专题6-4 方法篇 三角形中线，角平分线问题(5大核心技巧）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题6-4 方法篇 三角形中线，角平分线问题 题型一：三角形中线 方法一:中线向量化 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 典型例题 例题1．（2024·广东佛山·一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、数量积的运算律、用向量解决夹角问题 【分析】通过已知条件得到，通过平方关系对进行转化解得即可得到答案. 【详解】如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，    在中，，所以， 由，平方得， 代入得，， 化简得，，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将转化为数量关系，结合图形关系得到代入求解即可. 例题2．（23-24高一下·重庆渝中）设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、向量的线性运算的几何应用、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可. 【详解】因为，且， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得， 又因为D为中点，所以，设的夹角为θ， 则 ， 即， 且， 因为，则为锐角，可知， 可得，解得或（舍去） 所以， 整理得，解得或， 且，即，所以， 所以. 故答案为：.    【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可. 例题3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 精练核心考点 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点是边上的一点，且______.求线段的长. ①是的中线； ②是的角平分线. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得； （2）选①：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得. 【详解】（1）∵， ∴，即 由余弦定理可得. ∵，∴. （2）若选①是的中线， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 若选②是的角平分线， ∵，，， 所以， ∴， ∴， ∴. 2．（2024·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、已知数量积求模、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可； （2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即， 且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得， 又因为， 所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为，则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 3．（2024广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、辅助角公式 【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角； （2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围 【详解】（1）由余弦定理得， 即， 由正弦定理得 ， ，即， . （2）由余弦定理得：，则. 由正弦定理得 所以， 因为是锐角三角形，所以，即， 则. 中线长的取值范围是. 方法二：邻角互补法 邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（    ） A． B． C． D．∠BAD的最大值为60° 【答案】ABC 【知识点】基本不等式求和的最小值、数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可. 【详解】∵．A正确； ∵， ∴ ，故B正确； 由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由A选项知，∴，解得，故C正确；对于D，（当且仅当时，等号成立），∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D选项错误． 故选: ABC 例题2．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，已知，则边上的中线长度为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】在分别利用余弦定理，列方程，解方程组可得答案 【详解】解：因为，为的中点， 所以 在中，由余弦定理得, 在中，由余弦定理得, 因为， 所以， 所以，得， 解得，或（舍去） 故答案为： 例题3．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）求边上的中线长度的最大值. 【答案】（1）；（2）． 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由和差角公式以及化简已知可得，求得cosA,结合A的范围可求； （2）设，，由余弦定理，在，中分别有 ，，又由于，可得，再根据余弦定理可得，由基本不等式可求得，从而得到的取值范围，得到的最大值. 【详解】（1）∵ 而，所以 ∴ 又由于，， ∴，结合 ∴ （2）设，， 由余弦定理，在，中分别有 ，， 又由于 所以 在中，，即 ∵， ∴， 从而，，当且仅当时取等号， 故边上的中线长度的最大值为 【点睛】本题考查三角形和差角公式，余弦定理以及基本不等式，属中档题. 精练核心考点 1．（24-25高三上·北京西城·阶段练习）在中，. (1)求； (2)求边上的中线. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）计算，根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案. （2）是中点，连接，根据余弦定理结合计算即可. 【详解】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， ，，， 故，解得，即边上的中线为. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，BC边上的中线为AM． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)； (2). 【知识点】余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】(1)在中，利用余弦定理求，在，中分别利用余弦定理求，，由此列方程求，(2)在中由余弦定理求，再由同角关系求. 【详解】（1）由余弦定理，得，即，． 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 由与互补，则，解得． （2）在中，由余弦定理，得， 因为，所以，     所以． 题型二：角平分线 方法一：等面积法 核心技巧 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 的角平分线交边 于点 则 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】 根据三角形面积公式，由等面积建立等量关系可得结果. 【详解】 依题意，因为， 即， 所以， 化简得：， 故答案为：.    例题2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）锐角的内角所对的边分别为，若，且，. (1)求边的值； (2)求内角的角平分线的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得，即可利用余弦定理求解或，利用锐角三角形即可得； （2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 又因为，则，可得， 又因为，所以． 由余弦定理可得，即， 则，解得：，或， 由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取， 故. （2）根据面积关系可得， 即， 解得：． 例题3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得的值，进而可得角的正切值； （2）①由中线的向量表示，两边平方，可得中线的最小值； ②由等面积法可得角平分线的表达式，再由基本不等式可得的最大值． 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以，所以 （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以， 故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 故的最大值为. 精练核心考点 1．（2024·福建泉州·模拟预测）的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，求. 【答案】(1). (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解； （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解. 【详解】（1）依题意，由正弦定理可得 所以， 又 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. （2）解法一：如图，由题意得，， 所以，即， 又，所以， 所以，即， 所以. 解法二：如图，中，因为， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，其面积为. (1)求角； (2)若的角平分线交于点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意利用面积公式和余弦定理整理可得，即可得结果； （2）根据题意利用面积公式可得，结合余弦定理运算求解. 【详解】（1）由题意可得：，整理可得， 且，所以. （2）由题意可得：，且， 可知，可得，即， 又因为，可得， 解得，故. 在中，由余弦定理得， 即，所以. 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，联立求出，由三线合一得到⊥，，，进而求出，求出三角形面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 故， 因为，所以； （2）由正弦定理得，解得， 因为，所以， 因为B的角平分线交AC于点D，所以， 由得， 即， 在中，由余弦定理得， 故，即， 联立与，解得，负值舍去， 故，解得， 由三线合一可得⊥，且，， 故，. 4．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为． (1)求的外接圆面积； (2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解； （2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解； 法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解； 若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解； 法2：由，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得， 又由的周长为，可得，即， 由余弦定理得 ，解得， 设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以， 所以的外接圆面积为． （2）解：若选择①： 法1：由（1）知，及， 由，可得 ， 所以，即． 法2：不妨设，由及，解得， 在和中，可得， 由余弦定理得，解得． 若选择②，不妨设，由及，解得， 法1：由， 可得，解得． 法2：由张角定理，得， 即，解得， 方法二 邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西·期中）在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由角平分线的性质可得，设，则，，利用余弦定理可得，求解可得，可利用余弦定量求得，可求得的面积. 【详解】因为是的内角的角平分线，所以. 设，则.    在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即. 因为，所以， 所以，解得，所以. 在中，，，， 则，从而， 故的面积. 故答案为：. 例题2．（23-24高三上·江西赣州）在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则 . 【答案】6 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【解析】根据题意先求出的三角函数值，在中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出， 再求出的三角函数值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可. 【详解】记，因为，所以，， 在中，由余弦定理，，代入数据，解得， ， ，所以，， 在中，， 由正弦定理， ，即，解得，，即. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题. 例题3．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理结合已知变形，再利用正弦定理边化角及和差角的正弦推理即得. （2）利用正弦定理结合已知可得，由此求出，再利用余弦定理建立方程求解即得. 【详解】（1）在中，由余弦定理及， 得，即，由正弦定理，得， 即， 由，得，则， 因此，即，则， 所以． （2）由，得，由，得． 在，中，由正弦定理，得， 则，解得，从而，又， 由余弦定理，得，解得， 所以BD的长为. 精练核心考点 1．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 ， . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由角平分线的性质可得，设结合列方程求参数m，即可求，再由余弦定理求. 【详解】由角平分线的性质知：，若， 因为，则， 所以，整理得，解得或（舍）. 所以，则. 故答案为： 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】若为的中线，由于，所以在与中，由余弦定理联立即可求得，若为的角平分线，由，即可求得. 【详解】如图： 在中，， 由余弦定理得：， 所以， 若为的中线，所以为的中点， 故，设，在与中， 分别由余弦定理得：，， 所以，解得. 若为的角平分线，则， 由得：， 解得. 故答案为：； 3．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上. (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）在和中，利用正弦定理得到，，两式相比，即可证明结果； （2）法一：在中，利用余弦定理得到，利用（1）中结果，有，，在中，利用余弦定理得，从而得到或，在中，利用余弦定理得，从而得到或，即可求解；法二：利用余弦定理得，，两式相加，即可求解. 【详解】（1）因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以. （2）法一：在中，， 得到，即， 由（1）知，所以，， 在中，，得到， 解得或， 在中，，得到 解得或，所以. 法二：在中，可算， 又，， 又，两式相加可解得. 方法三：内角平分线定理 内角平分线定理： 核心技巧：或 典型例题 例题1．（2024·安徽·模拟预测）已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，再由，列出方程，求得的长，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为的角平分线交于点，且， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，且，所以， 可得，所以， 又因为，且，为角的平分线， 可得， 因为，且， 可得，解得， 所以. 故答案为：.      例题2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为边所对的角，且满足. (1)求的大小； (2)的角平分线交边于点，当时，求. 【答案】(1) (2). 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）由余弦定理及角平分线定理求解即可. 【详解】（1）， ， ， ， ，， 又，. （2）如图，   中，由余弦定理， 可得，解得. 是角平分线，， 设，则，在中，由余弦定理可得： ， 即， 整理得，解得， 例题3．（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1）6   （2） 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据题意，二倍角公式展开结合正弦定理可得.进而得到；又由，即得解； （2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由，则，利用即得解. 【详解】（1）根据题意，， 由正弦定理，有. 又，， ∴； 又由， 解得，即 （2）根据题意，因为平分， 所以， 故， 变形可得， 由（1），又，则， 所以. 精练核心考点 1．（24-25高三上·浙江绍兴·开学考试）已知中，，是的角平分线，则 ，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理列方程，化简求得的表达式，根据的取值范围求得的取值范围. 【详解】在三角形中，由正弦定理得①； 在三角形中，由正弦定理得②； 由于，所以得. 所以， 在三角形中，由余弦定理得 ， 即， 也即③. 在三角形中，由余弦定理得 ， 即， 也即④， 得， 即， ，由于，所以,， 由于，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理，属于难题. 2．（24-25高三上·湖北）已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线． (1)求证：； (2)若且，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理可证得结论成立； （2）设，则，利用可得出，利用余弦定理可得出，可得出，可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】（1）证明：由题意可得， 因为为的角平分线，则， 在中，，则， 同理可得，因此，故. （2）解：设，则， 因为，即， 因为，则，则，， 即，可得， 由（1）可得，则， 在中，， 整理可得，所以，， 因此，. 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，是角平分线，. (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】图形的性质 【分析】（1）由题意可证，进而可得结果； （2）根据题意结合角平分线的性质可得，进而可得，取的中点，连接，利用勾股定理分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，且， 则，则，所以. （2）由题意可得： 因为是角平分线，则，可得， 则，解得， 可得， 取的中点，连接， 由可得， 则， 即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-4 方法篇 三角形中线，角平分线问题 题型一：三角形中线 方法一:中线向量化 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 典型例题 例题1．（2024·广东佛山·一模）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 例题2．（23-24高一下·重庆渝中）设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则 ． 例题3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 精练核心考点 1．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答. 若，，点是边上的一点，且______.求线段的长. ①是的中线； ②是的角平分线. 2．（2024·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 3．（2024广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 方法二：邻角互补法 邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 典型例题 例题1．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：（    ） A． B． C． D．∠BAD的最大值为60° 例题2．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，已知，则边上的中线长度为 . 例题3．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）求边上的中线长度的最大值. 精练核心考点 1．（24-25高三上·北京西城·阶段练习）在中，. (1)求； (2)求边上的中线. 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，BC边上的中线为AM． (1)求的值； (2)求． 题型二：角平分线 方法一：等面积法 核心技巧 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知 的角平分线交边 于点 则 例题2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）锐角的内角所对的边分别为，若，且，. (1)求边的值； (2)求内角的角平分线的长． 例题3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 精练核心考点 1．（2024·福建泉州·模拟预测）的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，求. 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，其面积为. (1)求角； (2)若的角平分线交于点，且，求的值. 3．（23-24高一下·山东青岛·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且． (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，，点E在线段AC上，，求的面积． 4．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为． (1)求的外接圆面积； (2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长． 方法二 邻角互补法 邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西·期中）在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是 ． 例题2．（23-24高三上·江西赣州）在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则 . 例题3．（2024·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长． 精练核心考点 1．（23-24高三下·浙江·开学考试）在△中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 ， . 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，为上一点，①为的中线，则 ；②为的角平分线，则 . 3．（2024·江西新余·模拟预测）在中，，为的角平分线，在线段上. (1)求证：； (2)求的长. 方法三：内角平分线定理 内角平分线定理： 核心技巧：或 典型例题 例题1．（2024·安徽·模拟预测）已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 . 例题2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为边所对的角，且满足. (1)求的大小； (2)的角平分线交边于点，当时，求. 例题3．（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 精练核心考点 1．（24-25高三上·浙江绍兴·开学考试）已知中，，是的角平分线，则 ，若，则m的取值范围是 . 2．（24-25高三上·湖北）已知中，内角、、的对边分别为、、，为的角平分线． (1)求证：； (2)若且，求的大小． 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，在中，是角平分线，. (1)求证：； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$