专题6-6 三角形（四边形）面积问题(5大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题6-6 三角形（四边形）面积问题 题型一：三角形面积定值问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且，若，求的面积． 例题2．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 例题3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，且，求的面积． 精练核心考点 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 2．（2025·陕西渭南·一模）在中．已知． (1)求． (2)若点为的中点．且．求的面积． 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）记的内角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求的值. (2)若是锐角三角形，求的面积. 题型二：三角形面积最值问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 例题2．（24-25高二上·湖南常德·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 例题3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，满足 (1)求； (2)若角的平分线交边于点，长为2，求的面积的最小值. 精练核心考点 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ． 2．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）在中，若，且，则面积的最大值为 . 3．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 题型三：四边形面积问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 例题2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. (1)若，，求的大小； (2)若求四边形ABCD面积的最大值. 例题3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，    (1)若，，求的值； (2)若，四边形ABCD面积为4，求的值． 精练核心考点 1．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角所对的边分别为，设向量，．且． (1)求角； (2)若，在内部取一点（不含边界），使得，，四边形的面积为，求的大小． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，． (1)求； (2)若，，，，求四边形的面积． 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． (1)求a； (2)如图，D是外一点（D与A在直线BC的两侧），且，，求四边形ABDC的面积． 题型四：三角形面积范围问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 例题2．（23-24高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，，.设. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 例题3．（23-24高三上·福建龙岩·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若是钝角，，求面积的取值范围． 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖南·期中）已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围. 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角B； (2)求面积的取值范围． 题型五：锐角三角形问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）记锐角三角形的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 例题3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，当取得最小值时，求的值. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若的面积为，判断的形状． 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求角取何值时，有最小值，并求出最小值. 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）在中，内角所对的边分别为，满足. (1)若，求； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-6 三角形（四边形）面积问题 题型一：三角形面积定值问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知在中，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若点D在AB边上，且，若，求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角，然后利用和角的正弦求出角即可. （2）由（1）的信息，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 由余弦定理得，而，解得， ，于是， 又，则，所以是直角三角形. （2）令，由（1）知，，由，得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的面积. 例题2．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简，可得，进而可求B的值； （2）由结合（1）利用余弦定理可求a的值，再利用三角形面积公式可求的面积． 【详解】（1）由正弦定理得 ， 又 ， 所以 ， 即 ， ， 得 ，所以 . （2）由余弦定理 得 即 ， 解得 或 (舍)， 所以 例题3．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由余弦边角关系且，结合已知可得，再由正弦边角关系化简整理求C； （2）根据（1）及已知可得，进而求其正余弦值，应用正弦定理、差角正弦公式求得，，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由，即， 所以， 而， 又，且， 所以，显然， 所以，而，则. （2）由（1）知，则， 所以，故，， 则，， 所以. 精练核心考点 1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、正弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求解； （2）利用正弦定理得，再结合（1）中结果，求得，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，得到， 又，则，所以，解得. （2）由（1）知，又，所以， 又，所以， 又， 所以. 2．（2025·陕西渭南·一模）在中．已知． (1)求． (2)若点为的中点．且．求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理可得答案. （2）在，由余弦定理可得，先求出，由三角形面积公式可求得△ABC的面积. 【详解】（1）因为．所以， 设． 则由余弦定理得； （2）在中．． 由余弦定理得． 即．解得． 又 故． 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）记的内角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求的值. (2)若是锐角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理可得出的值； （2）解法一：利用同角三角函数的基本关系求出、，由结合两角和的正弦公式可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可求得的面积. 【详解】（1）因为的内角、、的对边分别为、、，，，， 由正弦定理的得. （2）解法一：因为为锐角三角形，由得， 同理可得， 所以，， 所以，. 解法二：因为为锐角三角形，由可得， 由余弦定理得，即，整理可得， 因为，解得，故. 题型二：三角形面积最值问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，是上的点，平分，，且，则面积的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用、三角形面积公式及其应用、已知三角函数值求角 【分析】由正弦定理得到，求出，由三角形面积公式得，，，根据，求出，由基本不等式，得到，从而求出面积最小值. 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 平分，故， 由三角形面积公式得， ，， 因为，所以， 即， 由基本不等式得， 故，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故选：B 例题2．（24-25高二上·湖南常德·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角可得，再利用和差公式及辅助角公式可得，结合角的范围即可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）， ， ， ， . ，， . ，，. （2）， 由余弦定理知， 当且仅当时等号成立，所以. ，所以面积的最大值为. 例题3．（24-25高二上·湖北·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，满足 (1)求； (2)若角的平分线交边于点，长为2，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、由坐标判断向量是否共线、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由得出等式，再由正、余弦定理即可解出； （2）把的面积用等积法表示可得关系，再利用基本不等式得出bc的最小值，即得面积最小值. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 因为，故. （2）因为平分，， ， ， 即，， 由基本不等式可得，得， 当且仅当时取等号， ， 即的面积的最小值为. 精练核心考点 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故，则. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以，所以 （其中）， 所以，则， 即三角形的面积的最大值是． 故答案为： 2．（24-25高三上·内蒙古包头·期末）在中，若，且，则面积的最大值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合基本不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，， 由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，，且． (1)求的值； (2)若的外接圆半径为5，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)32 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据向量数量积公式得到方程，由正弦定理和，得到，结合同角三角函数关系得到方程，求出； （2）利用正弦定理得到，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故，故， 又，故， 又，故，解得； （2）由正弦定理得， 由（1）知，， 所以， 又，， 由余弦定理得， 所以， 由基本不等式得，故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故， 故面积的最大值为32. 题型三：四边形面积问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长； （2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果 【详解】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 例题2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，. (1)若，，求的大小； (2)若求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，由等腰三角形可得，然后在中利用正弦定理即可求解； （2）利用勾股定理求得，然后四边形面积分成即可求解. 【详解】（1）在中，，，所以， 由余弦定理可得，，即， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，得， 因为，所以，所以. （2）在中，，所以， 所以，四边形ABCD的面积 ， 当时，，即四边形ABCD面积的最大值为. 例题3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，    (1)若，，求的值； (2)若，四边形ABCD面积为4，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根据即可求； （2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式；两个关系式平方后相加即可求出﹒ 【详解】（1）在中，∵，则 ∴． 在中，由正弦定理得，， ∴． 由，得， ∴， ∴． （2）在、中，由余弦定理得， ， ， 从而①， 由得， ②， 得，， 即， ∴． 精练核心考点 1．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角所对的边分别为，设向量，．且． (1)求角； (2)若，在内部取一点（不含边界），使得，，四边形的面积为，求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、辅助角公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件得到，由正弦定理角转边得到，即可求出结果； （2）设，利用面积公式得到，再利用余弦定理得到，从而有，得到四边形的面积为，再根据条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为，，且， 所以，得到， 整理得到，又由余弦定理得， 所以，又，所以. （2）因为，，如图，设， 则， 在中，由余弦定理得， 又由（1）知，所以是等边三角形，所以， 所以四边形的面积为， 由题意有，得到， 即，又，得到，所以， 得到. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，，． (1)求； (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再由判断得，即可求解得； （2）由余弦定理求得的值，再由正弦定理以及，可得的值，然后计算和面积的和即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以可化为， 由二倍角公式可得． 因为，所以，所以， 所以，解得． （2）在中，，，， 由余弦定理得， 即， 所以． 在中，由正弦定理，得，所以． 又因为，所以． 又因为，所以，从而，所以， 因此四边形的面积． 3．（24-25高三上·河南·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，． (1)求a； (2)如图，D是外一点（D与A在直线BC的两侧），且，，求四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正切公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求，即求角，再根据余弦定理求解； （2）根据诱导公式求解，以及两角和的三角函数求，再根据正弦定理求，最后根据面积公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，， 所以，所以，即， 所以， 则, 所以； （2）， ，， , 中，，即， 所以，， 所以四边形的面积为. 题型四：三角形面积范围问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·贵州黔南·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）选①：利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得出关于的方程，解出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选②：利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选③：利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围. 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 例题2．（23-24高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，，.设. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到，结合，求出； （2）由正弦定理得到，表达出，利用为锐角三角形，求出，从而得到，. 【详解】（1）变形为， 由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 因为，所以； （2）由正弦定理得：， 故， 故 ， 因为为锐角三角形，所以，， 解得：， 故，， 则. 例题3．（23-24高三上·福建龙岩·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若是钝角，，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意求出的取值范围，再由正弦定理得到，由面积公式及同角三角函数的基本关系得到，再根据函数的性质计算可得. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 由， 得． 所以， ， 或（舍去）， ． （2）解：由条件得，解得， ，，， ． 的面积 ＝ ＝， ，． 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，所以， ，则面积的取值范围为． 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖南·期中）已知锐角三角形中，角、、所对的边分别为、、，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由已知可得出，利用正弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得角的值； （2）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围. 【详解】（1）解：由已知可得，由正弦定理可得， 、均为锐角，则，故，因此，. （2）解：由（1）可知，，故，又因为， 所以， 又因为，，所以，故， 即有，则， 又由. 所以面积的取值范围是. 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得，进而求得解； （2）由题意，由正弦定理结合得，根据为锐角三角形求得，即可求得，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理得 即 又 所以 即 又，， 即，即 又，，即 （2）由题意得：， 由正弦定理得：， 又 为锐角三角形，∴， 故，∴，∴， 从而. 所以面积的取值范围是 3．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角B； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】二倍角的余弦公式、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答. （2）利用正弦定理将a表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理及得：， 而，则，又，，因此，即， 所以. （2）在锐角中，由（1）知，，有，令，则，， 由正弦定理得，的面积 ， 由得，，于是得， 所以面积的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形面积的最大值或范围，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求解，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求解. 题型五：锐角三角形问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）记锐角三角形的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据已知结合余弦定理可得，然后利用二倍角公式求出结果； （2）先确定的取值范围，并得到，再用三角恒等变换求出取值范围. 【详解】（1）由于，故. 所以，即. 故，此即，所以，故. （2）因为，所以. 由于是锐角三角形，故，，所以的取值范围是，故的取值范围是. 故的取值范围是. 而. 所以的取值范围是. 例题2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. 例题3．（24-25高二上·山西·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，且. (1)证明：； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，当取得最小值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、三角形内角和及正弦定理化简条件等式为，根据正弦的和差公式化简得即可； （2）先根据角的关系求出，作三角形的高，利用锐角三角函数解三角形即可求面积； （3）利用正弦的和角公式及正弦定理化简，利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）易知， 整理得， 即， 所以， 因为， 所以，即, 所以，证毕； （2）    由（1）知，则， 如图所示作，垂足为D， 由题意知， 根据勾股定理有，且， 所以，故； （3）由（1）知 ， 根据正弦定理知： 又为锐角三角形，即， 则, 所以，当且仅当， 即时取得最小值. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若的面积为，判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正、余弦定理及三角恒等变换等化简题中等式，得到角的关系式，结合角的范围得到的值； （2）利用余弦定理、三角形面积公式得到，之间的关系式，从而可得，进而判断的形状. 【详解】（1）因为，由正弦定理、余弦定理可得， 所以，所以，即， 因为，所以，所以． 因为，所以． （2）由（1）知，所以由余弦定理得， 即①． 又的面积为，所以②． 由①②，得，则，所以， 因为，所以为等边三角形． 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求角取何值时，有最小值，并求出最小值. 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式与内角和定理可得； （2）由已知结合余弦定理可得，又由与的值代入可得，再由三角形面积公式可得； （3）由正弦定理得，化边为角化简可得，由锐角三角形得的范围，再利用基本不等式求最值可得. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理， 又，所以， 所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知， 故，且， 因为是锐角三角形， 所以，解得， 所以， 令， 由基本不等式可知， 当且仅当时，，即最小值为； 故当时，有最小值，最小值为. 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）在中，内角所对的边分别为，满足. (1)若，求； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求cosx(型)函数的值域、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合即可得结果； （2）由锐角三角形可得，利用正弦定理运算求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 则， 整理得， 因为，则，则，即， 由，得，则，． （2）因为是锐角三角形，则，解得， 则， 由正弦定理得，得， 可得，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$