专题6-7 第六章 平面向量及其应用 练透核心单元检测卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算法则求解即可. 【详解】向量， 故选：A. 2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期末）已知向量 ， 且 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】直接根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】因为且，则，得. 故选：D. 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由题意可得，利用向量的坐标运算可得，求解即可. 【详解】由题意可知.因为，， 所以，整理得，解得或. 故选：A. 4．（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 5．（24-25高三上·甘肃定西·期末）在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到，再利用正弦定理求解边长即可. 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C 6．（江西省吉安市六校协作体2025届高三上学期一月联合考试数学试题）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的正切公式、余弦定理解三角形、已知弦（切）求切（弦）、三角形面积公式及其应用 【分析】根据三角形面积公式及余弦定理得，进而得，最后利用二倍角正切公式求解即可. 【详解】由题意，故， 则，所以. 故选：B. 7．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 8．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知， 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题,在新环境下研究“旧”性，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用向量的线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解. 【详解】易知，所以，因此A错误； 显然，可得B正确； ，所以C正确； 因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得； 所以，即D正确. 故选：BCD 10．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】CD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、基本不等式求积的最大值 【分析】利用数量积的性质表示模长，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由，则， 整理可得，由，当且仅当时取等号， 则，解得，所以， 由，则选项AB错误，选项CD正确. 故选：CD. 11．（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABD 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用 【分析】由条件利用正弦定理求的外接圆直径，判断A，先证明，利用二倍角公式化简，再化角为边判断B，结合B的结论，由余弦定理可求，再利用三角形面积公式求面积，判断C，求周长判断D. 【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得，代入， 解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 ． 【答案】4 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据投影向量的定义计算可得. 【详解】，，则，， 所以在上的投影向量为， ，即. 故答案为：4. 13．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 14．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    【答案】/ 【知识点】求二次函数的值域或最值、三角形面积公式及其应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】设线段长，写出矩形的面积，由三角函数得到，然后写出的面积，从而表示出该风景区面积的表达式，由换元法将表达式化简为二次函数，由二次函数的对称轴求出最大值. 【详解】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解； （2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 （2）因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长为. 18．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 【答案】(1)①16；② (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、几何图形中的计算、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）①根据正弦定理结合三角恒等变换与化简即可； ②作于，根据几何关系可得，再根据基本不等式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，由正弦定理可得，再根据余弦定理可得，进而可得长度的最大值. 【详解】（1）①当时，由正弦定理可得，故 . ②当时，因为，故均为锐角，作于. 由图可得，，由可得 ，故，则 . . 故 ，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为 （2）设，由余弦定理，即. 由正弦定理可得. 则， . 故当时，取最大值，即的最大值为. 19．（23-24高一下·贵州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】条件等式求最值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）过作于，结合题意即可求解； （2）（i）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ii）设，得出，由勾股定理得出，根据基本不等式求解范围即可． 【详解】（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，满足，且，如图：    过作于，则，故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为． （2）（i）因为，由正弦定理，且， 所以得， 所以的三个角都小于， 则由费马点定义可知，， 设，， 由得：， 整理得， 则 ． （ii）由（i）知，所以点在内部，且，    设， 所以， 由余弦定理得，， ， ， 由勾股定理得，，即， 所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 设，则，解得或（舍去）， 由， 故，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）向量（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期末）已知向量 ， 且 则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 4．（24-25高三上·吉林长春·期末）在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 5．（24-25高三上·甘肃定西·期末）在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 6．（江西省吉安市六校协作体2025届高三上学期一月联合考试数学试题）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）.若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知与夹角为，若且，，则的可能值为（   ） A．2 B． C． D．1 11．（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则 ． 13．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 14．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 17．（2025·江苏苏州·模拟预测）△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. (1)求角A的大小； (2)若，求△ABC的周长的值. 18．（24-25高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形中，，且. (1)中，设角、、的对边分别为、、，若. ①当时，求的值； ②当时，求ac的最大值. (2)若，当变化时，求长度的最大值. 19．（23-24高一下·贵州·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； (2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点． （i）若，求； （ii）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$