6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (第1课时) 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （第1课时） 人教A版选择性必修第三册·高二 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，能用自己的语言解释分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义 正确理解“完成一件事”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”，提升数学抽象的核心素养 能通过具体实例，说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理之间的联系与区别，发展逻辑推理等素养. 新知导入 随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号码序号需要扩容，那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？ 这就需要“数出”某种汽车号码牌序号组成的方案下所有可能的序号数，这就是计数。 如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法.但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？ 能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢? 下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. （1）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号， 总共能够编出多少种不同的号码？ 26＋10＝36 完成一件什么事 如何计数 怎么完成这件事 给一个座位编号 方案1： 方案2： 用英文字母编号 用阿拉伯数字编号 26 10 新知探究 问题1：分析以下三个问题分别是要完成一件什么事情？怎么完成这件事情？如何计算完成这件事情的方法数？ 新知探究 （2）从广州到北京，可以乘高铁或乘飞机，一天中，高铁有4个班次，飞机有3个班次。乘这些交通工具从广州到北京，有多少种不同方法？ （3）从班上30名男生、24名女生中任选1名学生代表班级参加比赛，一共有多少种不同的选法？ 问题1：分析以下三个问题分别是要完成一件什么事情？怎么完成这件事情？如何计算完成这件事情的方法数？ N =30+24=54 N =4+3=7 完成一件什么事 如何计数 怎么完成这件事 从广州到北京 方案1： 方案2： 乘高铁 乘飞机 4 3 选1名学生代表班级参加比赛 方案1： 方案2： 选一名男生 选一名女生 30 24 定义新知 　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． 分类加法计数原理： 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 如果该同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 完成一件什么事 怎么完成这件事 选一个专业 如何计数 方案1： 方案2： 在A大学专业里选 在B大学专业里选 5 4 N=5＋4＝9 典例解析 变式1 在在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，那么A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理， N=6＋4－1＝8 注意：两类不同方案中的方法互不相同. “类类独立，不重不漏” A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 数学 得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10. 这种算法有什么问题？ 典例解析 典例解析 变式2 在填写高考志愿表时，这名名高中毕业生了解到，除了A，B两所大学外，C大学也有有一些自己感兴趣的强项专业，如右表. A大学 B大学 C大学 生物学 数学 金融学 化学 会计学 自动化 医学 信息技术学 经济学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ N =5+4+3=12 新知讲授 　　完成一件事有n类不同方案， 在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法， 在第 2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第 n类方案中有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法． 分类加法计数原理的推广： 注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事. (1)某校开设A类选修课3门、B类选修课4门,若要求从两类课程中任选一门,则不同的选法共有 (　　) A.3种             B.4种              C.7种              D.12种   班级 性别 男生 女生 高三(1)班 30 20 高三(2)班 30 30 高三(3)班 35 20 (2)某校高三年级共有三个班,其各班人数如下表。 ①从三个班中任选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? ②从(1)班男生、(2)班男生或(3)班女生中任选一名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?         练习1 N =30+20+30+30+35+20=165 N =30+30+20=80 C 新知探究 （1） 用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1,A2,…,B1,B2…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 问题2：分析以下三个问题分别是要完成一件什么事情？怎么完成这件事情？如何计算完成这件事情的方法数？ 树状图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5A6 A7 A8 A9 6个字母每一个都可以对应9种数字 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 N=6×9＝54 新知探究 （3） 从班上30名男生、24名女生中任选男生和女生各1名担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？ （2） 从广州到上海，高铁有4个班次，一天后，再从上海到北京，飞机有3个班次。乘这些交通工具从广州经上海到北京，共有多少种不同走法？ 问题2：分析以下三个问题分别是要完成一件什么事情？怎么完成这件事情？如何计算完成这件事情的方法数？ 完成一件什么事 如何计数 怎么完成这件事 从广州经上海到北京 第一步 第二步 4 N=4×3＝12 3 选男生和女生各1名担任数学课代表 第一步 第二步 30 N=30×24＝720 24 定义新知 　　一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法. 分步乘法计数原理： 注意：各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成, 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,. 典例分析 变式 某班有男生30名，女生24名.从中选出男、女生各1名代表班级参加比赛，该班另有10名任课老师，若要从中增派1名老师作为领队，共有多少种不同的选法？ 解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法. 第3步，从10名任课教师中选出1人，有10种不同选法. 根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为 N＝30×24×10= 7200. 新知讲授 　　 完成一件事需要有n个步骤， 做第 1 步有 m1 种不同的方法， 做第 2步有 m2 种不同的方法， …… 做第 n步有 mn 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法． 分步乘法计数原理的推广： 注意：各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成. 练习2 (1)(2024·汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色,每种颜色的色号在0~255里.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个数值叠加生成新的颜色,那么在电脑上可生成新的颜色种数为(　　) A. 2563        B.27      C. 2553          D.6 (2) 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有0到9这10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码(各位上的数字允许重复)?     (3)如果在(2)中,各个位上的数字不允许重复,那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?  N＝10×10×10×10= 10000.  N＝10×9×8×7= 5040. A 典例分析 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1层、 第2层、 第3层各取1本书,有多少种不同取法? 思考 分别是在完成一件什么事？怎么完成？是方法的分类还是过程的分步？ 分析: (1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（分类加法） 分析: (2)要完成的一件事是“从书架第1层、第2层、第3层中各取1本书”，可以分三个步骤完成.（分步乘法） 典例分析 例3 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. 变式 从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本,有 第二类：从一、三层各取一本,有 第三类：从二、三层各取一本,有 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 练习3 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画. (1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间,有几种不同的选法? (3)从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法? N =5+2+7=14 N =5×2×7=70 N =5×2+5×7+2×7=59 课堂小结 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 两个原理的异同点： 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 感谢聆听! $