （3）． 【变式1】（2023·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)Ⅰ．见解析；Ⅱ．． 【思路点拨】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【规范解答】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 【变式2】（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．    (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论； （2）先根据题意和轴对称性质作出轴对称前的，即以点为位似中心缩小的，在作出Q对应的，进而作出点对应的点P即可； （3）延长交于点，证明和得到，进而得到，证明得到，利用平行线的判定即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；    ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，   ， ③与不成自位似轴对称， 故答案为：①②； （2）解：如图， 1）分别在和上截取，， 2）连接，在上截取， 3）连接并延长交于P，则点即为所求；    （3）证明：延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．    【考点评析】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 题型5：在坐标系中求两个图形的相似比，周长比和面积比 【例5】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】 根据题意求出位似比，根据位似比计算即可． 【规范解答】 解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为，C点坐标为， ∴线段与线段的位似比为， ∵， ∴， 故选：C． 【考点评析】 本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键． 【变式1】（2022·江苏徐州·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△OBC与△OEF的面积比为 ． 【答案】4：9/ 【思路点拨】根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF， ∵AB：DE＝2：3，即相似比为2：3． ∴△OBC与△OEF的面积比为相似比的平方，即4：9， 故答案是：4：9． 【考点评析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式2】（18-19九年级下·吉林·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于两点，与反比例函数交于点点的坐标为轴于点． （1）点的坐标为 ； （2）若点为的中点，求反比例函数的解析式； （3）在（2）条件下，以为边向右作正方形交于点直接写出的周长与的周长的比． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】（1）将点A代入一次函数，从而得出一次函数的解析式，然后再求B点的坐标； （2）根据题意，OB是△ACD的中位线，利用中位线的性质可得点C的坐标，代入反比例函数可得解析式； （3）先证△CFG∽△AOB，在根据点的坐标，可求得CD、AO的长，根据相似三角形线段比即为周长比解得． 【规范解答】（1）∵一次函数过点A，代入得： 解得：b=1 ∴一次函数为： 令x=0，则y=1 ∴B(0，1) （2） . 点在上 反比函数解析式为. （3） ∴CD=2，AO=3 ∵四边形CFED是正方形，∴CF=CD=2，CF∥AO，∠F=90° ∴∠FCG=∠BAO ∵∠BOA=∠F=90° ∴△CFG∽△AOB ∴的周长与的周长的比为： 【考点评析】本题考查正方形的性质、求一次函数和反比例函数的解析式、相似的应用，解题关键是利用函数解析式，得出各个点的坐标，从而得出线段长度，进而开展推导过程． 基础夯实训练 1．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 2．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，（　　）    A．7 B． C．8 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可． 【规范解答】∵ ∴ ， 即： ， ∴ ， 故选：D． 3．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【规范解答】解：由题意可设， ∴； 故选D． 4．（2024·江苏淮安·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（   ）    A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到和的相似比是解题的关键． 根据位似的性质得到，相似比为,再根据相似三角形的性质得和的面积之比即为相似比的平方． 【规范解答】解：和是以点为位似中心的位似图形，， ， ， 故选：C． 5．（2007·江苏泰州·中考真题）已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小,则点的对应点的坐标为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【规范解答】根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以或-，所以点E′的坐标为（-2，1）或（2，-1）． 故选A． 6．（15-16九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，相似比为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】， 【思路点拨】根据正方形的性质和位似的性质计算即可； 【规范解答】解：正方形与正方形是位似图形，为位似中心，相似比为， ， 点的坐标为， 即， ， 四边形是正方形， ． 点的坐标为：，． 故答案为：，． 【考点评析】本题主要考查了位似图形的性质和正方形的性质，准确计算是解题的关键． 7．（2020·江苏常州·二模）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【思路点拨】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案． 【规范解答】解：小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为， ∴阴影部分面积占总面积的比值为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了位似图形性质和几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 8．（2024·四川成都·一模）如图，，则的长为 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：18． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【规范解答】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 10．（2024·江苏徐州·二模）如图，中，对角线交于点E，反比例函数经过A、E两点，的面积为12，则k的值是 ． 【答案】4 【思路点拨】分别过点、作、垂直于轴于、，先求出，再由平行四边形面积公式求出即可． 【规范解答】解：过作轴于，过作轴于， 设，， 则，，，，，， 、在双曲线上， 三角形与三角形的面积相等， 四边形是平行四边形， ， ， ∴ ， ，即， ， ， ， 平行四边形的面积， ，，即； 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质，平行线分线段成比例等知识点的理解和掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算． 11．（2024·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题． 【规范解答】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 12．（2024·山东聊城·二模）如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）如图：连接，根据圆周角定理、切线的性质以及平行线的性质可得，进而说明，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，即；再根据平行线等分线段定理可得，设，，根据线段的和差列方程求得k，进而求得，再运用勾股定理可得，最后证明四边形为平行四边形并根据其性质即可解答． 【规范解答】（1）证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴． ∵，，， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【考点评析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线分线段定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质以及平行线等分线段定理是解答本题的关键． 13．（2024·江苏连云港·二模）在中，，， 点D在边上， 过点D作， 交边于点 E， 点Q在线段上， 且． 连接， 并延长交边于点 P． (1)如图1，若，求的长； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，连接，若和互补，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）证明，得到，即可得到答案； （2）过点D作，交于点H，根据平行线成比例定理得到，．设，则，由得到，列方程解方程求出答案即可； （3）证明得到，证明四边形是等腰梯形，再证，得到，进一步得到，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）过点D作，交于点H，如图1， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∵． ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 经检验，是方程的解且符合题意， ∴ （3）∵和互补， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵． ∴ ∴ 14．（20-21九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△A'B'C'以点O为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点． （1）在图中画出点O（要保留画图痕迹），并直接写出：△ABC与△A'B'C'的位似比是　 　． （2）请在此网格中，以点C为位似中心，再画一个△A1B1C，使它与△ABC的位似比等于2：1． 【答案】（1）详见解析，1∶2；（2）详见解析 【思路点拨】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似比得出对应点位置进而得出答案． 【规范解答】解：（1）如图所示：点O即为所求，△ABC与△A'B'C'的位似比是：1；2； 故答案为：1：2； （2）如图所示：△A1B1C即为所求． 【考点评析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 15．（20-21九年级上·四川达州·阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 【答案】（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）． 【思路点拨】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论； （2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论； （3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得． 【规范解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB， ∴CF=BD， 故答案为：CF=BD，CF⊥BD； （2）BD=CF成立． 理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ， 由（1）得AC=AB，AF=AD， 在△ABD和△ACF中， ∵ ∴△ABD≌△ACF， ∴BD=CF； （3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M． ∵四边形ADEF是正方形， ∴∠MDA=45°， ∵∠MAD=45° ∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°， ∴AM=DM， ∵AD=， 在△MAD中，AM2+DM2=AD2， ∴AM=DM=3， ∴MB=AM-AB=3-2=1， 在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2， ∴ 在Rt△ADF中，AD=， ∴， 由（2）得，△ABD≌△ACF， ∴∠HFN=∠ADN， ∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90° ∴∠HFN+∠HNF=90° ∴∠NHF=90°， ∴∠DHF=∠DMB=90°， ∵∠BDM=∠FDH， ∴△BDM∽△FDH， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 能力拔高训练 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了黄金三角形，规律型等知识； 由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【规范解答】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 17．（2023·江苏扬州·一模）如图，中，，，点D是的中点，点E在线段上，，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【思路点拨】由题可求出，取中点，连接，则是的中位线，满足，进而可求此时，然后在上取一点，使得，则是等腰三角形，再利用同角的三角函数相等，设，即可解答． 【规范解答】解：∵为中点，， ∴， 取中点，连接，则是的中位线，此时，， ∴， 在上取一点，使得，则是等腰三角形， 过点作，则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ 设，则，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【考点评析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质以及解直角三角形，根据进行分情况求解是解题的关键． 18．（2018·江苏无锡·一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（  ） A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2 【答案】A 【思路点拨】设AA′=x，先证△AA'E∽△ADC，利用相似的性质用含x代数式表示出A′E，再根据阴影部分为平行四边形利用面积建立二次函数解析式，通过最值即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示， 设AA′=x，则DA′=2-x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=3，AD=BC=2， ∵EA′∥CD， ∴△AA'E∽△ADC， ∴， 即， ∴A′E=x， ∵EA′∥CD，CA′∥CA， ∴阴影部分为平行四边形， ∴阴影部分的面积： S=EA′·DA′=， 即当，阴影部分的面积最大为， ∴当平移的距离AA′=1时，两个三角形重叠部分的面积最大. 故选A． 【考点评析】本题考查了矩形的性质、平移的性质、相似的判定及性质、二次函数的最值.根据相似的性质得出比例线段，并利用面积建立二次函数是解题的关键. 19．（16-17九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（ ）    A．（2，1） B．（，） C．（2，﹣1） D．（2，﹣） 【答案】C 【规范解答】试题分析：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣， 所以点E′的坐标为（2，﹣1）． 故选C． 考点：位似变换；坐标与图形性质． 20．（2018·山东菏泽·中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是 ．    【答案】（2，2） 【规范解答】分析：首先解直角三角形得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形与是以点为位似中心的位似图形，相似比是k，上一点的坐标是 则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出即可． 详解：与是以点为位似中心的位似图形，， ，若点的坐标是， 过点作交于点E. 点的坐标为： 与的相似比为， 点的坐标为：即点的坐标为： 故答案为    点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键. 21．（2024·江苏南通·一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】作 轴于, 轴于, 则, 得到 ，利用反比例函数系数k的几何意义得到设A点坐标为 即可得到点坐标为利用,得到 ，于是可计算出 的值． 【规范解答】连接, 作轴于, 轴于,则 设点坐标为， ∵， ， ， ， ∴点坐标为 ， ， ， ， 即， ， 解得， 故答案为:． 【考点评析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由得到关于的方程是解题的关键． 22．（20-21七年级下·重庆·期中）如图，在中，为边上的一点，且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若与的面积之和为，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】作交于．首先得到，推出，再利用三角形的中线，可得S△BDE＋S△AEF＝S△ABE＋S△AEF＝S△ABF，即可解决问题． 【规范解答】解：作交于． ，，为的中点， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 解得：． 故答案为：21． 【考点评析】本题考查三角形的面积、平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 23．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ． 【答案】/0.75 【思路点拨】本题考查了平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，比例的性质，分别利用平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质及三角形的面积得出，，再根据得，即可得，进而得到，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵与是等高三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与高相同， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（20-21九年级上·天津滨海新·期末）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若BE=4，DE=8，求CD的长． 【答案】(1)证明见解析；（2）12． 【思路点拨】(1)根据圆周角的定义可得，再根据平行线的性质可知，再根据垂直平分线的性质得，从而可得，进而运用全等三角形的性质进行证明即可； (2)设⊙O半径为r，在中，利用勾股定理得，解得，再根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，连接OD， AB为⊙O的直径， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， AC为⊙O的切线， ， ， CD为⊙O的切线； （2）⊙O半径为r， 则在中，， 解得， ， ， 即， 解得． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理,勾股定理及切线的判定和性质，解题的关键是结合图形得到三角形的全等关系，与此同时需要利用平行线的性质． 25．（2022·江苏扬州·一模）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S． (1)当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝_____； (2)在点P、Q的运动过程中， ①若S＝，求AP的长； ②求S的最大值． 【答案】(1)4.5 (2)①3或5；②6 【思路点拨】（1）由题意易得AP∶AB=1∶4，△ABQ的面积为24，则有△APQ的面积为6，然后通过平行线所截线段成比例可得AE∶AQ=1∶4，进而问题可求解； （2）①设，则有，由（1）可得，，然后可得，进而问题可求解；②由①可知，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝8，BC＝6， ∴， ∵AP＝2， ∴AP∶AB=1∶4， ∴， ∵PE∥BQ， ∴， ∴， ∴； 故答案为4.5； （2）解：①设，则有，由（1）可得，， ∴， ∵S＝， ∴， 解得：， 当时，则；当时，则； 综上所述：当S＝时，或3； ②由①可知：， ∴， ∵-24＜0， ∴当时，S有最大值，最大值为6． 【考点评析】本题主要考查平行线所截线段成比例、面积问题及二次函数的性质，熟练掌握平行线所截线段成比例、面积问题及二次函数的性质是解题的关键． 26．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定与性质画出，使； （2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出； （3）取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，取格点P，Q，连接，交于点F，则点F即为所求作的点． ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（2022·江苏盐城·一模）如图，在边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，O为平面直角坐标系的坐标原点，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2）、B（0，1）、C（2，0）． (1)以O为位似中心，相似比为2：1，将△ABC放大为△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1（其中A1在第三象限内）； (2)在（1）中，点A的对应点A1的坐标为 　 　；点B的对应点B1的坐标为 　 　；点C的对应点C1的坐标为 　 　． 【答案】(1)作图见解析 (2)（﹣2，﹣4）；（0，﹣2）；（﹣4，0） 【思路点拨】（1）根据位似变换的性质：“在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k”，把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可． （2）由（1）即可得到点、、的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，△A1B1C1为所作； （2）由（1）可知： A1（﹣2，﹣4）；B1（0，﹣2）；C1（﹣4，0）． 故答案为：（﹣2，﹣4）；（0，﹣2）；（﹣4，0）． 【考点评析】本题主要考查了作图﹣位似变换的知识，解题关键是熟练掌握图形位似变换的性质． 28．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【规范解答】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【考点评析】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第20讲 图形的相似与位似 （思维导图+8个考点讲练+5种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 比例线段的概念与性质 3 重点考点二 相似图形的概念与性质 5 重点考点三 位似图形 6 第一部分：常考考点讲练 7 考点1：比例的性质 7 考点2：比例线段 7 考点3：黄金分割 8 考点4：平行线分线段成比例 8 考点5：相似图形 9 考点6：作图-相似变换 9 考点7：位似变换 11 考点8：作图-位似变换 12 第二部分：解题方法突破题型洞悉 13 题型1：黄金分割 13 题型2：由平行截线求相关线段的长或比值 16 题型3：求两个位似图形的相似比 17 题型4：画已知图形放大或缩小后n倍后的图形 18 题型5：在坐标系中求两个图形的相似比，周长比和面积比 21 分层训练 巩固提升 22 基础夯实训练 22 能力拔高训练 27 考点要求 新课标要求 命题预测 比例线段的概念与性质 · 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段； · 通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 在中考中，该模块内容常出现在选择题、填空题，较为简单.本节内容是下一节相似三角形的基础，需要学生在复习时加以重视. 相似图形的概念与性质 · 通过具体实例认识图形的相似. · 了解相似多边形和相似比. 位似图形 · 了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 重点考点一 比例线段的概念与性质 线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比． 比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项， 【补充】当比的内项相等时，即或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项. 【解题思路】 1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可； 2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成（即：），而不能写成. 比例的性质： 1）基本性质： 2）变形： 核心内容： 3）合、分比性质： 【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如： 4）等比性质：如果， 那么. 【补充】根据等比的性质可推出，如果，则. 5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 【注意】1） (叫做黄金分割值). 简记为： 2）一条线段的黄金分割点有两个. 【扩展】作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. ②连接AD，在DA上截取DE=DB. ③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 6）平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 可得等 ①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另外一个单位也可以. 重点考点二 相似图形的概念与性质 相似多边形的的概念： 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 相似多边形的性质： 1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重点考点三 位似图形 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 1. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形. 2. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上. 第一部分：常考考点讲练 考点1：比例的性质 【例1】（2023•工业园区校级二模）若，则　　． 【变式1】（2020•宝应县三模）若，则　　． 【变式2】（2024•广陵区一模）已知，则的值为 　　． 考点2：比例线段 【例2】（2019•无锡一模）已知，，为的三边，且，则的值为　　 A．1 B．或 C． D．1或 【变式1】（2022•射阳县校级一模）在比例尺为的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为 　　． 【变式2】（2024•常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度． 考点3：黄金分割 【例3】（2024•泗阳县一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得，记，，，，，则的值为　　 A．1 B． C． D．10 【变式1】（2023•梁溪区校级模拟）如图，已知点在反比例函数位于第二象限的图象上，点在轴的负半轴上，连接交该图象于点，若恰好是以为斜边的等腰直角三角形，给出以下结论：①的度数随着的值的变化而变化；②的面积随着的值的变化而变化；③；④的面积为．其中，正确的有　　 A．① B．①② C．②③ D．②④ 考点4：平行线分线段成比例 【例4】（2024•沭阳县模拟）如图，在△中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为　　 A．2 B．2.5 C．3 D．4 【变式1】（2024•连云港二模）如图，，若，，则　　． 【变式2】（2023•宜兴市校级模拟）如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，若，，则的周长为 　　． 考点5：相似图形 【例5】（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【变式1】（2020•邗江区一模）下列图形中一定是相似形的是　　 A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形 【变式2】（2021•锡山区一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形中，，，点、点分别是边，边上的中点．如果是凸四边形的相似对角线，那么的长等于　　． 考点6：作图-相似变换 【例6】（2021•玄武区一模）如图，在中，是边上一点，在边上求作一点，使得． 甲的作法：过点作，交于点，则点即为所求． 乙的作法：经过点，，作，交于点，则点即为所求． 对于甲、乙的作法，下列判断正确的是　　 A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确 【变式1】（2024•高港区三模）如图，是的外接圆． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段上找一点，使得（注每个工具只限用一次）； （2）若，，求的长． 【变式2】．（2023•沭阳县二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，、、三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，． （1）若，请在网格图中画一个格点，使，且相似比为； （2）的正弦值是 　　． 考点7：位似变换 【例7】（2024•宝应县三模）如图，在平面直角坐标系中， 与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若点坐标为，点的坐标为，且，则点的坐标为 　　． 【变式2】（2020•如皋市一模）如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，的面积．求的长． 考点8：作图-位似变换 【例8】（2024•天宁区校级模拟）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） （1）在图1中，以为边，画出，使，为格点； （2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点； （3）在图3中，在边上找一个点，且满足． 【变式1】．（2024•沭阳县校级模拟）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的△，点的坐标是　　； （2）以点为位似中心，在网格内画出△，使△与位似，且位似比为； （3）四边形的面积是　　平方单位． 【变式2】2024•睢宁县校级模拟）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． （1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． （2）在图2中画，使得它与的面积相等，且，在格点上． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：黄金分割 【例1】（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 【变式1】（2024·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ． 【变式2】（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题 如图1，点是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示以为长、为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题： （1）若，则 （结果保留根号）； （2）　　（填“”、“ ”或“” ． 【初步探究】 （3）将图1补成矩形，如图2，小明猜想点在矩形的对角线上，请帮助小明判断其猜想是否正确，并说明理由． 【深入探究】 （4）如图3，已知线段为的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段上作一点，在圆上作一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型2：由平行截线求相关线段的长或比值 【例2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【变式1】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在中，，，点为边上一点，连结，过点作交的延长线于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长到点使，分别连结，，交于点．试探索与的关系； (3)如图3，若，点是直线上的一个动点，连结，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数． 【变式2】（2024·山东聊城·二模）如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型3：求两个位似图形的相似比 【例3】（2024·湖南长沙·三模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【变式1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，与关于点位似，其中，，若，则 ． 【变式2】（2021·贵州黔西·中考真题）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ． 题型4：画已知图形放大或缩小后n倍后的图形 【例4】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在方格纸中. (1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出B点坐标； (2)以原点为位O似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形； (3)计算的面积． 【变式1】（2023·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【变式2】（2022·江苏南京·中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．    (1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）； (2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：． 题型5：在坐标系中求两个图形的相似比，周长比和面积比 【例5】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式1】（2022·江苏徐州·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知，则△OBC与△OEF的面积比为 ． 【变式2】（18-19九年级下·吉林·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别交于两点，与反比例函数交于点点的坐标为轴于点． （1）点的坐标为 ； （2）若点为的中点，求反比例函数的解析式； （3）在（2）条件下，以为边向右作正方形交于点直接写出的周长与的周长的比． 基础夯实训练 1．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 2．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，，，，（　　）    A．7 B． C．8 D． 3．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）已知，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 4．（2024·江苏淮安·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（   ）    A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9 5．（2007·江苏泰州·中考真题）已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小,则点的对应点的坐标为（ ） A．或 B．或 C． D． 6．（15-16九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，相似比为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 7．（2020·江苏常州·二模）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 ．    8．（2024·四川成都·一模）如图，，则的长为 ． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 10．（2024·江苏徐州·二模）如图，中，对角线交于点E，反比例函数经过A、E两点，的面积为12，则k的值是 ． 11．（2024·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 12．（2024·山东聊城·二模）如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2024·江苏连云港·二模）在中，，， 点D在边上， 过点D作， 交边于点 E， 点Q在线段上， 且． 连接， 并延长交边于点 P． (1)如图1，若，求的长； (2)如图1，若，求的长； (3)如图2，连接，若和互补，求证： 14．（20-21九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△A'B'C'以点O为位似中心，且它们的顶点都为网格线的交点． （1）在图中画出点O（要保留画图痕迹），并直接写出：△ABC与△A'B'C'的位似比是　 　． （2）请在此网格中，以点C为位似中心，再画一个△A1B1C，使它与△ABC的位似比等于2：1． 15．（20-21九年级上·四川达州·阶段练习）（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________； （2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长． 能力拔高训练 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·江苏扬州·一模）如图，中，，，点D是的中点，点E在线段上，，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D．或 18．（2018·江苏无锡·一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（  ） A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2 19．（16-17九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（ ）    A．（2，1） B．（，） C．（2，﹣1） D．（2，﹣） 20．（2018·山东菏泽·中考真题）如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，，若点的坐标是，则点的坐标是 ．    21．（2024·江苏南通·一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 22．（20-21七年级下·重庆·期中）如图，在中，为边上的一点，且，连接，为的中点，连接并延长交于点，若与的面积之和为，则的面积为 ． 23．（2024·江苏苏州·二模）如图，在中，是边上一点，过点作交于点，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点，设的面积为，的面积为，的面积为，若，则 ． 24．（20-21九年级上·天津滨海新·期末）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB、CD交于点E． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若BE=4，DE=8，求CD的长． 25．（2022·江苏扬州·一模）如图，已知点P、Q分别是矩形ABCD中AB、CD边上的动点（不与点A、B、C、D重合），PE∥BQ交AQ于点E，连接PQ．AB＝8，BC＝6，设△PEQ的面积为S． (1)当点P运动到AP＝2时，无论点Q运动到CD边的何处，S＝_____； (2)在点P、Q的运动过程中， ①若S＝，求AP的长； ②求S的最大值． 26．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹） (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点． (2)在图2中，以点O为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． (3)在图3中，在边上找一个点F，且满足． 27．（2022·江苏盐城·一模）如图，在边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，O为平面直角坐标系的坐标原点，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2）、B（0，1）、C（2，0）． (1)以O为位似中心，相似比为2：1，将△ABC放大为△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1（其中A1在第三象限内）； (2)在（1）中，点A的对应点A1的坐标为 　 　；点B的对应点B1的坐标为 　 　；点C的对应点C1的坐标为 　 　． 28．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$