第18讲 等腰三角形（讲练）（思维导图+7个考点讲练+3种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 （思维导图+7个考点讲练+3种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 重视导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 等腰三角形的性质与判定 3 重点考点二 等边三角形的性质与判定 4 重点考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理 5 第一部分：常考考点讲练 5 考点1：等腰三角形的性质 5 考点2：等腰三角形的判定 6 考点3：等腰三角形的判定与性质 7 考点4：等边三角形的性质 8 考点5：等边三角形的判定 9 考点6：等边三角形的判定与性质 10 考点7：直角三角形的性质 11 第二部分：解题方法突破题型洞悉 12 题型1：根据三线合一证明 12 题型2：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 13 题型3：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 15 分层训练 巩固提升 17 基础夯实训练 17 能力拔高训练 20 考点要求 新课标要求 命题预测 等腰三角形的性质与判定 · 理解等腰三角形的概念. · 探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合. · 探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 等边三角形的性质与判定 · 探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°. · 探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形. 线段垂直平分线的性质与判定定理 · 理解线段垂直平分线的概念， · 探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 重点考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据 重点考点二 等边三角形的性质与判定 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 重点考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 1. 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 2.对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 第一部分：常考考点讲练 考点1：等腰三角形的性质 【例1】（2024•邗江区校级三模）如图，已知在中，，，与中线相交于点，，，的长为　　 A．16 B．14 C．18 D．20 【变式1】（2023•海门市一模）如图，直线，．若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•盱眙县模拟）盱眙都梁阁设计理念先进，建筑造型美观，鲜明的秉承了明清南派建筑风格．自下而上108级台阶，与杨大山108米海拔相呼应，楼高46.9米，寓意事事如意、六六大顺，长长久久，如图，“都梁阁”的顶端可看作等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是　　 A． B． C． D． 考点2：等腰三角形的判定 【例2】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且△是等腰三角形，那么点的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2022•秦淮区一模）如图，，是的边上的两个点，，，．若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 　　． 【变式2】（2018•鼓楼区一模）如图，中，，垂足为．小莉说：当时，是等腰三角形，她的说法正确吗？如正确，请证明；如不正确，请举反例说明． 考点3：等腰三角形的判定与性质 【例3】（2023•鼓楼区二模）如图，在中，是上一点，，过点作弦交于，若，则与满足的数量关系是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•高邮市三模）如图，在中，，， ，是的角平分线，是斜边 的中点，过点作于，交于 点，连接，则线段　　 【变式2】（2023•崇川区校级三模）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期四数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：，． 是的平分线，． ．．（依据）是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是 　 　． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 考点4：等边三角形的性质 【例4】（2024•梁溪区校级一模）在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•海州区校级一模）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则　　． 【变式2】（2024•姜堰区二模）如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上． （1）若 　　，　　，求证：．（请从信息“①，②为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明． （2）过点作于点，在（1）的条件下，当，求的长． 考点5：等边三角形的判定 【例5】（2019秋•淮安区期中）已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则，，三点所构成的三角形是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式1】（2019•惠山区一模）如图，把边长为的等边剪成四部分，从三角形三个顶点往下处，呈角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边．若的面积是的，则的值为　　． 考点6：等边三角形的判定与性质 【例6】（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点在轴上，，分别是边，上的点，且，，若，则点的坐标是 　　． 【变式1】（2020•吴江区三模）如图，六边形的六个内角都等于，若，，则这个六边形的周长等于　　． 【变式2】（2020•崇川区校级三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长度． 考点7：直角三角形的性质 【例7】（2024•姜堰区一模）在中，，，为边上的一点，若线段上存在一点到点的距离等于，则的取值范围为 　　 ． 【变式1】（2023•邗江区二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 　　 ． 【变式2】（2018•无锡）如图，在中，，，，，点是边上一点，连接，将沿翻折得到． （1）若，，且，求的长； （2）连接，若四边形是平行四边形，求与之间的关系式． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：根据三线合一证明 【例1】在中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【变式1】（2023·江苏淮安·二模）如图，在外取一点，作直线分别交于两点，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，完成下列任务： (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图，继续作点关于直线的对称点，连接，交于点，连接． ①若，则 ； ②若的半径为，，求的长． 【变式2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型2：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【例2】（2023·江苏常州·一模）如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．    (1)当点Q落在对角线上时， __________； (2)当直线经过点C时，求所在的直线函数表达式； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为__________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式1】（2020·四川泸州·中考真题）如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若． ①求直线的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式2】（2019·江苏无锡·二模）已知，如图，在边长为10的菱形中，，点为边上的中点，点为边边上一点，连接，作点关于的对称点． （1）在图中，用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留痕迹）； （2）当为等腰三角形时，求折痕的长度． 题型3：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例3】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点． (1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率； (2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【变式1】（2021·江苏扬州·一模）数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量有时也有它的意义． （1）已知代数式，其中、是常数，且代数式的值与字母的取值无关，求、的值； （2）在平面直角坐标系内，为坐标原点，直线交轴于点，且不论取任何非零实数，该直线始终经过一个定点，连接． ①直接写出点坐标_________； ②若是以为腰的等腰三角形，求此时点坐标． 【变式2】如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E． （1）请直接写出点D的坐标：　 　； （2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 基础夯实训练 1．（2018·浙江衢州·一模）如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2016·广西贺州·中考真题）等腰三角形的两边长分别为4，8，则其周长为：（   ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 3．（2023·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 4．（2015·河北邯郸·一模）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 7．（2017·贵州黔西·中考真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 8．（2015·河北·一模）如图，在矩形中，，与边，相切，现有一条过点B的直线与相切于点E，连接，恰为等边三角形，则的半径为 ． 9．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 10．（2019·山东·二模）综合探究 在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设． (1)当时，如图1，请求出k值，并给予证明； (2)当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值． 能力拔高训练 11．（19-20八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（    ） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 14．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 16．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 17．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为 ． 18．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 19．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，D是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． (1)【尝试初探】 如图1，当点D在线段上运动时，，相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． (2)【深入探究】 如图2，当点D在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值． (3)【拓展延伸】 如图3，当点D在的延长线上运动时，，相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则面积的最大值为_____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第18讲 等腰三角形 （思维导图+7个考点讲练+3种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 重视导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 等腰三角形的性质与判定 3 重点考点二 等边三角形的性质与判定 4 重点考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理 5 第一部分：常考考点讲练 5 考点1：等腰三角形的性质 5 考点2：等腰三角形的判定 7 考点3：等腰三角形的判定与性质 9 考点4：等边三角形的性质 13 考点5：等边三角形的判定 15 考点6：等边三角形的判定与性质 17 考点7：直角三角形的性质 20 第二部分：解题方法突破题型洞悉 24 题型1：根据三线合一证明 24 题型2：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 29 题型3：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 38 分层训练 巩固提升 42 基础夯实训练 42 能力拔高训练 51 考点要求 新课标要求 命题预测 等腰三角形的性质与判定 · 理解等腰三角形的概念. · 探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合. · 探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 等边三角形的性质与判定 · 探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°. · 探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形. 线段垂直平分线的性质与判定定理 · 理解线段垂直平分线的概念， · 探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 重点考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据 重点考点二 等边三角形的性质与判定 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 重点考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 1. 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 2.对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 第一部分：常考考点讲练 考点1：等腰三角形的性质 【例1】（2024•邗江区校级三模）如图，已知在中，，，与中线相交于点，，，的长为　　 A．16 B．14 C．18 D．20 解：， 是等腰三角形， ， 是边上的中线，则， 是边上的中线， ，，且，， ， 在中，， ， 故选：． 【变式1】（2023•海门市一模）如图，直线，．若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】（2023•盱眙县模拟）盱眙都梁阁设计理念先进，建筑造型美观，鲜明的秉承了明清南派建筑风格．自下而上108级台阶，与杨大山108米海拔相呼应，楼高46.9米，寓意事事如意、六六大顺，长长久久，如图，“都梁阁”的顶端可看作等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是　　 A． B． C． D． 解：，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故选项不符合题意； 是等腰三角形，， 是的角平分线，故选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故选项符合题意； ， ， 是的角平分线，故选项不符合题意； 故选：． 考点2：等腰三角形的判定 【例2】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且△是等腰三角形，那么点的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：如图，点与、、重合时，均满足△是等腰三角形， 故选：． 【变式1】（2022•秦淮区一模）如图，，是的边上的两个点，，，．若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是 　或　． 解：①作线段的垂直平分线交于点，连接，，如图所示： 则，此时是等腰三角形， 过点作于点， 当，满足条件的点恰好只有一个， ，， 当时，， 当时，满足条件的点恰好只有一个， ②当是等边三角形时，满足条件的点恰好只有一个， 此时，， ， ， ， ， 综上，满足条件的的取值范围：或， 故答案为：或． 【变式2】（2018•鼓楼区一模）如图，中，，垂足为．小莉说：当时，是等腰三角形，她的说法正确吗？如正确，请证明；如不正确，请举反例说明． 解：正确，理由如下： 在与中，由勾股定理可得：，， ，即 ， ， 两式相加，，则为等腰三角形． 考点3：等腰三角形的判定与性质 【例3】（2023•鼓楼区二模）如图，在中，是上一点，，过点作弦交于，若，则与满足的数量关系是　　 A． B． C． D． 解：连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是△的一个外角， ， ， ， ， 故选：． 【变式1】（2024•高邮市三模）如图，在中，，， ，是的角平分线，是斜边 的中点，过点作于，交于 点，连接，则线段　1　 在中，，，， ， 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是斜边的中点， 是的中位线， ． 故答案为：1． 【变式2】（2023•崇川区校级三模）阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期四数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：，． 是的平分线，． ．．（依据）是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是 　等角对等边　． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 解：（1）． ． 依据是等角对等边； 故答案为：等角对等边； （2）第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，是的平分线． 求证：． 理由：是等腰三角形， ． 是的平分线， ． ． ． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，． 求证：是的平分线． 证明：， ． 是等腰三角形． ． ， 是的平分线． 考点4：等边三角形的性质 【例4】（2024•梁溪区校级一模）在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 解：如图，过点作轴于， 的坐标为，且点在第一象限， ， ，的半径为1， 与轴相切，设切点为， 当与重合时，的值最小， 是等边三角形， ， ， 的坐标为， 此时，． 故选：． 【变式1】（2024•海州区校级一模）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则　　． 解：在等边中，， 是边上的高， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2024•姜堰区二模）如图，在等边中，是边上的一点，点在边的延长线上． （1）若 　　，　　，求证：．（请从信息“①，②为的中点，③”中选择两个分别填入两条横线中，将题目补充完整，并完成证明． （2）过点作于点，在（1）的条件下，当，求的长． 解：（1）若，为的中点，求证：， 证明：是等边三角形， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，为的中点； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 考点5：等边三角形的判定 【例5】（2019秋•淮安区期中）已知，点在内部，与关于对称，与关于对称，则，，三点所构成的三角形是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解：根据轴对称的性质可知， ，， △是等边三角形． 故选：． 【变式1】（2019•惠山区一模）如图，把边长为的等边剪成四部分，从三角形三个顶点往下处，呈角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边．若的面积是的，则的值为　　． 解：延长交于，设与的交点为，与的交点为， ， ，， ， ，， ， 与是等边三角形， ， ， ， 的值为， 故答案为：． 考点6：等边三角形的判定与性质 【例6】（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点在轴上，，分别是边，上的点，且，，若，则点的坐标是 　，　． 解：， ， ， ，， ， ， 解得， 作于点， 是等边三角形， ，， ， 点的坐标为，， 故答案为：，． 【变式1】（2020•吴江区三模）如图，六边形的六个内角都等于，若，，则这个六边形的周长等于　17　． 解：分别作直线、、的延长线和反向延长线使它们交于点、、，如图所示： 六边形的六个角都是， 六边形的每一个外角的度数都是， △、△、△、△都是等边三角形， ，， ， ， ． 六边形的周长为； 故答案为：17． 【变式2】（2020•崇川区校级三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的长度． （1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形； （2）作于点， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 即的长度是． 考点7：直角三角形的性质 【例7】（2024•姜堰区一模）在中，，，为边上的一点，若线段上存在一点到点的距离等于，则的取值范围为 　　． 解：在中，，， ， ， 以点为圆心，为半径画圆，当经过点时，如图1所示： 此时，在线段上刚按好有两个点到点的距离为，则， 以点为圆心，为半径画圆，当与线段相切时，如图2所示： 此时在线段上刚好有一个点到点的距离为， 设与线段相切于点， ，， ， ， ， 线段上存在两个点到的距离等于时，的取值范围为：． 故答案为：． 【变式1】（2023•邗江区二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 　　． 解：作的外接圆，圆心为，连接，，，，过点作于，过点作于，如图： ，即， ， ，，， ，， 在中，， ， ， 在中，，，， ， ， 在中，， ， 又， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，在通一条直线上时，为最大，最大值为， 即的最大值为：． 故答案为：． 【变式2】（2018•无锡）如图，在中，，，，，点是边上一点，连接，将沿翻折得到． （1）若，，且，求的长； （2）连接，若四边形是平行四边形，求与之间的关系式． 解：（1）如图，作于． 由翻折的性质可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ． （2）如图2中，连接． 由翻折不变性可知：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 在中，则有， ， ．， ． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：根据三线合一证明 【例1】在中，D是的中点，且，与相交于点E，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.： （1）由，D是的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，易得，，即可证得； （2）首先过A作，垂足为G，易得，可求得的长，继而求得的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的面积． 【规范解答】（1）证明：∵D是的中点， ∵ ∴ ∴ （2）解：过A作，垂足为G，如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， 又， ∴ 【变式1】（2023·江苏淮安·二模）如图，在外取一点，作直线分别交于两点，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，完成下列任务： (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图，继续作点关于直线的对称点，连接，交于点，连接． ①若，则 ； ②若的半径为，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析； (2)①；②． 【思路点拨】（）连接，由题意得，，，可得，由等腰三角形的性质可得，即得与相切； （）①由切线的性质可得，即得，又由对称得，，得到，即得，，得到，由得到，又由可得，据此即可求解；②证明，得到，求出即可求解． 【规范解答】（1）解：连接，由题意得，，， ∵是直径， ∴，即点是得中点， 又∵，即是等腰三角形， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：①∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于的对称， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定和性质，轴对称的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【变式2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【规范解答】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 题型2：直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【例2】（2023·江苏常州·一模）如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．    (1)当点Q落在对角线上时， __________； (2)当直线经过点C时，求所在的直线函数表达式； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为__________； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【思路点拨】（1）通过点在上，证明，即可求得结果； （2）通过直角中，得到的长度，然后通过，可以在中，得到对应的值然后求出结果； （3）①通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度；②通过分类讨论，，，来求得对应的的坐标． 【规范解答】（1）解：如图1，由折叠性质可知：，   ， 又∵， ， 又， ， ，即， ， 故答案为：； （2）如图2，   ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， 点的坐标为， 将和代入中， ， 解得：， 所在直线的表达式为：； （3）如图3，    ①， 点的运动轨迹，是以为圆心，4为半径的圆弧， 的最小值在的连线上，如图，即为所求， 是中点，， ， ， 故答案为：； ②如图4，    设，， ， 当时， ， ， ， ，， 当时，如图5，点在上，    则， ，，， ， ， ， ， ， ， 当时，不符合题意， 故点坐标为，或． 【考点评析】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解． 【变式1】（2020·四川泸州·中考真题）如图，已知抛物线经过，，三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若． ①求直线的解析式； ②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，） 【思路点拨】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明△BDO∽△BEG，得到，根据比例关系求出k值即可； ②根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可. 【规范解答】解：（1）∵抛物线经过点，，，代入， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G， ∵B（4，0）， 设直线BD的表达式为：y=k（x-4）， 设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入， 得：，解得：， ∴直线AC的表达式为：y=2x+4， 联立：， 解得：， ∴E（，）， ∴G（，0）， ∴BG=， ∵EG⊥x轴， ∴△BDO∽△BEG， ∴, ∵， ∴， ∴， 解得：k=， ∴直线BD的表达式为：； ②由题意：设P（s，），1＜s＜4， ∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， ∴∠PQR=90°，PQ=RQ， 当点R在y轴右侧时，如图， 分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N， ∵∠PQR=90°， ∴∠PQM+∠RQN=90°， ∵∠MPQ+∠PQM=90°， ∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°， ∴△PMQ≌△QNR， ∴MQ=NR，PM=QN， ∵Q在抛物线对称轴l上，纵坐标为1， ∴Q（1，1）， ∴QN=PM=1，MQ=RN， 则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4， ∴P（2，4）； 当点R在y轴左侧时， 如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N， 同理：△PMQ≌△QNR， ∴NR=QM，NQ=PM， 设R（t，）， ∴RN==QM， NQ=1-t=PM， ∴P（，2-t），代入抛物线， 解得：t=或（舍）， ∴点P的坐标为（，）， 综上：点P的坐标为（2，4）或（，）. 【考点评析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形. 【变式2】（2019·江苏无锡·二模）已知，如图，在边长为10的菱形中，，点为边上的中点，点为边边上一点，连接，作点关于的对称点． （1）在图中，用无刻度的直尺和圆规作出点（不写作法，保留痕迹）； （2）当为等腰三角形时，求折痕的长度． 【答案】（1）见解析；（2）， 【思路点拨】（1）分别以E、F为圆心BE、FB为半径弧两弧的交点即为B′； （2）分三种情形分别求解即可； 【规范解答】解：（1）点B′的位置如图所示． （2）①当时， ， ②图1中，当时，即，作于 在中， ∴， ∴ ③图2中，当时，即，作，则 在中，， ∴ 综上：，，. 【考点评析】本题考查作图—轴对称变换、线段的垂直平分线的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型3：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例3】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点． (1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率； (2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键． 根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案; (2)利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率. 点评 【规范解答】（1） 根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形， 故P（所画三角形是等腰三角形）； （2）用“树状图”列出所有可能的结果： 当选取的两个顶点为点A、E或点D、F时，所画的四边形是平行四边形， 所画的四边形是平行四边形的概率． 【变式1】（2021·江苏扬州·一模）数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量有时也有它的意义． （1）已知代数式，其中、是常数，且代数式的值与字母的取值无关，求、的值； （2）在平面直角坐标系内，为坐标原点，直线交轴于点，且不论取任何非零实数，该直线始终经过一个定点，连接． ①直接写出点坐标_________； ②若是以为腰的等腰三角形，求此时点坐标． 【答案】（1），；（2）①（2，1），②点坐标是（0，），或（0，），或（0，）． 【思路点拨】（1）将化简得 ，根据、是常数，且代数式的值与字母的取值无关，可得， ，据此求解即可； （2）①根据经过定点与k值无关，可得k的系数等于零，可得点的坐标； ②以为半径，点为圆心，作交轴于，两点，以为半径，点为圆心，作交轴于点，则，，是以为腰的等腰三角形，据此分别求出点坐标即可． 【规范解答】解：（1） ∵、是常数，且代数式的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，， （2）①∵， 且不论取任何非零实数，该直线始终经过一个定点， 则点坐标是（2，1）； ②如图示， 以为半径，点为圆心，作交轴于， 两点， 则，是以为腰的等腰三角形， ∵点坐标是（2，1） ∴， ∴， 则，是以为腰的等腰三角形， ∴点坐标是（0，），点坐标是（0， ）； 以为半径，点为圆心，作交轴于点， 则是以为腰的等腰三角形，且关于 对称， 则点坐标是（0，）， 综上所述，若是以为腰的等腰三角形，此时点坐标是（0，），或（0，），或（0，）； 【考点评析】本题考查了代数式的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键． 【变式2】如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E． （1）请直接写出点D的坐标：　 　； （2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值； （3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) （-3，4）；(2) P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在，或. 【思路点拨】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标． （2）PA=t，OE=m，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可． （3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积． 【规范解答】解：（1）将A点坐标代入二次函数的解析式 可得： 解得：b=1， 故二次函数的解析式为：, 可得B点坐标为：（1，0）， 故AB长度为：4， 根据正方形的性质可知，AD=AB=4， 故点D坐标为（-3，4）； （2）设PA=t，OE=m， 由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE， ∴． ∴． ∴当t=时，m有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为． （3）存在． ①点P在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）． 由△PAD∽△OEG得OE=PA=1．∴OP=OA+PA=4． ∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO=AD：OE=4：1． ∴． ∴重叠部分的面积=S△PAG． ②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0）， 仿①步骤，此时重叠部分的面积为． 基础夯实训练 1．（2018·浙江衢州·一模）如图，在射线上分别截取，连接，在上分别截取，连接…按此规律作下去，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律．根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【规范解答】解：，， ， 同理， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2016·广西贺州·中考真题）等腰三角形的两边长分别为4，8，则其周长为：（   ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 【答案】B 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键． 分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长． 【规范解答】解：分两种情况： 当4为腰长，8为底边长时， ∵，不符合三角形三边关系， ∴该三角形不存在； 当8为腰长，4为底边长时， ∵，符合三角形三边关系， ∴该三角形周长为：． 故选：B． 3．（2023·江苏宿迁·一模）如图，点A，B，C在上，，，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，根据等边对等角得到，然后求出，然后利用等边对等角求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（2015·河北邯郸·一模）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【规范解答】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：D． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 5．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ． 【答案】/24度 【思路点拨】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转性质和等腰三角形的性质是解答的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【规范解答】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 7．（2017·贵州黔西·中考真题）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【规范解答】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为； 故答案为： ． 8．（2015·河北·一模）如图，在矩形中，，与边，相切，现有一条过点B的直线与相切于点E，连接，恰为等边三角形，则的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】过O点作于G，交于H，连接、，根据，结合切线的性质得出，通过勾股定理求得，，设，则，，根据勾股定理列出，从而求得，即可求得的半径为． 【规范解答】解：过O点作于G，交于H，连接、， ∴G是切点，， ， 为等边三角形， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 设，则，， 在中，， 即 解得 的半径为． 故答案为． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【考点评析】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 10．（2019·山东·二模）综合探究 在和中，，，且，点E在的内部，连接，和，设． (1)当时，如图1，请求出k值，并给予证明； (2)当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当D，E，C三点共线，且E为中点时，请求出的值． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①k值发生变化，，理由见解析；②． 【思路点拨】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到和都是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作于F，设，则，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【规范解答】（1）解：， 理由如下：如图1，∵，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即； （2）解：①k值发生变化，， ∵，，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； ②作于F， 设，则， ∵点E为中点， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 则． 能力拔高训练 11．（19-20八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（    ） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 【答案】B 【思路点拨】根据方向角得出，则，根据，得出，在中，勾股定理即可求解． 【规范解答】解：由题意知：， ， ， ， ∵ ∴， ∴米， 在中，米， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理，三角形外角的性质，方位角的计算，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键. 由 可证可得故①正确.由等腰三角形的性质可得 故②正确，由全等三角形的性质可得则可得故③正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求故④正确，即可求解. 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确. ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 故②正确， ， ， 故③正确； ∵平分 ∴点到的距离等于点到的距离，设为h， 故④正确， 故选：A. 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据已知条件得到，，求得，，得到，，在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，，推出垂直平分，则点与点关于直线对称，此时四边形周长最小，，求得直线为，直线的解析式为，解方程组即可得到结论．正确的找到点的位置是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平分， ∴，， ∴垂直平分，则点与点关于直线对称， ∴，， ∴， 当点与点重合时，取“”号，此时四边形周长最小， 设直线为，过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴． 故选：C．    14．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的计算方法，掌握全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法，合理构造三角形全等是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可证，可得，再证，可得，设，则，，，， ，在中，运用勾股定理可得，根据等面积法，可求出的值，在中，可求出的值，再根据正切值的计算方法即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：D ． 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，是解题的关键． 连接，并延长交于一点Q，根据菱形性质证明为等边三角形，结合，得到，得到，得到，根据问题是一个定值，可化一般情况为特殊情况，点M，点N分别是边上的中点，得到点E为等边的重心，得到，Q为中点，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等边三角形，推出，即得． 【规范解答】解：连接，并延长交于点Q， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据问题是一个定值，因此化一般情况为特殊情况， 则点M，点N分别是边上的中点， ∴点E为等边的重心， ∴，Q为中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边经过原点O，，且顶点A、B、D都在反比例函数的图象上，则顶点C的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接，设，则由对称性可知，先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，，则，再求出点D的坐标为点D的坐标为，由点D在反比例函数图象上，得到，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，过点A作轴于N，过点C作轴于M，连接， 设，则由对称性可知， ，， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 点B平移到点A和点C平移到到点D的平移方式相同， 点D的坐标为， 又点D在反比例函数图象上， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为： 17．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，垂足为，点P、Q分别在上，则最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查等边三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的应用-最短距离问题，利用最小值的常规解法确定出的对称点，从而确定出的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算． 已知，因此证明，表示出的长，在中，运用勾股定理求出的长，再运用勾股定理或求三角形的面积法求出的长．根据两点之间线段最短，添加辅助线将和转化到同一条线段上，因此作A点关于的对称点为，连接，可证得是等边三角形，由垂线段最短可知当时，最小，即可求出结果． 【规范解答】解：设，则， ∵四边形为矩形，且， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得，即，解得， ∴，，， ∴， 如图，设A点关于的对称点为，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， ∴当三点在一条线上时，最小， 又垂线段最短可知当时，最小， ∴， 故答案是：． 18．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大． 【思路点拨】（1）连接并延长交于点H, 连接，根据线段垂直平分线判断垂直平分，得到，结合，，即得； （2）连接，设，得，得，根据， 垂直平分，得到，得到，根据垂径定理推出，得到，在中，推出, 得到，即得； （3）在和中，根据，得，得，结合，得，当时， ，随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， ，随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【规范解答】（1）连接并延长交于点H, 连接， ∵， ∴ 垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴；　 （2）连接，设， 由（1）知，， ∴， ∵, 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ， ∴， 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【考点评析】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ． 19．（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，D是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． (1)【尝试初探】 如图1，当点D在线段上运动时，，相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． (2)【深入探究】 如图2，当点D在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值． (3)【拓展延伸】 如图3，当点D在的延长线上运动时，，相交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论； （2）如图，过点作于点，先根据等边三角形的性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据正切的定义求解即可； （3）如图，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，，根据等边三角形的性质可得， ，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案． 【规范解答】（1）解：如图，，理由如下： ∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴； （2）如图，过点作于点，    ∵是边长为3的等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴， ∴； （3）如图，过点作于点，    ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则，， ∵，是边长为3的等边三角形， ∴， ， ∴，   ∵， ∴， 即， 解得， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 即 ∵， ∴． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键． 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则面积的最大值为_____． 【答案】（1）①不变，，②的长为或；（2）16 【思路点拨】（1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可； ②分两种情形：如图中，当点E在线段上时，如图中，当点E在的延长线上时，分别求出，可得结论； （2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论． 【规范解答】解：（1）①的值不变，理由如下： 如图2中，连接．    ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵在图1中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．    ∵， ∴， ∴， ， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图中，当点E在的延长线上时，同法可得，    ∴， 综上所述，的长为或． （2）如图3中，连接，过点G作于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆， 当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值， ∴的面积的最大值为． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$