1.3直角三角形全等的判定（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

1.3直角三角形的判定 题型一 用HL证明三角形全等以及依据和条件 1．如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程； ①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（    ） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 4．判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”是指 ． 5．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是 ． 6．如图，已知，求证：． 7．已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 题型二 用HL证三角形全等求角度 1．如图所示，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，垂足分别是，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 5．如图，在与中，，，，，则 ． 6．如图，在△ABC中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 7．如图，点C、D、E、F在同一条直线上，，，，与相交于点O．   (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三 用HL证三角形全等求线段 1．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连结，若，则等于 2．如图，在中，，，在上取一点E，使，过点E作，连接，使，若，求的长． 3．如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝ cm时，能使△ADE和△ABC全等． 题型四 HL与全等的性质综合 1．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（    ） A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD 2．在△ABC和中，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 4．如图，在△ABC中，，于点D，．如果，那么（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，∠B=90°，点在边上，，于点，．若，，△ABC的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 6． 如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 7．如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 8．如图，在△ABC中，于点，与相交于点．若，，则 ． 9．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．如图，，，，垂足分别为，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 11．如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 1．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，已知于点，于点，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并予以说明． 3．如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 4．如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 5．图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 6．【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在△ABC和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在△ABC和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在△ABC和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3直角三角形的判定 题型一 用HL证明三角形全等以及依据和条件 1．如图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；根据可证明，据此解答即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 2．如图，在△ABC和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴要根据“”证明，还应添加一个条件是， 故选：D． 3．如图，在四边形中，，垂足分别是、．求证：．以下是排乱的证明过程； ①；②；③；④在和中证明步骤正确的顺序是（    ） A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据垂直定义得出，再根据判定三角形全等即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故顺序为③①④②， 故选：B． 4．判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”是指 ． 【答案】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】斜边直角边公理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，根据判定公理直接可得答案. 【详解】解：判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”是指斜边直角边公理， 即斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故答案为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，掌握斜边直角边公理是解题的关键. 5．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是 ． 【答案】AD=CB（答案不唯一） 【分析】根据垂直定义得出∠ABD=∠CDB=90°，根据图形可知BD是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：需要添加的条件是AD=CB． 理由是：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°． 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故答案为：AD=CB． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 6．如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴． 7．已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键． 【详解】证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴． 题型二 用HL证三角形全等求角度 1．如图所示，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已有条件证明，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握用“”判定是解题的关键． 2．如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，，，垂足分别是，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可以利用，判定，全等后可得，再根据直角三角形两个锐角互余，可求得，进而可求得． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，, ∴， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判断定理，HL定理，根据已知条件求证是解题关键． 4．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 5．如图，在与中，，，，，则 ． 【答案】40° 【分析】根据HL，可以证明，则，再根据余角的性质即可求出的度数． 【详解】解：在中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：40° 【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质． 6．如图，在△ABC中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得 【详解】（1）证明：∵，为延长线上一点， ∴ 在和中， ， ∴()． （2）∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 7．如图，点C、D、E、F在同一条直线上，，，，与相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证出，再证明，即可得出结论； （2）先由直角三角形的性质得，再由全等三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型三 用HL证三角形全等求线段 1．如图，在中，，D是上一点，于点E，，连结，若，则等于 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，在上取一点E，使，过点E作，连接，使，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝ cm时，能使△ADE和△ABC全等． 【答案】8或4/4或8 【分析】根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度． 【详解】∵AC⊥BC，AP⊥AC， ∴∠ACB＝∠EAD＝90°， ∵DE＝AB， ∴当AD＝AC＝8cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB； 当AD＝BC＝4cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CBA； 综上所述，当AD＝8cm或4cm时，△ADE和△ABC全等． 故答案为：8或4． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要注意这里有两种情况． 题型四 HL与全等的性质综合 1．如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（    ） A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD 【答案】B 【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可． 【详解】解：如图，连接AE， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE=∠C=90°， 在Rt△ACE和Rt△ADE中， ∵AE=AE，AC=AD， ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴DE=CE． 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．在△ABC和中，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质；过A作于点G，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：过A作于点G，过作于点， ∵， ∴， 当在点G的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，， ∴， ∴； 当在点G的两侧，在点的同侧时，如图， 同理， ∴， ∴， 综上，的值为或． 故选：C． 3．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断，又，，所以，所以． 【详解】解：， ， 由，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明． 4．如图，在△ABC中，，于点D，．如果，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过HL判定定理可证Rt∆BDE≅Rt∆BCE，得到ED=EC，即可求解． 【详解】在和中，，，∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意:直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS， SSS，HL，全等三角形的对应边相等. 5．如图，在中，∠B=90°，点在边上，，于点，．若，，△ABC的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，∠B=90°， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 6．如图，中，，点D在上，于点．若，，则 ． 【答案】25 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，，求得，再根据“HL”证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， 故答案为： 7．如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．连接，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在△ABC中，于点，与相交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，先由勾股定理得，再证明（）得，从而即可得解。 【详解】解：∵，，， ∴，， 在和中， ∴（） ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）由题意得，推出，由（1）可知，，据此即可求解； 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 10．如图，，，，垂足分别为，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题意，运用“斜边直角边”即可求解； （2）根据题意，运用三角形的外角和性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 1．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴△ABC和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，已知于点，于点，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并予以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． （1）先说明，再运用即可证得结论； （2）根据证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， 在和， ， ∴． （2）证明：， ， ， 在与中， ，     ， ， ． 3．如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，有一直角三角形，，，，线段，、两点分别在上和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到上什么位置时才能和全等？ 【答案】当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质等知识，根据题意分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置；②，此时，、重合．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：根据三角形全等的判定方法可知： ①当运动到时， ， 在与中， ，即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， ，即， 当点与点重合时，才能和全等， 综上所述，当点位于的中点处或当点与点重合时，才能和全等． 5．图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)是等边三角形 【分析】（1）由，，，，即可证明， （2）由，即可证明， （3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形． 本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 6．【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在△ABC和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可； （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可．； （3）通过边边角画出反例即可． 【详解】（1）解：∵， 在和中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）解：如图，在和，， △ABC和不全等； ．   【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$