第23讲 直线与圆的位置关系 讲义 2025年中考数学第一轮专题复习

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第六单元　圆 《第23讲 直线与圆的位置关系》 【知识梳理】 1.直线与圆的位置关系 (1)在同一平面内，直线与圆的位置关系有三种，分别是　相离　、　相切　、　相交　.  (2)用定义法判断: 直线l与☉O没有公共点⇔直线l与☉O　相离　;  直线l与☉O有唯一公共点⇔直线l与☉O　相切　;  直线l与☉O有两个公共点⇔直线l与☉O　相交　.  (3)d，r比较法:如果☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么， d＜r⇔直线l与☉O　相交　;  d＝r⇔直线l与☉O　相切　  d＞r⇔直线l与☉O　相离　.  2.圆的切线的性质 (1)性质:经过　切点　的半径垂直于圆的切线.  (2)推论: ①经过圆心且垂直于切线的直线必过　切点　  ②经过切点且垂直于切线的直线必过　圆心　.  3.圆的切线的判定 判定定理:经过半径的外端并且　垂直　这条半径的直线是圆的切线.  4.切线长定理 (1)切线长:从圆外一点作圆的　切线　，通常我们把圆外这一点到　切点　间的线段的长叫做切线长.  (2)切线长定理:过圆外一点所作的圆的两条切线长　相等　.  5.三角形的内切圆 (1)定义:与三角形三边都相切的圆叫做三角形的　内切圆　，圆心叫做三角形的　内心　，三角形叫做圆的外切三角形.  (2)三角形的内心是三角形的三条　角平分线　的交点.  【考题探究】 类型一　直线与圆的位置关系 【例1】已知平面内有☉O和点A，B，若☉O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与☉O的位置关系是(　D　) A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 【解析】 ∵☉O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm， ∴点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在☉O外，点B在☉O上， ∴直线AB与☉O的位置关系是相交或相切. 变式1 [易错题]已知☉O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与☉O的位置关系是(　D　) A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 【解析】 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r时，☉O与直线l相切; 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r时，☉O与直线l相交. 综上所述，直线l与☉O的位置关系是相切或相交. 类型二　切线的性质 【例2】[2024·浙江]如图，AB是☉O的直径，AC与☉O相切，A为切点，连结BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为　40　°.  典例2图 变式2－1 [2023·金华]如图，点A在第一象限内，☉A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D.连结AB，过点A作AH⊥CD于点H. (1)求证:四边形ABOH为矩形. (2)已知☉A的半径为4，OB＝，求弦CD的长. 变式2－1图 变式2－1答图 解:(1)∵☉A与x轴相切于点B， ∴AB⊥x轴. 又∵AH⊥CD，HO⊥OB， ∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°， ∴四边形ABOH是矩形. (2)如答图，连结AC. ∵四边形ABOH是矩形， ∴AH＝OB＝. 在Rt△AHC中，CH2＝AC2－AH2， ∴CH＝＝3. ∵点A为圆心，AH⊥CD， ∴CD＝2CH＝6. 变式2－2 [2023·绍兴]如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，过点C作☉O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD，交DC的延长线于点E. (1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数. (2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长. 变式2－2图 解:(1)∵AE⊥CD， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ACD＝∠AEC＋∠EAC＝90°＋25°＝115°. (2)∵CD是☉O的切线，OC是☉O的半径， ∴∠OCD＝90°. 在Rt△OCD中，OC＝OB＝2，OD＝OB＋BD＝3， ∴CD＝. ∵∠OCD＝∠AEC＝90°， ∴OC∥AE， ∴，即， ∴CE＝. 变式2－3 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F. (1)求证:OF＝EC. (2)若∠A＝30°，BD＝2，求AD的长. 变式2－3图 解:(1)如答图，连结OE. 变式2－3答图 ∵AC是☉O的切线，切点为E，∴OE⊥AC， ∴∠OEC＝90°. ∵OF⊥BC，∠C＝90°， ∴∠OFC＝∠C＝90°＝∠OEC， ∴四边形OECF是矩形，∴OF＝EC. (2)∵BD＝2，∴OE＝OD＝BD＝1. ∵∠A＝30°，OE⊥AC，∴AO＝2OE＝2， ∴AD＝AO－OD＝1. 类型三　切线的判定 角度1　直线与圆公共点已知，连半径，证垂直 【例3】[通过平行证垂直][2023·随州节选]如图，AB是☉O的直径，点E，C在☉O上，C是的中点，AE垂直于过点C的直线，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F.求证:DC是☉O的切线. 典例3图 典例3答图 证明:如答图，连结OC. ∵AD⊥DF，∴∠D＝90°. ∵C是的中点， ∴， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°. 又∵OC是☉O的半径， ∴DC是☉O的切线. 变式3 [等角代换]如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与☉A相切于点D，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点E，交☉A于点F，连结BF. (1)求证:BF是☉A的切线. (2)若BE＝5，AC＝20，求EF的长. 变式3图 变式3答图 解:(1)如答图，连结AD. ∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC. ∵AE⊥AC，∴∠CAB＋∠EAB＝90°. ∵☉A切BC于点D，∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD. 又∵AB＝AB，AF＝AD， ∴△ABF≌△ABD(SAS)， ∴∠AFB＝∠ADB＝90°，∴BF是☉A的切线. (2)由(1)，得∠AFB＝90°＝∠FAC， ∴FB∥AC， ∴△BEF∽△CEA，∴. 又∵CB＝CA＝20，BE＝5， ∴，∴BF＝4， ∴EF＝＝3. 角度2　直线与圆公共点未知，作垂直，证半径 【例4】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N. (1)AB与☉O的位置关系为　相切　.  (2)求证:AC是☉O的切线. 典例4图 典例4答图 解:(2)如答图，过点O作OE⊥AC于点E，连结OA. ∵AB＝AC，O为底边BC的中点， ∴AO为∠BAC的平分线. ∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD＝OE. ∵OD为☉O的半径， ∴OE为☉O的半径， ∴AC是☉O的切线. 变式4 [2023·广西]如图，PO平分∠APD，PA与☉O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B. (1)求证:PB是☉O的切线. (2)若☉O的半径为4，OC＝5，求PA的长. 变式4图 解:(1)∵PA与☉O相切于点A，且OA是☉O的半径， ∴PA⊥OA. ∵PO平分∠APD，OB⊥PD，OA⊥PA， ∴OB＝OA，∴点B在☉O上. ∵OB是☉O的半径，且PB⊥OB， ∴PB是☉O的切线. (2)∵OA＝OB＝4，OC＝5， ∴AC＝OA＋OC＝9. ∵∠OBC＝90°， ∴BC＝＝3. ∵∠A＝90°，∠BCO＝∠ACP， ∴＝tan∠ACP＝， ∴PA＝AC＝12. 类型四　切线长定理的运用 【例5】如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O.若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为(　C　) 典例5图 A.28° B.50° C.56° D.62° 【解析】 ∵PA，PB分别切☉O于点A，B， ∴PA＝PB，OA⊥PA， ∴∠PBA＝∠PAB＝90°－∠OAB＝90°－28°＝62°， ∴∠APB＝180°－∠PBA－∠PAB＝56°. 变式5 [2024·婺城区模拟]把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示的方式放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C.若AB＝4，则的长为　 2π　.  变式5图 变式5答图 【解析】 如答图，连结OC，OB. ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴∠OCA＝∠OBA＝90°，OC＝OB. ∵∠CAB＝180°－60°－30°＝90°， ∴四边形ABOC是正方形， ∴∠BOC＝90°，OB＝AB＝4， ∴的长＝＝2π. 类型五　三角形的内切圆与内心 【例6】[2024·滨州]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是(　D　) A.d＝a＋b－c B.d＝ C.d＝ D.d＝|(a－b)(c－b)| 典例6图 典例6答图 【解析】 如答图，过点O作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F， 易证四边形OECD是正方形. 设OE＝OD＝OF＝r，则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝b－r，BD＝BF＝a－r. ∵AF＋BF＝AB，∴b－r＋a－r＝c， ∴r＝，∴d＝a＋b－c，A正确. ∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB， ∴ab＝ar＋br＋cr，∴ab＝r(a＋b＋c)， ∴r＝，即d＝，B正确. ∵d＝a＋b－c， ∴(a＋b－c)2＝(a＋b)2－2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2. 又∵a2＋b2＝c2， ∴d2＝2c2＋2ab－2ac－2bc＝2(c2＋ab－ac－bc)＝2[(c2－ac)＋b(a－c)]＝2(c－a)(c－b)， ∴d＝，C正确. 已知条件无法推出d＝|(a－b)(c－b)|，D错误. 变式6－1 [经典题]如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，☉E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为　135　°.  变式6－1图 变式6－1答图 【解析】 方法一:如答图，连结EC. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∵点E是△ADC的内心， ∴易得∠AEC＝90°＋∠ADC＝90°＋×90°＝135°，∠EAC＝∠EAB. 在△AEC和△AEB中，∵ ∴△AEC≌△AEB(SAS)， ∴∠AEB＝∠AEC＝135°. 方法二:如答图，连结CE，设CD与BE相交于F，则∠EFC＝∠BFD. ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°. ∵点E是△ADC的内心， ∴∠ACE＝∠DCE，∠EAC＝∠EAB. 同方法一可证△AEC≌△AEB， ∴∠EBA＝∠ECA，∠AEC＝∠AEB， ∴∠EBA＝∠ECD， ∴∠CEF＝∠FDB＝90°， ∴∠AEC＋∠AEB＝360°－90°＝270°， ∴∠AEB＝×270°＝135°. 变式6－2 [2024·自贡]在Rt△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. (1)图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　AD　，BD＝　BE　;若AC＝3，BC＝4，则☉O半径长为　1　.  (2)如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是☉O的切线. 变式6－2图 解:(2)如答图，过点O作OH⊥MN于点H，连结OD，OE，OF. 变式6－2答图 ∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， ∴△AMN≌△ABC(AAS)，∴AN＝AC. 又∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即DN＝CF， 易证四边形ECFO是正方形，∴CF＝OE， ∴DN＝OE. ∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， ∴四边形OHND是矩形，∴OH＝DN， ∴OH＝OE，即OH是☉O的半径. 又∵OH⊥MN，∴MN是☉O的切线. 【课后作业】 1.[2024·山西]如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连结OD.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为(　D　) 第1题图 A.30° B.40° C.45° D.50° 2.[2023·重庆A卷]如图，AC是☉O的切线，B为切点，连结OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度为(　C　) A.3 B.2 C. D.6 第2题图 第2题答图 【解析】 如答图，连结OB. ∵AC是☉O的切线，∴OB⊥AC， ∴∠ABO＝∠CBO＝90°. 又∵∠A＝30°，AB＝2 ，∴OB＝AB＝2. 又∵BC＝3，∴OC＝ . 3.[2024·福建]如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(　A　) A.18° B.30° C.36° D.72° 第3题图 【解析】 ∵C为的中点，∠AOB＝72°， ∴∠AOC＝∠BOC＝36°. 又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝72°. ∵直线MN与☉O相切于点C， ∴∠OCM＝90°，∴∠ACM＝∠OCM－∠ACO＝18°. 4.[2024·泸州]如图，EA，ED是☉O的切线，切点分别为A，D，点B，C在☉O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　C　) A.56° B.60° C.68° D.70° 第4题图 第4题答图 【解析】 如答图，连结AD. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BAE＋∠BCD＝236°， ∴∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°， ∴∠EAD＝56°. ∵EA，ED是☉O的切线，切点分别为A，D， ∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD＝56°， ∴∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝68°. 5.如图，木工用角尺的短边紧靠☉O于点A，长边与☉O相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知AC＝6 cm，CB＝8 cm，则☉O的半径为(　B　) A. cm B. cm C. cm D. cm 第5题图 第5题答图 【解析】 如答图，连结OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D. 由题意，得OB⊥BC，AC⊥BC， ∴四边形ACBD是矩形， ∴AD＝BC＝8 cm，BD＝AC＝6 cm. 设☉O的半径为r(cm). 在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2， 即r2＝82＋(r－6)2，解得r＝， 即☉O的半径为 cm. 6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　.  7.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说:“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切，如图所示).”问题:此图中，正方形一条对角线AB与☉O相交于点M，N(点N在点M的右上方).若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为　8－2　丈.  第7题图 第7题答图 【解析】 如答图，设正方形的一边与☉O的切点为C，连结OC，则OC⊥AC. ∵四边形是正方形，AB是对角线， ∴∠OAC＝45°，∴OA＝OC＝2丈， ∴BN＝AB－AN＝AB－AO－ON＝10－2－2＝(8－2)丈. 8.[2023·河南]如图，PA与☉O相切于点A，PO交☉O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　.  第8题图 第8题答图 【解析】 如答图，连结OC. ∵PA与☉O相切于点A，∴∠OAP＝90°. ∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB， ∴△OAC≌△OBC(SSS)， ∴∠OBC＝∠OAP＝90°. 在Rt△OAP中，OP＝＝13. ∵S△OAC＋S△OCP＝S△OAP， ∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP， ∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP， ∴5AC＋13BC＝5×12， ∴AC＝BC＝. 9.[2024·武汉改编]如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O相交于E，F两点. (1)求证:AB与半圆O相切. (2)若CD＝4，CF＝2，求半圆O的半径. 第9题图 第9题答图 解:(1)如答图，连结OD，OA，作OH⊥AB于点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵AC与☉O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵OH⊥AB，∴OH＝OD， ∴OH为半圆O的半径， ∴AB与半圆O相切. (2)由(1)知OD⊥AC. 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2，OD2＋CD2＝OC2， ∴OD2＋42＝(OD＋2)2， ∴OD＝3，即半圆O的半径为3. 10.如图，☉O的半径OA＝2，B是☉O上的动点(不与点A重合)，过点B作☉O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　2或2　.  第10题图 第10题答图 【解析】 如答图，连结OB. ∵BC是☉O的切线， ∴∠OBC＝90°. 又∵BC＝OA＝OB， ∴△OBC是等腰直角三角形. 分三种情况讨论: ①当∠AOC＝90°时，如答图1， 此时OC＝OB＝2， ∴AC＝＝2; ②当∠OAC＝90°时，如答图2， 同理，△OBC是等腰直角三角形， ∴OC＝OB＝2; ③当∠OCA＝90°时，易知OA＞OC＞2，不合题意. 综上所述，斜边长为2或2. 11.如图，已知AC为☉O的直径，直线PA与☉O相切于点A，直线PD经过☉O上的点B，且∠CBD＝∠CAB，连结OP交AB于点M.求证: (1)PD是☉O的切线. (2)AM2＝OM·PM. 第11题图 第11题答图 证明:(1)如答图，连结OB. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC. ∵AC是☉O的直径，∴∠CBA＝90°， ∴∠CAB＋∠OCB＝90°. 又∵∠CBD＝∠CAB， ∴∠CBD＋∠OBC＝90°， ∴∠OBD＝90°，∴PD是☉O的切线. (2)由(1)知，PD是☉O的切线. 又∵直线PA与☉O相切， ∴OA⊥AP，PO垂直平分AB， ∴∠AMP＝∠AMO＝90°， ∴∠APM＋∠PAM＝90°. ∵∠OAP＝90°，∴∠PAM＋∠OAM＝90°， ∴∠APM＝∠OAM，∴△OAM∽△APM， ∴，∴AM2＝OM·PM. 12.[2024·天津]已知在△AOB中，∠ABO＝30°，AB为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C. (1)如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的度数. (2)如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长. 第12题图 解:(1)∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝30°. ∴∠AOB＝180°－2∠ABO＝120°. ∵直线MN与☉O相切于点C，CE为☉O的直径， ∴∠ECM＝90°. ∵AB∥MN，∴∠CDB＝∠ECM＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠ABO＝60°， ∴∠BCE＝∠BOE＝30°. (2)如答图，连结OC. 第12题答图 同(1)，得∠COB＝90°. ∵CG⊥AB，∴∠FGB＝90°. 又∵∠ABO＝30°，∴∠BFG＝90°－∠ABO＝60°， ∴∠CFO＝∠BFG＝60°. 在Rt△COF中，tan∠CFO＝，OC＝OA＝3， ∴OF＝. 13.[2024·广安]如图，点C在以AB为直径的☉O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA. (1)求证:DC是☉O的切线. (2)G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线，与BC相交于点F，与DC的延长线相交于点E.若sin D＝，DA＝FG＝2，求CE的长. 第13题图 第13题答图 解:(1)如答图，连结OC. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵∠DCA＝∠OBC，∴∠DCA＝∠OCB. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠OCA＋∠OCB＝90°， ∴∠OCD＝90°，∴DC是☉O的切线. (2)设OC＝OA＝r. ∵sin D＝， ∴，∴r＝8， ∴OC＝OA＝8. 在Rt△OCD中，CD＝＝6. ∵∠DCA＋∠ECF＝∠BFG＋∠CBA＝90°， ∴∠ECF＝∠BFG. 又∵∠BFG＝∠EFC，∴∠ECF＝∠EFC， ∴EC＝EF. 设EC＝EF＝x. ∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE， ∴△DOC∽△DEG， ∴，则，解得x＝14. 经检验，x＝14是所列方程的解， ∴CE＝14. 14.[2024·陕西]如图，直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连结BC，BD，分别与☉O相交于点E，F，连结EF，AF. (1)求证:∠BAF＝∠CDB. (2)若☉O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长. 第14题图 解:(1)∵直线l与☉O相切于点A，AB是☉O的直径， ∴AB⊥CD，∴∠BAC＝∠BAD＝90°. ∵AB是☉O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠ABD＝90°， ∴∠BAF＝∠CDB. (2)在Rt△ABD中，∵AB＝2r＝12，AD＝9， ∴BD＝＝15. 在Rt△ABC中，∵AB＝12，AC＝12， ∴BC＝＝12. ∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD， ∴△BAF∽△BDA， ∴BF∶BA＝BA∶BD，即BF∶12＝12∶15， 解得BF＝. ∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB， ∴∠BEF＝∠CDB. 又∵∠EBF＝∠DBC，∴△BEF∽△BDC， ∴EF∶CD＝BF∶BC，即EF∶21＝∶12， 解得EF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$