第02讲 函数及其图像（讲练，3考点+9题型38考向（含3种解题技巧）+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

模块一 数与代数基础 第02讲 函数及其图像 （思维导图+3考点+9题型38考向（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 2 / 136 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 函数图像信息 ►题型01 实物与函数图像 考向一 根据函数图像，选择实物图形 考向二 根据实物图形，选择函数图像 考向三 根据实物图形，结合函数图像计算 考向四 根据实际描述，判断函数图像 ►题型02 从函数图像中获取信息 考向一 行程问题-单函数问题 考向二 行程问题-双函数问题 考向三 其它问题-学科应用问题 考向四 其它问题-跨学科问题 ►题型03 动点与函数图像 考向一 线段长为函数 考向二 面积为函数 考向三 线段比为函数 考向四 线段和为函数 考点二 反比例函数 ►题型01 比较变量的大小 考向一 已知x，比较y的大小 考向二 已知y，比较x的大小 ►题型02 求取值范围 考向一 求y的取值范围 考向二 求x的取值范围 考向三 求参数的取值范围 ►题型03 反比例函数与不等式 考向一 单曲线与不等式 考向二 双曲线与不等式 ►题型04 反比例函数与几何结合 考向一 反比例函数与等腰三角形 考向二 反比例函数与直角三角形 考向三 反比例函数与平行四边形 考向四 反比例函数与矩形 考向五 反比例函数与菱形 考向六 反比例函数与正方形 考向七 反比例函数与圆 ►题型05 反比例函数与几何结合 考向一 求解析式 考向二 求面积 考向三 求最值 考点三 二次函数 ►题型01 二次函数的多结论问题 考向一 二次函数性质的运用 考向二 二次函数各系数之间的关系 考向三 函数值的比较大小 考向四 一元二次方程根的判断 考向五 一元二次方程根的分析 考向六 一元二次方程根的分布 考向七 二次函数与不等式 考向八 分析含绝对值的二次函数 考向九 二次函数与最值 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 函数图像信息 随着教育改革的不断深入，中考数学的命题趋势也在悄然发生变化。函数作为初中数学的核心内容之一，每年都是中考的重点考查对象。以下是对函数在中考中的命题预测，旨在帮助考生更好地备考。 1. 降低难度，注重基础：近年来，中考数学试卷在函数部分的难度有所降低，更加注重对基础知识和基本技能的考查。 2. 结合实际，贴近生活：中考函数试题越来越注重与实际生活的联系，通过创设现实生活情境，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。 3. 注重探究，强调能力：中考函数试题注重考查学生的探究能力和创新意识。 4. 跨学科融合，综合考查：函数试题常常与方程、几何、一次函数等其他数学知识联系在一起，综合考查学生的知识整合能力和综合运用能力。 【备考建议】1. 夯实基础，掌握双基：考生要系统复习函数的基础知识，包括函数的概念、图像、性质等，确保对基本概念和基本技能熟练掌握。 2. 注重实践，提高应用能力：考生要多做与生活实际相关的函数题目，学会从具体情境中抽象出数学问题，并用函数知识解决。 3. 培养探究能力，增强创新意识：考生要注重培养自己的探究能力和创新意识，多做开放性和探究性题目，学会独立思考和解决问题。 4. 跨学科整合，提升综合能力：考生要注重函数与其他数学知识的联系，学会将不同知识整合起来解决问题，提高综合运用能力。 函数在中考中的命题趋势逐渐向注重基础、联系实际、强调探究和跨学科融合的方向发展。考生在备考过程中要注重基础知识的掌握和实践应用能力的培养，同时要培养探究能力和创新意识，才能在中考中取得优异的成绩。 函数的性质 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 函数图像信息 ►题型01 实物与函数图像 考向一 根据函数图像，选择实物图形 1．（2024峰峰矿区模拟）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　）   A．     B．   C．     D．   【答案】B 【分析】根据函数图象的走势：陡，较缓，较陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从图中可以看出，上升最快，上升较慢，上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 根据函数图象分析即可． 【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 考向二 根据实物图形，选择函数图像 3．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）   A．B．C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段． 【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长， 最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短． 故选：B． 4．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（    ）   A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段， 当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水， ∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段， 观察函数图象，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 考向三 根据实物图形，结合函数图像计算 5．（2024·山东临沂·二模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度和注水时间之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的分析，理解并根据图象中的数据进行解答是关键．本题根据水位上升时是匀速，并结合数据可得注水速度，再计算即可． 【详解】解：根据题意之后水杯内水的高度开始匀速增加， ∵内注水， ∴每秒注水：， 根据图可得注满水时的高度为， 所以从开始到注满水需， 从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为， 故答案为：． 6．（2024·贵州贵阳·一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为，，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象．下列判断中正确的是（     ） A．注满整个容器至少需要 B．容器B的容积为 C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为 【答案】D 【分析】根据函数的图象得到注满整个容器至少需要，容器A的高为，时注满容器A；再根据容积公式来解答． 本题考查了函数的图象，解题的关键是从图象中获得信息，再计算出容器的容积来进行分析解答． 【详解】解：根据函数图象得到注满整个容器至少需要，故A不符合题意； 根据函数图象得到容器A的高度是，所以容器A的容积是，容器B的容积是容器A的容积：，所以容器B的容积是，故B选项不符合题意； ，，故C不符合题意； ，故D符合题意， 故选：D 考向四 根据实际描述，判断函数图像 7．（2023·江苏·中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（    ）    A．  B．  C． D．   【答案】D 【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案． 【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①， 由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多， 故他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是D． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论． 8．（2024·河南郑州·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压与气球内气体的体积的函数关系最可能是（ ） （单位：立方米） （单位：千帕） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】根据所给出的数据和常识可直接判断．此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：由题意可知，；；；；， 由此可得出和的函数关系是为：． 故选：D． ►题型02 从函数图像中获取信息 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 考向一 行程问题-单函数问题 9．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 10．（2024·河南濮阳·三模）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（    ）      A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，由题意可知小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为，从而求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为， ∴小球P的速度为：， Q的速度为：， 当时，， 又∵， ∴， 解得：， 故选：B． 考向二 行程问题-双函数问题 11．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（    ）    A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可． 【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应函数图象的解析式为， 将代入解析式得，解得， 小亮对应函数图象的解析式为， 设小莹对应函数图象的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 小莹对应函数图象的解析式为， 令，得， 解得， 小亮与小莹相遇的时刻为8:28． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想． 12．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（    ） A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟 【答案】C 【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可． 【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0） 设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ∴直线AE的解析式为y=x-a 同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y= 联立 ，解得 联立 ，解得 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 考向三 其它问题-学科应用问题 13．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【答案】B 【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润． 【详解】解：设与的一次函数关系式为， 由图可得， 解得， 所以与的一次函数关系式为， 把代入可得， 所以销售利润为（元）． 故选B． 【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 14．（2023·湖北武汉·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，如图是甲、乙两个蓄水池中水的高度(单位：米)，(单位：米)随注水时间（单位：小时）变化的图象．当甲、乙两池水的高度相同时，其相同的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式，联立两个函数解析式，即可求交点的坐标，点的纵坐标即为所求． 【详解】解：根据图象设，， ∵图象分别过点和， ∴，，解得：，， 则甲、乙两个长方体蓄水池的函数解析式分别为：，， 联立，解得：， 即当甲、乙两池水的高度相同时，其相同的高度是米， 故选：． 【点睛】此题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． 考向四 其它问题-跨学科问题 15．（2024·湖北宜昌·模拟预测）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（    ） A．铁块的高度为 B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 【答案】C 【分析】本题考查函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．用到的知识点为：浮力重力拉力．图2中点表示铁块未移动时，拉力为，那么铁块的重力为，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；因为水平面保持不变．那么段铁块移动的距离即为铁块的高度，为，可判断A正确，不符合题意；表示铁块向下移动时，拉力为，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为．烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了，所以烧杯内水的高度为，可判断B正确，不符合题意；当铁块下降高度为时，由于出水口的存在，由图2可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，那么所受到的浮力重力拉力为，故C错误，符合题意；设，代入，得，将代入，得，，故D正确，不符合题意；． 【详解】解：∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变． ∴铁块的高度为段铁块移动的距离为，故A正确，不符合题意； ∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为，故B正确，不符合题意； ∵当铁块下降高度为时，铁块的一半刚好浸入水中， ∴拉力的大小为， ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为，故C错误，符合题意． 设，代入，得，将代入，得，，故D正确，不符合题意 故选：C． 16．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据溶液呈碱性，，以及将给定的溶液加水稀释，值逐渐接近，即可判断出溶液的值与所加水的体积之间对应关系的图象． 【详解】解： 溶液呈碱性， ， 将给定的溶液加水稀释， 值逐渐减小，逐渐接近， 故选：B． ►题型03 动点与函数图像 考向一 线段长为函数 17．（2024·山东烟台·二模）如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数，结合图形和图象得到线段长度，利用数形结合思想是解决本题的关键． 根据图象可知点P在上运动时，不断增大，当点P到达C时，y有最大值，从C向A运动时，先变小后变大，当时，y的值最小，即中，边上的高为4（此时），根据勾股定理求出这时，再由直角三角形三角函数求出答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B运动到C时，y最大值为5，即， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时y最小，即，， 如图：当时， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2024·山东临沂·一模）如图1，动点P从A点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到A点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量． 当两段，分别求得矩形的边长再用勾股定理即可得解． 【详解】解：根据题意，结合函数图象，可知： 当时，点P在上运动； 当时，点P运动到点B，即； 由图知，点P在上运动时间均为，则在上运动了， 即由A到C运动了； 当时，点P在上运动； 当时，点P运动到点C，即． 在矩形中，，则， 故答案为：． 考向二 面积为函数 19．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 20．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图，    则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 考向三 线段比为函数 21．（2024·山东聊城·三模）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（   ）    A． B． C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，动点问题的函数图象，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理． 连接交于点，连接，由当时，的值恒等于1，推出点的运动路径是的中位线，则可得到，再由当时，，求出，由菱形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：连接交于点，连接，如图，    由题意知，当时，的值恒等于1， ∴． ∴点的运动路径是的中位线，且 ． ∵当时，， ∴． 由菱形的性质可得， ， ， ， ， 故选：A． 22．（2024·河南新乡·三模）如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键是根据函数的图象求出有关的线段的长度． 根据图中信息得出，可得出当时，点P在线段的垂直平分线上运动，作的垂直平分线，交边于点F，连接，根据题意可得，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由图2得，当时，，即 当时，点P在线段的垂直平分线上运动 如图，作的垂直平分线，交边于点F，连接 由题意可知，动点P沿运动到点F后，再沿运动到顶点C ，， ， 故选C． 23．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴，   即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 考向四 线段和为函数 24．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图1，在菱形中，，点为的中点，点从点处沿对角线运动，到达点后停止，连接，．设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中图象右端点到轴的距离为，则图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点O，连接交于点P，则的最小值为的长，根据图象右端点到轴的距离为，可得当点P运动到点D时，，从而求得，再根据菱形的性质和可得是等边三角形，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接交于点O，连接交于点P，则的最小值为的长，如图， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∵图象右端点到轴的距离为， ∴当点P运动到点D时， ∵点为的中点， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴图象最低点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键． 25．（2024·河南洛阳·三模）如图，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，则长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，设的长度为，由勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可求解． 【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，． 利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到， 当点P、E重合时，有， ∴． 的最大值为， ． 在中，由勾股定理得：， 设的长度为， 则， ， 解得或， 由于， ． ， ∵点为的中点， ， ∵四边形是矩形， ∴． 故选：D． 26．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 动点与函数图像问题解题方法： 类型一动点与函数图像判断的解题策略 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断； 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图像计算的解题策略 一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点与面积的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的性质，掌握动点运用的规律，相似三角形的判定和性质得到的值，正确计算三角形的面积，确定函数关系式，结合图形分析是解题的关键． 运用勾股定理，等面积法得到边上的高，根据点在折线上运动，分类讨论：当点在上时，，即；当点在上时，如图所示，，即；运用相似三角形的判定和性质可得的值，由三角形面积的公式可得关于的函数解析式，结合二次函数图象的性质判定即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，，即，， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向上，故A、B选项符合题意，C、D选项不符合题意； 当点在上时，如图所示，，即， ∵， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图形是二次函数图象的一部分，开口向下，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 故选：A ． 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 利用速度路程时间，可求出后800m的速度，判断A选项；利用中途停留的时间，可求出中途停留的时间，判断B选项；当时，关于的函数图象是线段，可得出后速度不变，判断C选项；利用整个登山过程的平均速度总路程总时间，可求出整个登山过程的平均速度，判断D选项． 【详解】解：A、后的速度为，选项A正确，符合题意； B、中途停留了，选项B错误，不符合题意； C、当时，关于的函数图象是线段，即后速度不变，选项C错误，不符合题意； D、整个登山过程的平均速度为，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 3．（2024·山西·模拟预测）排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据题意可以分别得到甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象，从而解答本题． 【详解】解：根据题意甲、乙两个铁块，在没有浸入装满水的烧杯时，都是0，即在原点，故排除选项A和B， 因为甲的体积>乙的体积，且同样的速度匀速浸入装满水的烧杯， 所以甲的排水量>乙的排水量， 故选：C． 4．（2024·贵州贵阳·二模）已知A，B两地相距，现有甲、乙两车相向而行，甲车以的速度匀速从A地驶往B地，乙车以的速度匀速从B地驶往A地，乙车比甲车早出发，然后甲车出发，两车途径C地，甲车到达C地后，因为车出现故障而停留了，然后因有事不得不原路返回A地(返回时速度不变)，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地，则甲、乙距离各自出发点的路程与甲车出发所用的时间之间的函数图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，先根据题意求出乙行驶的时间，进而求出甲行驶的时间，则可求出甲车到A到C的时间为，返回A的时间为，再求出甲车到C地的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵乙车的速度为， ∴乙车总共行驶了． ∵乙车比甲车早出发，甲车到达C地后停留， ∴甲车总共行驶了， ∴甲车到A到C的时间为，返回A的时间为， ∵甲车的速度为， ∴甲车走的总路程为， ∴甲车到C地的距离为， ∴符合题意的函数图象如选项A所示， 故选：A． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为，运用特殊值，几何排除法求解即可． 【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为， 如图，当时，则，的长为， 连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故C，D不符合题意； 如图，当时，则，的长为， ∴的长为， 连接，作于点E，作，交的延长线于点E，则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B不符合题意，A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键． 6．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，在正方形内，以点A为圆心，长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作于点O．设点P运动的时间为，，图2是点P以每秒的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（　　） A．3 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】先由图象可得：当时，，可得，再进一步利用弧长与扇形面积公式可得答案． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴， ∴重合，重合， ∴的长为， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为； 故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，正方形的性质，弧长的计算，扇形的面积，理解题意是解本题的关键． 7．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 34．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题主要考查函数图形与几何图形面积的计算，理解图示，掌握动点与面积的关系，函数图象获取信息的知识是解题的关键． 根据题意，第5~7秒时，三角形的面积等于，第2~5秒时，三角形的底边为，第7秒时，长方形的长为，由此即可求解． 【详解】解：由图可知，第5~7秒时三角形完全覆盖住长方形，可得三角形的面积等于， 第2~5秒时，三角形和长方形从开始覆盖到完全覆盖， ∴三角形的底边为， ∴三角形的高为，即长方形的宽也为， 第7秒时，三角形已经运动到长方形最右端， ∴长方形的长为， ∴长方形的面积等于． 8．（2024·辽宁抚顺·三模）【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在中，，点从点开始出发沿线段向终点匀速运动，点同时从点开始出发沿折线向终点匀速运动，两点同时到达点．连接，设点运动的路程为，的面积为．经探究发现在某范围内是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，图②中点的横坐标为5，点的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．    【初步感知】 （1）①图①中，的长为______，的长为______； ②求点的纵坐标； （2）求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （3）的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值； （4）点为中点，点为线段上靠近点的三等分点，连接，当点在上运动时，请求出长度的最小值． 【答案】（1）①8，10；②点的纵坐标为15；（2）；（3）不变化，理由见解析；（4）的最小值为 【分析】（1）①根据函数图像读取信息，可知，再根据函数图像结合勾股定理得到的长度；②根据图像可知的面积为点D的纵坐标，利用勾股定理即可求出； （2）分两种情况：当时，过点Q作与点H，当时，分别求出函数解析式即可； （3）分两种情况求出角的正切值即可做出判断； （4）当点Q运动到点B时，连接，过点M作于点，点A为定点，点P在线段上运动，即主动点，点N在线段上运动，为从动点，点N为线段上靠近点P的三等分点，即，为定值，判定出，根据三角形相似性质可以得出，当点N与重合时，的值最小，即为的长，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：初步感知：（1）①由函数图象可知：P的运动路程是8， ， 当运动路程为5时，面积最大，此时Q运动到B点， ， ，即, 解得：， 故答案为：8，10； ②如图①， ∵点D的横坐标为5， ∴此时，点Q和点B重合， ∵的面积为点D的纵坐标， ， ， ， ∴点D的纵坐标为15； （2）如解图②，当时，过点Q作与点H，   ， ， ， ， ， ； 如解图③，    当时，， 综上所述，y关于x的函数表达式为：； 延伸探究：（3）不变化，理由如下： 当时，如解图②，， 当时，如解图③，， 的大小不发生变化，； （4）如解图④，当点Q运动到点B时，连接，过点M作于点，    ∵点A为定点，点P在线段上运动，即主动点，点N在线段上运动，为从动点，点N为线段上靠近点P的三等分点，即，为定值， ∴点N的运动轨迹为线段， 当时，过点N作于点H， 由（1）得，，由勾股定理得，， ， ， ， ，即， ， ， ， 当点N与重合时，的值最小，即为的长， 设， 则，解得， 即的最小值：为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，函数图像读取信息，二次函数的几何应用，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键． 考点二 反比例函数 ►题型01 比较变量的大小 考向一 已知x，比较y的大小 1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 2．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 条件：已知反比例函数中，比较函数值的大小. 解题策略：先比较同象限的点，再根据正负不一致比较跨象限的点. 解题大招： 1) 当k＞0时，同象限：，整体：. 2) 当k＜0时，同象限：，整体： 考向二 已知y，比较x的大小 3．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随的增大而减小， 点，都在反比例函数的图象上，， ． ∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∴. 故选：B． 4．（2023·湖北武汉·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出点A、C在第一象限，点B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴点B在第三象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象与性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． ►题型02 求取值范围 考向一 求y的取值范围 5．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由点在反比例函数的图象上，可知反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，然后作答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 6．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 考向二 求x的取值范围 7．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 8．（2022·浙江温州·中考真题）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象； （2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围． 【详解】（1）解：（1）把点代入表达式， 得， ∴， ∴反比例函数的表达式是． 反比例函数图象的另一支如图所示． （2）当时，，解得． 由图象可知，当，且时， 自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 口诀：图像比高低，谁高谁大. 解题方法： 1）将两个函数解析式联立方程，解方程即可求出交点坐标； 2）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集. 考向三 求参数的取值范围 9．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 10．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在同一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大． 11．（2024·湖北·一模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A，点B都在第一象限，或都在第三象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴在一，三象限时，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A，点B都在第一象限，或都在第三象限， ∴，或， 解得或； 故答案为：或． ►题型03 反比例函数与不等式 考向一 单曲线与不等式 12．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当为何值时，？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可． 【详解】（1）解：将点代入， ， ， 将代入， ， ， 将和代入， ，解得：， ； （2）解：根据图象可得，当时，的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所构成的集合． 考向二 双曲线与不等式 13．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键． 14．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点坐标为 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． ►题型04 反比例函数与几何结合 考向一 反比例函数与等腰三角形 15．（2024·河南新乡·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如下，点是x轴负半轴上一点，过点B作x轴的垂线，分别与和的图象交于点A，C．当时，线段． (1)求k的值； (2)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数、等腰直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）将点C的坐标代入可得答案； （2）由为等腰三角形可得，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出，进而求出，再求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：点C的坐标为，代入， ∴； （2）解：∵，且为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 将代入反比例函数，得， ∴， ∴． 16．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 考向二 反比例函数与直角三角形 17．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．    【答案】 【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解． 【详解】解：如图，作轴，垂足为．    由题意，在中，，， ． ． ． 又绕点顺时针旋转至的位置， ． ． 又点是的中点， ． 在中， ， ． ，． 又在上， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键． 18．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴； ∴反比例数解析式为 故答案为：； （2）∵， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为 联立 解得：或 当时， 当时， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 考向三 反比例函数与平行四边形 19．（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 【答案】-2 【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，AC，交点为P， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP， ∵O（0，0），B（1，2）， ∴P的坐标， ∵A（3，1）， ∴C的坐标为（-2，1）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C， ∴k=-2×1=-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键． 20．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8， ， 即， ， ， ， 即； 点在函数的图象上， ， 即， ， ； 故答案为：2． 考向四 反比例函数与矩形 21．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 故， 又∵， 即， 故， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 22．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 考向五 反比例函数与菱形 23．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 24．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果． 【详解】解：连接、，    四边形是菱形， ， 菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上， 与、与关于原点对称， 、经过点， ， ， ， 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质． 考向六 反比例函数与正方形 25．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴ ． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 【答案】 4 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征及性质，解题的关键是熟练运用以上知识点． （1）根据已知条件及线段的和差求出的坐标． （2）先找出正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点，假设每个点处都有双曲线，求出此时的值，再根据只有两个点的对应的值相等即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， ∵每个小正方形的边长为1， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）正方形网格线上横纵坐标相乘得正整数的点有、、、、、 则分别过以上点的双曲线的值分别为：， 所以当与正方形网格线有两个交点，的值可以为， 满足条件的正整数的值有4个． 故答案为：4． 考向七 反比例函数与圆 27．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 28．（2024·河南信阳·二模）如图，点，点为反比例函数上两点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆． (1)求的值； (2)取的中点，连接，，试证明垂直平分． (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，等腰三角形的性质以及求不规则图形的面积： （1）把点代入，求出的值即可； （2）根据等腰三角形的性质可判断； （3）由勾股定理求出的长，根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 可得， 解得； （2）证明：点，为等腰两腰的中点， . 点为中点， 垂直平分.； （3）解：∵点，点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴ 又点，为的中点， ∴, ∴，即是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是的直径， ∴的半径长为， ►题型05 反比例函数与几何结合 考向一 求解析式 29．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 30．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故 ，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴ ； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 考向二 求面积 31．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． 【详解】（1）解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 32．（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．    (1)求k，m的值及C点坐标； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）把点代入和求出k、m的值即可；把代入的解析式，求出点C的坐标即可； （2）延长交x轴于点F，先求出平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出解析式，得出点F的坐标，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：把点代入和得： ，， 解得：，， ∴的解析式为，反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：延长交x轴于点F，如图所示：    将直线沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为： ， 联立， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴点F的坐标为， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标． 考向三 求最值 33．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，最大值 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：∵点C在一次函数的图像上，且点C的横坐标为a， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，当时，最大值． 34．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与函数（，）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作轴于点B，且，点C在线段上（不含端点），且，过点C作直线轴，交l于点D，交图象Γ于点E． (1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标； (2)连接，记的面积分别为，设，求U的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入，得，得到点A的坐标，再将点A代入，得k即可；根据已知得点D的纵坐标为t，代入求出点D的坐标； （2）将代入得到点E的坐标，根据三角形的面积公式分别求出，得到U与t的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最大值即可． 【详解】（1） ∵轴，且， ∴点A的横坐标为1， ∵点A在直线上， ∴， ∴点， ∴， ∵点A在函数上， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴点D的纵坐标为t， ∵点D在直线上，， ∴ ， ∴点D的横坐标为 （2）由（1）知，， ∴反比例函数的解析式为， 由（1）知，轴， ∴， ∴点E的纵坐标为t， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴. 由（1）知，，， ∴， ∵轴， ∴ ， ∴ ， ∵点C在线段上（不含端点）， ∴， ∴当时，U最大． 【点睛】此题考查了待定系数法，直线与双曲线的交点问题，平行于x轴的直线的特点，二次函数的性质，三角形的面积公式，求出点E的坐标是解题的关键． 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【补充】 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图像的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 4）|k|越大，与坐标轴的距离越远. 1．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 【详解】解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作 的延长线于点，记与轴的交点为点，先得出，，再结合连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，得出，，运用三角形内角和性质得，再结合勾股定理列式计算，得出，得出，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点P作轴，过点Q作轴，过点Q作 的延长线于点，记与轴的交点为点， ∵反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到， ∴， 则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵过点Q作轴，过点Q作 的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 设（为正数）， 在中， 即， ∴， 解得， ∴， 则， ∵点在第二象限， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的性质，反比例函数的图象性质，勾股定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数的图象如图所示，线段平行轴，其中点坐标为，而反比例函数图像恰好经过的中点，则的值为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得中点的坐标是解题的关键．求得的中点坐标，代入即可求得． 【详解】平行轴， 的纵坐标相同， 点坐标为，点在点左侧，， ∴点的坐标为， 中点的坐标为． 又反比例函数图象经过的中点， ． 故选A． 5．（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是数形结合． 先画出函数图象，根据函数的图象即可得． 【详解】解：如图所示， 根据函数图象得，； 故选：A． 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论． 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交双曲线于点C，且，点A在双曲线上． （1）若点A的横坐标为2，，则m的值是 ； （2）在（1）的条件下，若，则点C的坐标是 ． 【答案】 4 【分析】（1）过点A作轴，垂足为D，则，利用勾股定理可求得，即可得点，将点A代入反比例函数即可求得； （2）过点C作轴，过点B作，垂足分别为H，G，则，即可判定为等腰直角三角形，结合平行线的性质可知，则．求得，则有点C的横坐标，代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作轴，垂足为D，则． 点A的横坐标为2， ． 在，由勾股定理得， 点在双曲线上， ， ． （2）如图，过点C作轴，过点B作，垂足分别为H，G，则． ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ， ， 点C的横坐标为． 由（1）知双曲线的解析式为． 点C在双曲线上， ， ， ． 【点睛】本题主要考查反比例函数和几何的结合，涉及勾股定理、待定系数法求解析式、等腰三角形的判定和性质和平行线的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质和等腰三角形的性质． 9．（2024·安徽·三模）如图 ，为坐标原点，过第一象限上的点 作 轴于点，交反比例函数的图象于点 ，作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为． （1）   ； （2）连接 交反比例函数的图象于点， 若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】（）利用比例系数的几何意义即可求解； （）延长交轴于，易得，设点的坐标为，则，根据，得，，，然后利用面积和差即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， ∴， 故答案为：； 延长交轴于，易得， 设点的坐标为，则， ∵， ∴，，， ∴四边形的面积． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出 是解题关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征可得，，，即可得出，，，进而可得 ，分别求出和的值即可得答案． 【详解】解：设前2024个直角三角形的面积分别为、、……、， ∵点、、、……、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、， ∴，， ，， …… ，， ∴当时，， 当时，， ∴ ． 11．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）①求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案； ②观察图象可知，点在点上方时，或；①当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；②当时，方程为一元二次方程；△，再分类讨论即可． 【详解】（1）把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）①与轴、轴相交于点、点，求得，， ， ， ， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段EF外，如图， ． ②由图象可知，点在点上方时， 或， 当时，方程为一元一次方程， 方程有一个实数根． 当时，方程为一元二次方程， ． 当时，，方程有2个实数解， 当，且时，，即，方程有2个实数解， 当时，，即，方程无实数解， 当时，，方程有两个相等实数解， 当时，方程有一个实数解． 12．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，C，点A的横坐标为．    (1)求点B的坐标和反比例函数的表达式； (2)设P是x轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标； (3)若D是线段上一动点，过点D作垂线交反比例函数图象于点E，F，连接，当与相似时，求点D的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：，点 (2)点的坐标为：或或或 (3)点 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，列出等式即可求解；当时，同理可解； （3）与相似时，则，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 即点， 则， 则反比例函数的表达式为：， 与轴交于点， 令，解得， 则点； （2）解：设点， 由点的坐标得，， 当时， 则， 解得：或， 则点的坐标为：或； 当时， 则， 解得：， 则点的坐标为：或， 综上，点的坐标为：或或或； （3）解：过点作轴，过点作交于点，过点作轴，过点作轴，则， 则 ， 则，，    设点， ∵直线， 则直线的表达式为：， 则， 同理可得：， 联立反比例函数表达式和的表达式得：， 整理得：， 则， 当与相似时， 则， 即， 即， 即， 整理得：， 解得：(舍去)或， 即点． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到相似三角形的性质、解直角三角形、解一元二次方程、一次函数与反比例函数的性质以及次函数与反比例函数交点等知识点，数据处理是解题的难点． 考点三 二次函数 ►题型01 二次函数的多结论问题 考向一 二次函数性质的运用 1．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断． 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 考向二 二次函数各系数之间的关系 3．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】根据开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交，判定， ，，即可判定①；根据抛物线与x轴有两个交点，得，即可判定②；求出抛物线与x轴另一交点为，再代入得，则，即可判定③；根据抛物线的最值为，即可判定④；把代入代入抛物线解析式得，则，则 ，即可判定⑤． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，图象与y轴正半轴相交， ∴， ，， ∴ ∴．故①错误． 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴．故②正确． ∵抛物线对称轴为直线，与x轴交点， ∴抛物线与x轴另一交点为， 把代入抛物线解析式得， ∴，故③错误； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当 （m为任意实数）时，， ∴， ∴，故④正确； 把代入代入抛物线解析式得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故⑤正确； ∴正确的有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程的关系，从抛物线图象获取信息是解题的关键． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，由图象得出，，的符号，即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；把代入抛物线结合即可判断③；将方程化为，解方程即可判断④；根据，当时，取到最大值，即可判断⑤；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线的图象与轴的另一个交点横坐标为，即坐标为， ∴由图象可得，当时，，故②错误； ∵抛物线的图象与轴的一个交点坐标为， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∴， ∴方程可以化为：， ∴， ∴， 解得：或，故④正确； 当时，，当时，， 由图象可得，当时，取到最大值， ∴，即，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个， 故选：C． 6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 7．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质．根据抛物线的开口方向得，由顶点坐标可得，，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当时，取得最大值为，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 函数的图象的顶点为， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故①错误； 由上述可知，， ，故②正确； 抛物线开口向下， 当时，取得最大值为， 无论取何值都有， ，故③错误； 抛物线的对称轴为直线，， ，故④正确； 函数的图象的顶点为， ， 整理得：， ， ， ，故⑤正确． 综上，正确的结论有②④⑤，共3个． 故答案为：②④⑤． 考向三 函数值的比较大小 8．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；    ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；     ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图知：抛物线与直线交于和，由此可判断①正确；求出，将和代入求值即可判断②正确；由，根据二次函数的增减性可判断③错误；由得，则可得或．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误． 【详解】由图知：抛物线与直线交于和， 当或时，； 故①正确； 当时，， 当时， ， 故②正确； ，开口向下，对称轴为， ∴当时随x的增大而减小；    故③错误； 由得， ∴或． 由得， ∵， ∴此方程无解； 由得， ∵， ∴此方程由两个不相等的实数根． ∴使的x的值有2个， 故④错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 9．（2024·湖北武汉·一模）已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用：根据函数的性质画出函数的大致图像，根据图象数形结合，逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， 抛物线与直线经过点， ， ∴抛物线开口向上，直线经过一、二、四象限， 当时，或， 当时，或，故A、B错误，不符合题意； 当时，图像位于轴的左侧，可知；故C正确，符合题意； 当时，图像位于轴的左侧，可知或；故D错误，不符合题意． 故选：C． 考向四 一元二次方程根的判断 10．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的对称轴为，且过，结合抛物线的对称轴即可求解． 【详解】解： ∵二次函数的对称轴为，且图像经过， ∴，即， ∴点在抛物线上， ∴，故结论①正确； 由结论①正确可得，，且，则 ∴，则，故结论②正确； ∵当，时， ∴点离对称轴更近， 当时，；当时，；故结论③错误； 由得，， ∵结论①正确可得，，结论②正确可得，， ∴，， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实根，故结论④正确； 综上所述，正确的有，个， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根与系数的关系，二次函数图像上点的特征，由对称轴确定系数的关系，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 11．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 考向五 一元二次方程根的分析 12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 13．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x的方程有实数根，则n是非负数； ④代数式的值大于0． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的符号问题，二次函数与方程关系，二次函数图像性质，解题的关键是能根据题目中的已知条件找到相关的数量关系． ①将代入即可得到b的范围； ②将代入即可； ③把代入可判断n的正负； ④将代入即可； 【详解】解：①将代入得， ， ， ，即.结论正确，故①符合题意； ②对称轴为直线， ，， ， 又， ， ， ，开口向下， 时，即对称轴右侧，y随x的增大而减小.结论正确，故②符合题意； ③把代入得． 方程有实数根， ， 即， ， ， ， ， ， 是负数，n为非负数不正确.故③不符合题意； ④将代入， ， ， ， ，， ， 即，④正确，故④符合题意； 故答案为：①②④． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知：二次函数，过，， 下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④． 其中正确的结论是 （只填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点，二次函数与一元二次方程的关系．掌握二次函数的性质和二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为相应一元二次方程的解是解题关键．由题意可得出，再整理，分别用a、b、c表示出m的解即可判断①和②；由题意可得出方程的两根为，．再根据，可变为，即得出关于x的一元二次方程的两根为，，可判断 ③；由题意可确定，再根据，即可求解，可判断④． 【详解】解：∵二次函数，过，， ∴， 由①得：， 将③代入②，得：， ∴， 解得：，， ∵， ∴，即，故结论①错误； 由①得：， 将④代入②，得：， ∴， 解得：，， ∵， ∴，即，故结论②正确； ∵二次函数，过，， ∴方程的两根为，． ∵， ∴． 令，则， ∴，， ∴或， ∴，． ∴关于x的一元二次方程的两根为，，故结论③正确； ． ∵， ∴． 由，得：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴抛物线开口向下． ∵二次函数，过，， ∴， ∴，即，故结论④正确． 综上可知正确的结论是②③④． 故答案为：②③④． 考向六 一元二次方程根的分布 15．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（    ） A．方程有3个根，则 B． C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的平移，函数与坐标轴的交点． 把点C的坐标代入中，求出抛物线解析式即可得到抛物线的顶点坐标，判断D选项．根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断B选项．方程的解，是抛物线先下平移m个单位长度后，与x轴的交点的横坐标，根据抛物线平移的性质即可判断C选项．画出函数的图象，根据数形结合的思想即可判断A选项． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线为，即， ∴抛物线的顶点坐标为．故D选项正确； 把代入函数中，得， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线的开口向上， 且抛物线上的两点，中，， 结合的图象知，， ∴．故B选项正确； 将抛物线向下平移m个单位长度，得到， 该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在点的右侧， ∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确． ∵方程有3个根， ∴函数的图象与直线有3个交点， ∵函数的图象与x轴的交点为，， 如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即 此时把点代入函数中，得到， 解得， 当时，， 如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点 ∴对于方程可化为，即， ∴， 解得， 综上所述，或．故A选项错误． 故选：A． 16．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②正确； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：C． 考向七 二次函数与不等式 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键． 令，根据题意画出的图象草图，再据此求解即可． 【详解】令， 一元三次方程的解为，，， 的图象与x轴的交点为，，． 当时，， ， 函数的图象与x轴的交点不含， 的图象草图如下： 从图象上可以看出时，即时，x的取值范围是或． 关于x的不等式的解集是或． 故选：A． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向、和轴交点位置、对称轴为直线可判断①、②，由抛物线开口方向、对称轴位置，可判断③，由抛物线的图象、经过及抛物线的对称性可判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线和轴交点在负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵时， ∴两点都在顶点以及对称轴的右侧部分，随的增大而增大， ∴，故③正确； 不等式，即抛物线在轴及上方时，的取值范围， ∵对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线和轴的另一个交点横坐标， ∴不等式的解集是或，故④错误． 综上所述，错误的只有④， 故选：A． 考向八 分析含绝对值的二次函数 19．（23-24九年级上·广西防城港·期末）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和； ②当时，函数有最大值4； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出函数与坐标轴的交点坐标判断①，根据图象可知，函数没有最大值，判断②；图象法，判断③和④，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴图象与坐标轴的交点为，和；故①正确； 由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大；故③正确； ∴函数没有最大值；故②错误； 函数的对称轴为：， 当时，， ∴当函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是．故④错误； 综上，正确的是①③． 故答案为：①③． 20．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）已知关于x的函数，有下列结论： ①当时，y随x增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点，是函数的图象上不同的两点，则； ④函数的最小值为． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先把函数化为，再结合函数图象逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴其图象如下：    ∴当时，y随x增大而减小；故①符合题意； 函数的图象不是轴对称图形；故②不符合题意； 点，是函数的图象上不同的两点，当时， 而抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时， ∴即， 解得：， 当即， 解得：， ∴ ∴；故③符合题意； 当时，函数最小值为， ∴函数的最小值为，故④符合题意； 故答案为：①③④ 考向九 二次函数与最值 21．（2024·四川广安·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若，是函数图象上的两点，则；④；⑤若，则当时，有最大值为．其中正确结论有（　　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系．由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①函数开口方向向下， ； 对称轴在轴右侧 、异号， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ，故①正确； ②图象与轴交于点，对称轴为直线， 当时，，， ，， ， 整理得；故②正确； ③∵，，，开口向下，且，是函数图象上的两点， ∴；故③正确； ④∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴；故④正确； ⑤若， ∴，， ∴， ∵，当时，函数有最大值为， ∴当时，有最大值为2．故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④共4个， 故选：D． 22．（2024·山东济南·一模）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．有下列结论： ①一次函数的图象上的“半分点”是； ②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为； ③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为； ④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题中定义及一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式对题中结论进行逐一判断即可求解． 【详解】解：根据题中定义对结论进行判断： ①在一次函数中，时，，即在函数图像上； 且满足，符合“半分点”定义， ①正确； ②根据“半分点”定义可得，， ， 在双曲线上， ， 双曲线解析式为， 又也在双曲线上，且与不是同一点， ， 解得或， 此时或， 或， ②错误； ③在二次函数图像上的满足， ， 即， 点是图像上唯一的“半分点”， ， 解得， ③正确； ④将代入可得， ， ， ， ， ， ④错误． 综上，正确结论的个数是． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，一元二次方程的根的情况，解题关键是充分理解题意并综合运用一次函数、反比例函数及二次函数的性质． 二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 3）二次函数的常见结论 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负 图像上对应点的位置 结论 x轴的上方 x轴上 x轴的下方 图像上对应点的位置 结论 x轴的上方 x轴上 x轴的下方 图像上对应点的位置 结论 x轴的上方 x轴上 x轴的下方 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论：①该函数图象过定点；②当时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当时，点是曲线上两点，若，则．其中，正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征． 将抛物线整理为，即可判断①；将代入并计算即可判断②；计算抛物线对称轴并根据可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，根据增减性可判断④． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象过定点，故①正确，符合题意； 当时，， 令，则， ， 当时，函数图象与x轴无交点，故②正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在右侧，故③错误，不符合题意； ， ， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，， 此时，， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 2．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线（a，k为常数）的与的部分对应值如表所示； 下列四个结论：①②若，则该抛物线与轴没有交点；③若，则；④若，则，其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称性判断①；分得出顶点坐标所在象限，即可判断②；根据，对称轴为直线,可得抛物线开口向下，进而判断③；根据对称性得出关于的对称点为，由得出或时，，进而分分别讨论，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线 ∴对称轴为直线, ∵和时的函数值相等， ∴，解得：，故①正确； ∵，抛物线顶点坐标为 当，抛物线开口向上，抛物线顶点在第一象限， ∴该抛物线与轴没有交点； 当，抛物线开口向下，抛物线顶点在第四象限， ∴该抛物线与轴没有交点；故②正确； ③若，又，即离对称轴较远的点的函数值较小， ∴抛物线开口向下， 又∵，即比离对称轴远， ∴，故③不正确 ∵关于的对称点为 又∵ ∴或时， 当时，和时，，则 当时，和时，，则 ∴④正确 故答案为：①②④． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，是方程的两根，则方程的两根，满足且．其中，正确的是 ．（填写序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与字母系数的关系，二次函数的性质，数形结合法，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征．利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口方向向上， ． 抛物线的对称轴为直线， ． ． ． 抛物线与轴交于轴的正半轴， ． ，①的结论错误； 由抛物线可知：当时，． 抛物线的对称轴为直线， ． ． ． ． ，②的结论错误； 时，，抛物线的对称轴为直线， 当时，． 由抛物线的对称性可知：当时，． ③的结论正确； 若，是方程的两根， ，，， 设直线与抛物线交于点，，如图， 分别过点，作轴的垂线，垂足对应的数字为，， 即方程的两根，， 由图象可得：，； ④的结论正确． 综上，正确结论是③④． 故答案为：③④． 5．（2024·山东滨州·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又 ， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④ 27．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线 上存在两个点是点的“倍增点”．其中，正确结论有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解． 依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”为，从而可以求得，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为，从而建立方程求得解，可以判断③． 【详解】解：①依据题意，由“倍增点”的意义， ∵，， ∴点，都是点的“倍增点”．故①正确． ②由题意，可设满足题意得“倍增点”A为， ∴． ∴． ∴．故②错误． ③可设抛物线上的“倍增点”为， ∴． ∴或2． ∴此时满足题意的“倍增点”有两个．故③正确． 故答案为：2． $$模块一 数与代数基础 第02讲 函数及其图像 （思维导图+3考点+9题型38考向（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 函数图像信息 ►题型01 实物与函数图像 考向一 根据函数图像，选择实物图形 考向二 根据实物图形，选择函数图像 考向三 根据实物图形，结合函数图像计算 考向四 根据实际描述，判断函数图像 ►题型02 从函数图像中获取信息 考向一 行程问题-单函数问题 考向二 行程问题-双函数问题 考向三 其它问题-学科应用问题 考向四 其它问题-跨学科问题 ►题型03 动点与函数图像 考向一 线段长为函数 考向二 面积为函数 考向三 线段比为函数 考向四 线段和为函数 考点二 反比例函数 ►题型01 比较变量的大小 考向一 已知x，比较y的大小 考向二 已知y，比较x的大小 ►题型02 求取值范围 考向一 求y的取值范围 考向二 求x的取值范围 考向三 求参数的取值范围 ►题型03 反比例函数与不等式 考向一 单曲线与不等式 考向二 双曲线与不等式 ►题型04 反比例函数与几何结合 考向一 反比例函数与等腰三角形 考向二 反比例函数与直角三角形 考向三 反比例函数与平行四边形 考向四 反比例函数与矩形 考向五 反比例函数与菱形 考向六 反比例函数与正方形 考向七 反比例函数与圆 ►题型05 反比例函数与几何结合 考向一 求解析式 考向二 求面积 考向三 求最值 考点三 二次函数 ►题型01 二次函数的多结论问题 考向一 二次函数性质的运用 考向二 二次函数各系数之间的关系 考向三 函数值的比较大小 考向四 一元二次方程根的判断 考向五 一元二次方程根的分析 考向六 一元二次方程根的分布 考向七 二次函数与不等式 考向八 分析含绝对值的二次函数 考向九 二次函数与最值 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 函数图像信息 随着教育改革的不断深入，中考数学的命题趋势也在悄然发生变化。函数作为初中数学的核心内容之一，每年都是中考的重点考查对象。以下是对函数在中考中的命题预测，旨在帮助考生更好地备考。 1. 降低难度，注重基础：近年来，中考数学试卷在函数部分的难度有所降低，更加注重对基础知识和基本技能的考查。 2. 结合实际，贴近生活：中考函数试题越来越注重与实际生活的联系，通过创设现实生活情境，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。 3. 注重探究，强调能力：中考函数试题注重考查学生的探究能力和创新意识。 4. 跨学科融合，综合考查：函数试题常常与方程、几何、一次函数等其他数学知识联系在一起，综合考查学生的知识整合能力和综合运用能力。 【备考建议】1. 夯实基础，掌握双基：考生要系统复习函数的基础知识，包括函数的概念、图像、性质等，确保对基本概念和基本技能熟练掌握。 2. 注重实践，提高应用能力：考生要多做与生活实际相关的函数题目，学会从具体情境中抽象出数学问题，并用函数知识解决。 3. 培养探究能力，增强创新意识：考生要注重培养自己的探究能力和创新意识，多做开放性和探究性题目，学会独立思考和解决问题。 4. 跨学科整合，提升综合能力：考生要注重函数与其他数学知识的联系，学会将不同知识整合起来解决问题，提高综合运用能力。 函数在中考中的命题趋势逐渐向注重基础、联系实际、强调探究和跨学科融合的方向发展。考生在备考过程中要注重基础知识的掌握和实践应用能力的培养，同时要培养探究能力和创新意识，才能在中考中取得优异的成绩。 函数的性质 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 函数图像信息 ►题型01 实物与函数图像 考向一 根据函数图像，选择实物图形 1．（2024峰峰矿区模拟）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　）   A．     B．   C．     D．   2．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（    ） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 考向二 根据实物图形，选择函数图像 3．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）   A．B．C． D． 4．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（    ）   A．B．C．D． 考向三 根据实物图形，结合函数图像计算 5．（2024·山东临沂·二模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度和注水时间之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为 秒． 6．（2024·贵州贵阳·一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为，，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象．下列判断中正确的是（     ） A．注满整个容器至少需要 B．容器B的容积为 C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为 考向四 根据实际描述，判断函数图像 7．（2023·江苏·中考真题）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（    ）    A．  B．  C． D．   8．（2024·河南郑州·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随气球内气体的体积（单位：立方米）的变化而变化，随的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压与气球内气体的体积的函数关系最可能是（ ） （单位：立方米） （单位：千帕） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 ►题型02 从函数图像中获取信息 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： 1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量； 2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标； 3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义. 考向一 行程问题-单函数问题 9．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了 10．（2024·河南濮阳·三模）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（    ）      A． B． C． D．18 考向二 行程问题-双函数问题 11．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（    ）    A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35 12．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（    ） A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟 考向三 其它问题-学科应用问题 13．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 14．（2023·湖北武汉·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，如图是甲、乙两个蓄水池中水的高度(单位：米)，(单位：米)随注水时间（单位：小时）变化的图象．当甲、乙两池水的高度相同时，其相同的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 考向四 其它问题-跨学科问题 15．（2024·湖北宜昌·模拟预测）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（    ） A．铁块的高度为 B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 16．（2024·河北沧州·三模）为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 动点与函数图像 考向一 线段长为函数 17．（2024·山东烟台·二模）如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则为 ． 18．（2024·山东临沂·一模）如图1，动点P从A点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到A点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为 ． 考向二 面积为函数 19．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 20．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（    ）    A． B． C． D． 考向三 线段比为函数 21．（2024·山东聊城·三模）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（   ）    A． B． C．10 D．8 22．（2024·河南新乡·三模）如图1，在矩形中，E是的中点，动点P从点E出发，沿直线运动到矩形边上一点，再从该点沿直线运动到顶点C．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则矩形的对角线AC的长是（    ） A． B．4 C． D．8 23．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 考向四 线段和为函数 24．（2023·河南平顶山·模拟预测）如图1，在菱形中，，点为的中点，点从点处沿对角线运动，到达点后停止，连接，．设，，图2是点运动时随变化的关系图象，其中图象右端点到轴的距离为，则图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（2024·河南洛阳·三模）如图，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，，图2是点运动时随变化的关系图象，则长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 26．（2023·江苏南通·二模）如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 动点与函数图像问题解题方法： 类型一动点与函数图像判断的解题策略 方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图像的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图像进行判断； 方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图像计算的解题策略 一看图：注意函数图像横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图像的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图像相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为，设，，则关于的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）生命在于运动，健康在于锻炼．如图是爱好运动的小聪某天登山过程中所走的路程（单位：）与时间（单位：）的函数关系图象．则下列结论正确的是（    ） A．后的速度为 B．中途停留了 C．后速度在逐渐增加 D．整个登山过程的平均速度为 3．（2024·山西·模拟预测）排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v，水的密度为ρ，则该物体的排水量，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M随时间t变化的图象是（   ） A．B． C． D． 4．（2024·贵州贵阳·二模）已知A，B两地相距，现有甲、乙两车相向而行，甲车以的速度匀速从A地驶往B地，乙车以的速度匀速从B地驶往A地，乙车比甲车早出发，然后甲车出发，两车途径C地，甲车到达C地后，因为车出现故障而停留了，然后因有事不得不原路返回A地(返回时速度不变)，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地，则甲、乙距离各自出发点的路程与甲车出发所用的时间之间的函数图象是（   ） A．B．C．D． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，的直径，D为半圆的中点，P点从D出发，沿的路径移动，移动到C点停止，Q点从B出发，沿下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的倍，的长度变化的函数图像为（    ） A．B．C．D． 6．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1，在正方形内，以点A为圆心，长为半径画弧，点P从圆弧的端点B出发，沿向点D运动，过点P作于点O．设点P运动的时间为，，图2是点P以每秒的速度运动时，y随x变化的关系图象，则图1中阴影部分面积为（　　） A．3 B．9 C． D． 7．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 34．（2024·浙江·模拟预测）在两条平行线之间放着如图的一个直角三角形和一个长方形的纸片．现将三角形以的速度向右平移，直至三角形移出长方形．根据三角形盖住长方形的面积变化，画出了下面的函数图象．则这个长方形的面积为 ． 8．（2024·辽宁抚顺·三模）【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在中，，点从点开始出发沿线段向终点匀速运动，点同时从点开始出发沿折线向终点匀速运动，两点同时到达点．连接，设点运动的路程为，的面积为．经探究发现在某范围内是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，图②中点的横坐标为5，点的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．   【初步感知】（1）①图①中，的长为______，的长为______； ②求点的纵坐标； （2）求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （3）的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值； （4）点为中点，点为线段上靠近点的三等分点，连接，当点在上运动时，请求出长度的最小值． 考点二 反比例函数 ►题型01 比较变量的大小 考向一 已知x，比较y的大小 1．（2024·山东济宁·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（    ） A． B． C． D． 条件：已知反比例函数中，比较函数值的大小. 解题策略：先比较同象限的点，再根据正负不一致比较跨象限的点. 解题大招： 1) 当k＞0时，同象限：，整体：. 2) 当k＜0时，同象限：，整体： 考向二 已知y，比较x的大小 3．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北武汉·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． ►题型02 求取值范围 考向一 求y的取值范围 5．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 6．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 考向二 求x的取值范围 7．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（2022·浙江温州·中考真题）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 口诀：图像比高低，谁高谁大. 解题方法：1）将两个函数解析式联立方程，解方程即可求出交点坐标； 2）解不等式时，画出函数图像，确定交点横坐标，谁高谁大，确定自变量的取值范围即为不等式的解集. 考向三 求参数的取值范围 9．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 11．（2024·湖北·一模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是 ． ►题型03 反比例函数与不等式 考向一 单曲线与不等式 12．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当为何值时，？ 考向二 双曲线与不等式 13．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（    ）      A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 14．（2024·山东东营·中考真题）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． ►题型04 反比例函数与几何结合 考向一 反比例函数与等腰三角形 15．（2024·河南新乡·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如下，点是x轴负半轴上一点，过点B作x轴的垂线，分别与和的图象交于点A，C．当时，线段． (1)求k的值； (2)当为等腰三角形时，求的长． 16．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 考向二 反比例函数与直角三角形 17．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．    18．（2023·安徽·中考真题）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．    （1） ； （2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 考向三 反比例函数与平行四边形 19．（2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 20．（2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 考向四 反比例函数与矩形 21．（2023·广西·中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 22．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    考向五 反比例函数与菱形 23．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 24．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 考向六 反比例函数与正方形 25．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 26．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知平面直角坐标系中有一个的正方形网格，网格的横线、纵线分别与x轴．y轴平行，每个小正方形的边长为1．点N的坐标为． （1）点M的坐标为 ； （2）若双曲线L：与正方形网格线有两个交点，则满足条件的正整数k的值有 个． 考向七 反比例函数与圆 27．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 28．（2024·河南信阳·二模）如图，点，点为反比例函数上两点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆． (1)求的值； (2)取的中点，连接，，试证明垂直平分． (3)求阴影部分的面积． ►题型05 反比例函数与几何结合 考向一 求解析式 29．（2024·湖北·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． 30．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 考向二 求面积 31．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 32．（2023·四川·中考真题）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．    (1)求k，m的值及C点坐标； (2)连接，，求的面积． 考向三 求最值 33．（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 34．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与函数（，）的图象（记为Γ）交于点A，过点A作轴于点B，且，点C在线段上（不含端点），且，过点C作直线轴，交l于点D，交图象Γ于点E． (1)求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标； (2)连接，记的面积分别为，设，求U的最大值． 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【补充】 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）反比例函数图像的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图像的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 4）|k|越大，与坐标轴的距离越远. 1．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数的图象上有一点P，其中P的横坐标为，连接并将绕点O逆时针旋转且缩短至原来的一半得到，反比例函数恰好经过点Q，则k的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州黔东南·一模）已知反比例函数的图象如图所示，线段平行轴，其中点坐标为，而反比例函数图像恰好经过的中点，则的值为（    ）    A．6 B．5 C．4 D．2 5．（2024·贵州遵义·二模）已知函数的图象与二次函数的图象交于点，，．若点在轴下方且时，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．   7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为 ． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交双曲线于点C，且，点A在双曲线上． （1）若点A的横坐标为2，，则m的值是 ； （2）在（1）的条件下，若，则点C的坐标是 ． 9．（2024·安徽·三模）如图 ，为坐标原点，过第一象限上的点 作 轴于点，交反比例函数的图象于点 ，作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为． （1）   ； （2）连接 交反比例函数的图象于点， 若，则四边形的面积为 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点、、、……、(为自然数)在反比例函数图象上，且横坐标分别为1、2、3、……、，分别以、、、…、为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前2024个直角三角形的面积之和为 ． 11．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 12．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A，C，点A的横坐标为．    (1)求点B的坐标和反比例函数的表达式； (2)设P是x轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求点P的坐标； (3)若D是线段上一动点，过点D作垂线交反比例函数图象于点E，F，连接，当与相似时，求点D的坐标．   考点三 二次函数 ►题型01 二次函数的多结论问题 考向一 二次函数性质的运用 1．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 考向二 二次函数各系数之间的关系 3．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列五个结论：①；②；③；④ (m为任意实数)；⑤．其中，正确结论的序号是 ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为．结合图象给出下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程的两根分别为和；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是 ．（填序号） 考向三 函数值的比较大小 8．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：①当或时，；  ②当或时，；③当时随x的增大而增大；    ④使的x的值有3个．其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·湖北武汉·一模）已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 考向四 一元二次方程根的判断 10．（2023·湖北黄石·中考真题）已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则；③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是 （填写序号）． 考向五 一元二次方程根的分析 12．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 13．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③关于x的方程有实数根，则n是非负数；④代数式的值大于0．其中正确的结论是 （填写序号）． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知：二次函数，过，， 下列结论： ①；②；③关于x的一元二次方程的两根为，；④．其中正确的结论是 （只填序号） 考向六 一元二次方程根的分布 15．（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（    ） A．方程有3个根，则 B． C．关于的一元二次方程的两根为，，且，则 D．抛物线的顶点坐标为 16．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①；②；③；④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 考向七 二次函数与不等式 17．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 18．（2024·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向八 分析含绝对值的二次函数 19．（23-24九年级上·广西防城港·期末）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列四个结论： ①图象与坐标轴的交点为，和；②当时，函数有最大值4；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④函数与直线有4个公共点，则m的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 20．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）已知关于x的函数，有下列结论： ①当时，y随x增大而减小；②函数的图象是轴对称图形；③点，是函数的图象上不同的两点，则；④函数的最小值为．其中正确的结论是 ．（填写序号） 考向九 二次函数与最值 21．（2024·四川广安·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若，是函数图象上的两点，则；④；⑤若，则当时，有最大值为．其中正确结论有（　　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2024·山东济南·一模）定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点满足，我们把点称作“半分点”，例如点与都是“半分点”．有下列结论： ①一次函数的图象上的“半分点”是； ②若双曲线上存在“半分点”，且经过另一点，则的值为； ③若关于的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”，则的值为； ④若点是二次函数的半分点，若点的坐标为，则的最小值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 二次函数与各项系数之间的关系 ① 二次函数的图像与a，b，c的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a<0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 【补充】 1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同； 2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号； 3）二次函数的常见结论 【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负 图像上对应点的位置 结论 x轴的上方 x轴上 x轴的下方 图像上对应点的位置 结论 x轴的上方 x轴上 x轴的下方 图像上对应点的位置 结论 x轴的上方 x轴上 x轴的下方 1．（2023·江苏无锡·模拟预测）二次函数，有下列结论：①该函数图象过定点；②当时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当时，点是曲线上两点，若，则．其中，正确结论的序号为 ． 2．（2024·湖北武汉·三模）已知抛物线（a，k为常数）的与的部分对应值如表所示； 下列四个结论：①②若，则该抛物线与轴没有交点；③若，则；④若，则，其中正确的结论是 （填写序号）． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③当时，；④若，是方程的两根，则方程的两根，满足且．其中，正确的是 ．（填写序号）． 5．（2024·山东滨州·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 27．（2024·山东枣庄·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线 上存在两个点是点的“倍增点”．其中，正确结论有 个． $$