6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （重点） 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题（难点） 计数是人类最古老的数学活动之一，人类在探求高效计数方法的过程中，走过了漫长的历史…… 结而计之 数而计之 算而计之 （约8.2万年前） （公元前580年） （约公元前220年） 情景导入 4 随着人们生活水平的提高，某市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现. 3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？ 22464000 情景导入 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码. 思考 你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 探究 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有_________种不同的方法. 分类加法计数原理 N= m+n 例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 例题讲解 解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所， 在A大学中有5种专业选择方法， 在B大学中有4种专业选择方法， 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理，这名同学可能 的专业选择种数：N=5+4=9. 利用分类加法计数原理计数的解题流程： 不重不漏 方法归纳 9 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第三类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？ 探究 拓展： 如果完成一件事有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有_________________种不同的方法. N=m1+m2+……+mn 用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A1，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 思考 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 树形图 解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来 你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码. 你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步； （2）分别计算各步号码的个数； （3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数. 探究 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有___________种不同的方法. N= m×n 例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表 班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择； 由分步计数原理： 共有 30×24=720种不同方法. 例题讲解 利用分步乘法计数原理计数的解题流程： 步骤完整 方法归纳 16 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法? N＝m1×m2×m3 如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 探究 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？ 分步乘法计数原理一般结论： N＝m1×m2×…×mn 概念归纳 例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法? (3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法? 解(1)根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9； (2)根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24； 例题讲解 (3)需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法； 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 1. 填空题 (1) 一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是________； (2) 从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_________. 9 6 随堂练习 2. 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10. 这种算法有什么问题？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 数学 解：这种算法有问题，因为问题强调的是这名同学的专业选择，故并不需要考虑学校的差异，所以这名同学可能的专业选择种数应当为 3. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2) 从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? 4. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. (1) 从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? (2) 从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? 解：(1) 11种；(2) 30种. 解：(1) 12种；(2) 60种. 例1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_______． 【答案】36 【解析】(1)方法一　根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 题型1　分类加法计数原理的应用 题型探究方法归纳 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个； 个位是7，则十位可以是1,2,3，…，6中的一个，故共有6个； …… 个位是2的有1个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 例1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_______． 【例题迁移】　(变换条件)若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？ 解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个， 当个位数字是0时，共9个． 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 例2.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数． 题型2　分步乘法计数原理的应用 (2)分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 故三位数的偶数共有2×3×2＝12(个)． 例2.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ (1)三位数； (2)三位数的偶数． 例3. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有多少种不同的选法？ 题型3　辨析两个计数原理 解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选法共有5＋2＋7＝14(种)． (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有5×2×7＝70(种)． (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，不同的选法有5×2＝10(种)； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，不同的选法有5×7＝35(种)； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，不同的选法有2×7＝14(种)． 所以不同的选法共有10＋35＋14＝59(种)． 例3. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有多少种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有多少种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有多少种不同的选法？ 用计数原理解题时的注意点 (1)当解题无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． (3)混合问题一般是先分类再分步． 例4.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有 (　　) A．12种 B．7种 C．14种 D．49种 错解：由题意知，小李进体育场有7种不同方案，出体育场有7种不同的方案，故他进、出体育场共有7＋7＝14种不同的方案． 答案：C 易错警示　分不清“分类”还是“分步”致误 易错防范：错误的根本原因是没有分清小李完成进、出体育场门的过程是分类还是分步，实际上小李到体育场看比赛，他进、出体育场门的过程分两步：第一步进体育场，第二步出体育场． 正解：完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场． 第一步进门，共有4＋3＝7种方法． 第二步出门，共有4＋3＝7种方法． 由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49(种)． 答案：D 点评：利用两个计数原理解决问题时，应首先弄清是“分类”还是“分步”，其次要做到分类时不重不漏，分步时步骤完整． 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有_________种不同的方法. 分类加法计数原理 N= m+n 拓展： 如果完成一件事有n类不同方案.在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有_________________种不同的方法. N=m1+m2+……+mn 课堂小结 34 拓展：如果完成一件事, 需要分成n个步骤, 完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种方法，……，完成第n个步骤有mn种方法,并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有___________________种. N=m1×m2×…×mn 完成一件事需要两个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有___________种不同的方法. N= m×n 分类乘法计数原理 课堂小结 35 解：(1)三位数有三个数位， 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 依据分步乘法计数原理，满足要求的三位数共有4×3×2＝24(个)． $$